精品解析：四川省泸州市合江县第五片区2025-2026学年九年级上学期第三次联合检测数学试题

四川省泸州市合江县第五片区2025-2026学年九年级上学期第三次联合检测数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页 全卷满分150分 完成时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握它们的定义是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”和“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 将方程整理成一般形式后作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴一般形式为，其中． 故选：B． 3. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球 B. 三角形的内角和为180° C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 【答案】B 【解析】 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件； 【详解】A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件； B．三角形的内角和为180°是必然事件； C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件； D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件； 故选B． 【点睛】此题考查随机事件，解题关键在于掌握其定义 4. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 根据正切的定义先表示出，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】如图，在中，， 设，根据勾股定理，得 ， ∴． 故选：B． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 6. ⊙是△的外接圆，,则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 100° 【答案】B 【解析】 【详解】∵, ∴ ；由圆周角定理可求：.故选B. 7. 如图,点 P 为反比例函数 的图象上一点, PA⊥x 轴于点 A,△ PAO 的面积为 2,则 k 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. -2 D. -4 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|， 即|k|=2， 解得，k=±4， 由于函数图象位于第一、三象限， 故k=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【详解】解：①中的三角形的三边分别是：2，，， ②中的三角形的三边分别是：3，，， ③中的三角形的三边分别是：，2，， ④中的三角形的三边分别是：3，，， ①与③中的三角形的三边的比为：， ①与③相似． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理，相似三角形的判定方法，利用勾股定理求出三角形三边长是解题的关键． 9. 某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键． 10. 如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OF、OD，如图，设⊙O的半径为r，利用勾股定理计算出BC＝5，再证明四边形ADOF为正方形，则AD＝AF＝OD＝OF＝r，所以BD＝3−r，CF＝4−r，根据切线长定理得到BD＝BE＝3−r，CF＝CE＝4−r，所以3−r＋4−r＝5，然后解方程即可． 【详解】解：连接OE、OD，如图， 设⊙O的半径为r， ∵∠A＝90°，AC＝4，BC＝5， ∴AB＝， ∵F点、D点为切点， ∴OF⊥AC，OD⊥AB， 而∠A＝90°， ∴四边形ADOF为矩形， 而OF＝OD， ∴矩形ADOF为正方形， ∴AD＝AF＝OD＝OF＝r， ∴BD＝AB−AD＝3−r，CF＝AC−AF＝4−r， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆（与三边都相切），切点分别为D，E，F， ∴BD＝BE＝3−r，CF＝CE＝4−r， 而BE＋CE＝BC， ∴3−r＋4−r＝5，解得r＝1， 即⊙O的半径为1． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质． 11. 如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积，涉及扇形、矩形和三角形的面积，解题的关键是数形结合．根据题意可计算出和的长度，在求出的长度，最后根据，即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， ， 故选：A． 12. 已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与轴交点的位置、对称轴即可确定、、的符号，即得的符号；②由抛物线与轴有两个交点判断即可；③分别比较当时、时，的取值，然后解不等式组可得，即；又因为，所以．故错误；④将代入抛物线解析式得到，再将代入抛物线解析式得到，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到，即可求解． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴左侧， ∴， ，， ∴与同号， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ③当，时，即 （1）， 当时，，即 （2）， （1）（2）得：， 即， 又， ．故③错误； ④时，，时，， ， 即， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有②④，共2个． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．理解二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 因此点的坐标为． 故答案为：． 14. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是__________． 【答案】6 【解析】 【详解】分析：直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数． 详解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为， ∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×=6． 故答案为6． 点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键． 15. 方程的两个根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法．解题的关键是正确移项后因式分解转化为两个一次方程求解．题目给出方程．将方程展开并移项，得到．整理得利用十字相乘法因式分解得到两个一次方程，分别求解即可得到方程的两个根． 【详解】解：， 展开得， 移项得， 即， 整理得， 所以或， 解得或， 故答案为 16. 若a，b是一元二次方程的两根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用根与系数的关系得到两根之和，并将代入方程化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 由根与系数的关系，， ∴． 即． 故答案为：1． 17. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于，过作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 19. 如图，在中，点、分别在、上，且，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）根据，得到，得到，代入计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，30分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）请画出将绕原点O顺时针旋转后得到的； （3）在（2）的条件下，求出点的旋转路径的长度． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称变换作图，利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据中心对称作出图形即可； （2）根据旋转作出图形即可； （3）根据弧长公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得，由勾股定理得， ∴点的旋转路径的长度为． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 （1）填空：______，______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为______； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用乘以的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴，，C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角 故答案为：；； 【小问2详解】 （人） 故答案为：； 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 22. 如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，求x的取值范围； （3）连结，求的面积． 【答案】（1）一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，联立方程求交点坐标是关键． （1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）先求出，再由图象直接写出自变量的取值范围； （3）利用求出即可． 【小问1详解】 解：依题意，将点的坐标代入一次函数表达式， 得， 解得， 故一次函数表达式为：， 将代入反比例函数表达式，得 ∴， 故反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： 依题意，， ∴， 解得或， ∵， ∴，则， ∴， 由图象可知，当时的取值范围为或； 【小问3详解】 解：由（2）点的坐标为； 在中，令，得， ∴． ∵点 ∴ ． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援， （1）求点C到直线AB的距离； （2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 【答案】（1）40海里；（2）小时． 【解析】 【分析】（1）作CD⊥AB，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°知CD＝AC，据此可得答案； （2）根据BC＝求得BC的长，继而可得答案． 【详解】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D． 在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里， ∴点C到直线AB距离CD＝AC＝40(海里）． （2）在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°， ∴BC＝≈＝50（海里）， ∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义. 24. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知CD＝4，CA＝6， ①求CB的长； ②求DF的长． 【答案】 (1)证明：连结AD，如图， ∵E是的中点， ∴==， ∴∠EAB=∠EAD， ∵∠ACB=2∠EAB， ∴∠ACB=∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAC+∠ACB=90°， ∴∠DAC+∠ DAB=90°，即∠BAC=90°， ∴AC⊥AB， ∴AC是⊙O的切线； (2) ①BC=9；②DF=2. 【解析】 【分析】(1) 连结AD, 根据圆周角定理,由E是BD的中点得到∠EAB=∠EAD, 由于∠ACB=2∠EAB, 则∠ACB=∠DAB, 再利用圆周角定理得到∠ADB=, 则∠DAC+∠ACB=90, 所以∠DAC+∠DAB=, 于是根据切线的判定定理得到AC是OO的切线; (2)①在Rt△ABC中, 根据cosC===，AC=6可得AC=6; ②作FH⊥AB于H, 由BD=BC-CD=5, ∠EAB=∠EAD, FD⊥AD,FH⊥AB, 推出FD=FH, 设FB=x, 则DF=FH=5-x， 根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题. 【详解】(1)略 (2)①在Rt△ACB中， ∵cosC===，AC=6， ∴BC=9． ②作FH⊥AB于H， ∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB， ∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x， ∵FH∥AC， ∴∠HFB=∠C， 在Rt△BFH中， ∵cos∠BFH=cos∠C==， ∴=， 解得x=3，即BF的长为3， ∴DF=2 【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论、切线的判定与性质、余弦函数的性质等，灵活运用所学知识能顺利求出答案. 25. 如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)、与y轴交于点C(0，4)，过点A的直线y＝x+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标； (2)如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，△ABP的面积最大，最大面积是多少？ (3)如图2，设直线AB与y轴交于点E．点M是直线AB上的一个动点(不与点A、B重合)，当△MEC与△AOE相似时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4，顶点D的坐标为(1，)；(2)点P运动到(，)时，△ABP的面积最大，最大面积是；(3)当△MEC与△AOE相似时，点M的坐标为(6，4)或(，)． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；将二次函数解析式转化为顶点式，可以得到顶点D的坐标； （2）设与直线y＝x＋1平行且与抛物线相切的直线为PQ：y＝x＋b，则点P为切点时所求三角形面积最大； （3）分两种情况讨论：当CM∥x轴时，△MEC与△AOE相似，当CM′⊥AB时，△MEC与△AOE相似. 【详解】解：(1)∵二次函数与x轴交于点A(﹣2，0)、与y轴交于点C(0，4)， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点D的坐标为(1，)． (2)设与直线y＝x+1平行且与抛物线相切的直线为PQ： y＝x+b，Q为PQ与x轴交点，H为PQ与y轴交点，过点A作AG⊥PQ于点G，则当点P为切点时，△ABP的面积最大， ∴， 化简得：x2﹣x+2b﹣8＝0， ∴△＝1﹣4(2b﹣8)＝0， ∴b＝ ∴x2﹣x+2×﹣8＝0 ∴x1＝x2＝， ∴点P坐标为(，)． PQ解析式为：y＝x+， ∴Q(﹣，0)，又b＝， ∴AQ＝，OQ＝， ∴tan∠GQA＝＝， ∴sin∠GQA＝， ∴GA＝， 由解得x1＝﹣2，x2＝3， ∴B(3，)，AB＝， ∴S△ABP＝×AB×GA＝ ∴点P运动到(，)时，△ABP的面积最大，最大面积是． (3)由y＝x+1得E(0，1) A(﹣2，0)、C(0，4)， ∴， 当CM∥x轴时，△MEC与△AOE相似，由OC＝4，OE＝1，可得CE＝3， ∴CM＝6，即点M横坐标为6，代入y＝x+1得y＝3， ∴M(6，4)； 当CM′⊥AB时，△MEC与△AOE相似，由，CE＝3可得CM′＝，EM′＝， 由面积法可得M′x＝， ∴M′(，)． ∴当△MEC与△AOE相似时，点M的坐标为(6，4)或(，)． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，既考查了待定系数法求解析式，也考查了动点图形的面积问题，还考查了动点形成相似三角形问题，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸州市合江县第五片区2025-2026学年九年级上学期第三次联合检测数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页 全卷满分150分 完成时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球 B. 三角形的内角和为180° C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 4. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. ⊙是△的外接圆，,则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 100° 7. 如图,点 P 为反比例函数 的图象上一点, PA⊥x 轴于点 A,△ PAO 的面积为 2,则 k 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. -2 D. -4 8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 9. 某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 14. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是__________． 15. 方程的两个根是__________． 16. 若a，b是一元二次方程的两根，则______． 17. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为_____________． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算： 19. 如图，在中，点、分别在、上，且，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，30分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）请画出将绕原点O顺时针旋转后得到的； （3）在（2）的条件下，求出点的旋转路径的长度． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 （1）填空：______，______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为______； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 22. 如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，求x的取值范围； （3）连结，求的面积． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援， （1）求点C到直线AB的距离； （2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 24. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知CD＝4，CA＝6， ①求CB的长； ②求DF的长． 25. 如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)、与y轴交于点C(0，4)，过点A的直线y＝x+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标； (2)如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，△ABP的面积最大，最大面积是多少？ (3)如图2，设直线AB与y轴交于点E．点M是直线AB上的一个动点(不与点A、B重合)，当△MEC与△AOE相似时，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $