重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期数学练习（1.4）

参考答案 第1题 .集合A={xlx-1<2}={x|-1<x<3}, B={xg=ln(2-)}={xe<2}, .A∩B={x-1<x<2}=(-1,2) 故选：C 求出集合A,B,由此能求出A∩B. 第2题 :f()=nx一会，则函数f(x)在(0，+)上单调递增 2 :f2)=ln2-1<0,f)=1n3-号>0 ∴.f(2)f(3)<0 在区间(2,3)内函数f(x)存在零点 故选：B. 根据函数零点的判断条件，即可得到结论· 第3题 2A若cosx= 2e0,列，则血z=V1-co2=青，充分性成立：若in2=看e∈@，， 3 4 则cosa=士V1-m=士号，必要生不成立.缘上，“cos8-号是“9in2= ”的充分不必要 5 条件。 第4题 D 五(+号-非-气》-四.是奇通数，关于@对称。 排降A,B当=2，心-h2>0,做选D 第5题 1 因为a=1o8030.7=7og070.5,6=1o820.7=7og072' 且a=logo.30.7>log0.31=0,b=log20.7<1og21=0, 所以日+名=1og70.3+1og72=1og070.6>1og070.7=1, 所以a+b<ab<0. 故选：A. 根据对数函数的性质判断a,b的正负，并结合换底公式计算日+号与1的大小关系，进而得出所求的答察 第6题 D 【解析】 sim20°+4s2n20°cos20° tan20°+4sin20°= c0s20° 一第1页一 sin20°+2sin40° C0s20° (sim20°+sin40°)+sim40° c0s20° 2sin30°cos10°+sin40° C0s20° sin80°+sim40° c0s20 2sin60°c0s20° c0s20° =3 故选：D。 首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化 公式，则问题解决. 第7题 11AB0c0s215”-in215°=os30:=罗，故A正确： sinm2.5°cos2.5°=7sin46°- 4 ,故B正确； Ny 2 C错误； tan45°-tan30° 1v③ tan15°=tan(45°-30)= 1+tan45°tan30° 14=2-3,故D正确 3 3 故选ABD. 第8题 11.ACD本题考查抽象函数的图象与性质由f(2x+1)为偶函数，得函数f(x)的图象关于直线X=1对称， (f(2+x)+f(2-x)=0, 由f(4-x)=一f(x),得函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则 f(2-x)=f(x), 可得f(2+x)+f(x)=0. 对于A,由f(2+x)+f(x)=0,可得f(2-x)=-f(-x),所以f(x)=-f(-x),又函数f(x)的定义 域为R, 所以f(x)为奇函数，所以A正确； 一第2页一 对于B,由2+x)=-f(x),得f(3)=-f(1)=-2,所以B错误； 对于C,由g(x)=g(2一x),得函数g(x)的图象关于直线×=1对称，因此函数f(x)与g(x)图象的交点也 关于直线×=1对称，则y1012=f(1)=2,所以C正确： 2023 对于D,由函数f(ac)与g(c)图象的交点也关于直线×=1对称，可得∑x:=2023,故D正确.故选ACD. 2=1 归纳总结 1.若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线×=a对称. 2.若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 3.若函数f(x)的图象关于直线×=a与直线×=b对称，那么函数的周期是2b一a 4.若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2b一α： 5.若函数f(x)的图象关于直线×=a对称，且关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4b-a. 第9题 11.【教材溯源】人教A版必修第一册第160页复习参考题第6题 【考点】指数函数的性质及应用+函数的奇偶性+函数单调性的应用 【思路导引】利用奇、偶函数的定义判断A→利用指数的运算及指数函数的性质判断B,C一→构造函数f(x)= sin hx一x,通过求导，判断f(x)的单调性，并结合复合函数的单调性判断D, 【解】对于A,y=sinh的定义域为R,sinh(-)=e,e-g”-e 奇函数划=ohz的定义减为Roms(一到=二oh所以=ch为保强数执A正通 2 一=-sinh,所以y=sinh为 对于B,((cosb a)+(aiha到2=(）'+（色）2=e+ea+2ee4e2+e4-2ee 4 e2+e- 2 一卡1，故B错误. 对于C,tanhz= e2十1，x∈R因为e2x>0,所以e2x+1>1所以 2 sinh a ofo cosh e2te= e76(-20)所以ahz=1-e27∈(-1,1，故c正确 -2 一第3页一 对于0因为(6mhy=e“e>0所以g=h在上单调送增设f因=sih:-2>0则a = e+e”-1=e+e-2.因为e2+e>2所以y'=e+e,-2>0所以fe在0，+∞)止 2 2 2 单调递增.所以f(c)>f(O)=0,即sinh>x.所以c>0,sinh(sinh z)>sinhx,故D正确故选ACD. 第10题 由于f(x)是定义在R上的奇函数，且当c≥0时，f(x)=32+a, 则f0)=30十a=0, 则a=-1,故f(2)=32-1=8, 则f(-2)=-f2)=-8. 故答案为：一8. 由奇函数且定义域为R,利用f(0)=0求出a,再利用奇函数性质得f(一2)=一f(2)即可. 第11题 若置<3<<a<罗且asa+倒=-语 10 <a+<,a+)=-0 则5元 10' 因为sm28=青>0，所以贤<28<元，c0s28= 5 所以号<a-月<F. 因为cos(a-)=cosa+)-2=cos(a+)cas28+sin(a+)sin29=-将×(-号)- 7W2 10 = 5 2 则a-B=3π 4 故答案为： 3π 41 由已知结合同角某本关系先求出smna+)=-7沿，os28-一号.然后由osa一)=cw [(a+)-2,1=cos(a+)cos2B+sin(a+)sin2B,代入可求，进而可求a-B. 第12题 14.2-1og23解析由基本不等式得20+2b≥2V220=2×2学，即20+b≥2W202=2×2”,所 以2号≥2，即2a+b>≥4。令t=2+b(t≥4)，由20+2b+2c=2a++c,可得2a+b+20=2a+b+e, 所以g=“=青=1+古由≥4，符1<青≤专即1<<有0<e log影专=2-log23,即cmx=2-1og23, 第13题 -第4页一 )根据三角函数的定义：cos0=一 sina= 2W2 3 则tana=-2W2,tan2a= 2tana -4v24v2 1-tan2a -7 7 sin受+)an刊 (2) -cosatana cosa.sina coSQ 1 cos(a-)cos(r-个 sina(-cosa) S2mQ·COsQ c0sa=-3. (1)结合三角函数的定义及二倍角公式即可求解； (2)结合诱导公式进行化简即可求解. 第14题 14.【解析】(1)函数y=ka(k>0,a>1)与y=px立+k(p>0,k>0)在(0，十o)上都是增函数， 随着×的增加，函数y=ka(k>0,a>1)的值增加得越来越快，而函数y=px立十k的值增加得越来 越慢。由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此函数模型y=ka(k>0,a>1)符合要求。根据题意 可知，当×=2时，y=24,当×=3时，y=36, ka2=24, .ka3=36, 解得 32 k= 3 3 a= 2 故该画数装型的解折式为y=号·()》”，zN (2)当×=0时，y=号，则元旦放入凤眼莲的覆盖面积是号m2, 32 令号-（层）产>10×号，行()产>102>og号10 lg10 1 ≈5.7. 1g2 1g 3-1g2 .x∈N*,.x≥6. 即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份. 第15题 -第5页一 （1)由题意知：2(2c0+1)+30+1=20+30+2×1+31=2c0十30+5，所以2●30=3，解得 zo-log3=logs 3-logs 2,-1-log2, 所以函数f(x)=2x+3r在R上的"旺点”是x0=1-log32; a2 2)由题意可得：方程oge1中+y=1og1中r+1oge号=1og:2十r,在0，+o∞)止有解， 化简得(a-2)x2+2ax+2a-2=0,设h(x)=(a-2)2+2a+2a-2,x∈(0，+∞)， ①当a-2=0,即a=2时，h(c)=4c+2在(0，十o∞)显然不存在零点，舍去， ②当a-2>0时a>2,h(@的对称轴为2=22。<0，h(0)=2a-2>0, 所以h(x)>0对-切∈(0，十o∞)恒成立，故不存在零点，舍去， @当时a-2<0,0<a<2,h(@)的对称轴为r=2产。>0， 故只需△=4a2-4(a-2)(2a-2)≥0，即a2-6a-4≤0，解得3-√5≤a<2, 综上所述，正实数的取值范围为：[3一√5,2)： (1)由已知旺点的定义可知得到一个方程，解方程可得函数f（x)的旺点； (2)由旺点的定义整理出方程，再令函数，即在(0，十∞)函数有零点，分二次项系数为正负零3种情况讨论， 由二次函数的对称轴和单调性求出α的取值范围. 第16题 (1).0=1+2(-,()=(←)加+(r (()=c0z co()+0()=c00 inz 1 2 sins 0 又eos2z=1+cos2a),故fa)=号3+f(2✉》=多 (3)油于c0s4z=4(1+2cos2x+co922) 故f(@)=是3+2f12a)+h2》=8,即n=4时，y=n(o为定值 当为奇数，且n≥时，由(1)得：f.0)=1+2-号n=1-2>0,而f.(受)=(9)+ ()=0,即f.(0)≠fn(受)故g=f(不可能为定值 当n为偶数，且n≥6时，由(1)行：f.0)=1+2(-号分n=1+2>1而（受）r关于n单调递减， 故f(爱)=（←）”+(9)”=2(9》”≤2()-韶<1即f.0≠（爱），故测=(e不 可能为定值 综上，存在最大的正整数n=4,使得对任意的x∈R,y=fn(x)为定值， (1)根据条件直接求nO)和fn(受)： (2)根据三角函数关系式进行化简即可证明对任意x∈R,f2(x)为定值； (3)根据三角函数的关系式进行化简，即可得到结论： 一第6页一 第17题 【解】(1)因为1)=2，所以3)=21)十a=4十a。 又当x∈(2,4时，f(x)=2x2-6c+6,所以f(3)=6,所以4+a=6,解得a=2。 (2)设x∈(0,2，则x+2∈(2,4，所以f(c+2)=2(x+2)2-6(x+2)+6=2x2+2x+2。因为 f(x+2)=2f(x)+2,所以2f(x)+2=2x2+2x+2,即f(x)=x2+x。显然f(x)在(0,2]上单 调递增。 又f(1)=2,所以当x∈[1,2]时，f(x)≥2。 x∈(0,2]时，f(x)=x2+x>0,则f(x+2)=2f(x)+2>2,所以当x∈(2,4时，f(x)>2,以 此类推，得当×>2时，f(x)>2。 综上，f(x)≥2的解集为[1，十o)。 4 (3)油2+31>0，得>0，即g()的定义域为(0，+∞， 因为y=2+34气在(0，+∞)上单调递减，所以9)=1og22+34）在(0，+∞)上单调递减 又9(1)=2，结合(2)的结论知，当c≥1时，(x)≥2≥g(x),当0 由f(h(c)≥g(h(x)恒成立，得h(x)≥1恒成立，即2cosx+m(2cos2x-1)≥1在x∈ [-受，]时恒成立。 设cosx=t∈[0,1，则2mt2+2t-(m+1)≥0在t∈[0,1]时恒成立。 ①当m=0时，不等式化为2t-1≥0，显然不满足恒成立，舍去： ②当m>0时，将t=0代入，得-(m+1)≥0，解得m≤-1，与m>0矛盾，舍去； -(m+1)≥0， ③当m<0时，只需〈 2m+2-(m+1)≥0. 解得 ∫m≤-1，所以m=-1. m≥-1. 综上，实数m的值为-1。 一第7页一 解题关键本题第(3)问解题的关键是根据函数的单调性得出(x)≥1，转化为二次不等式恒成立问题，考 查了分类讨论的思想。 第8页一数学答题卡 注意事项 正确填涂 准考证号 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证 班级 号、考场号、座位号填写清楚。 涂 2选择题使用B铅笔填涂，非选择题使用 错误填涂 黑色碳素笔书写，超出答题区域无效。 例 ☑X 0四00000000四0 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要手破。 ©刺 00田和卫和和和00 ■ 姓名 222四2]2122222 33]33]331333]3 444四44红4I4四I四 ■ 考场号 55555555515 贴条形码区 ]66]6 6圆 ■ (正面朝上，请贴在虚线框内) 刀刀刀刀刀刀刀刀☑ ☑ 座位号 8888888I88J8 ■ 9四999四99I9999 缺考 标记 1AIBI网D 6 A][B]CD] 11AIBC网D ■ 2四BMD 7A四B☒D回 ■ 3AIB四D) 8 [A][BC]D] 4 LA][B][CD] 9 [A]B [CD] 5 LA [B [C]D 10 [A][B][C][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效重庆南开中学高2028届高一数学练习(1.4) 数学试卷 本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分 钟，第1卷和第‖卷都答在答题卷上. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答愿卡相应的位置上， 1.已知集合A={x‖x-1k2},B={xy=ln(2-x》,则A∩B=() A.（-1,3) B.(-3,) C.（-1,2) D.0 2.函数f=x-2的零点所在的区间是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+0) .已知xe0,m),则“osx=”是“sinx=”的 )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.已知一个扇形的周长为10cm,圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为()cm2. A.25 B.5 c.2 5.函数f(x)=(x+)x图象的大致形状为( 6.设a=1og00.7，b=log20.7,则() A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 7.化简tan20°+4sin20°的结果为() A.3 B.1 C. 5 3 3 第1页（共8页） 8.在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征， 寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿 景的名画一《悟桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm,横约95cm, 176cm 其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛 的距离为]0cm),为使观赏视角0最大，小南离墙距离S应为( 194icm A.402cm B.76cm C.94cm D.44/5cm 7777777777777777777777777 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列等式成立的是( A. tan48°+tan72° =-5 1-tan48°tan72° B.1-2sn150=5 2 C.sin105°cos105°=- 5 D. 4 如40+5。 2 2 os40°=sin100 10.定义在R上的函数f(x)满足f(4-x)=-f(),f(2x+1)为偶函数，f(1)=2,函数g(x(x∈R)满足 g(x)=g(2-x),若y=f(x)与y=g(x)恰有2025个交点，从左到右依次为(x,),(32,2),., (x025,y22s),则下列说法正确的是（) A.f(x)为奇函数 B.2为y=f(x)的一个周期 C.y1o3=2 D.x1+为2+名+…+x2025=2025 11.双曲函数在物理学、工程学（如悬链线问题）、微分方程等领域有广泛应用，它包括双曲正弦函数 sinhx=e-e 2 ，双曲余弦函数coshx=￠+e其中e为自然对数的底数，双曲正切函数ahx=s如hx 2 coshx 则下列说法正确的是() A.cosh2x+sinh2x=1 B,双曲正切函数是增函数 C.函数y=cosh2x+sinh2x+coshx在R上的值域为为[2，+o) D.tanh(x)=1+tanhxtanhy tanhx+tanh y 第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x②0时，f(x)=3+a,则f(-2)=」 13.若<B<π<a<，且os(a+)=， ,如20=号，则a-B= 14.若实数a,b,c满足2°+2°=2*6,2°+2°+2°=296c,则c的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P(-?,2二)· (1)求sina,tan2a: ir之 (2)化解并求值： 2 -+a)tan(a-) coa-孕cor-) 16.(本小题满分15分) 某地生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快， 二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单 位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=ka(化>0，a>1)与y=px2+k(p>0,k>0)可供选 择 (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式： (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：1g2=0.3010, lg3=0.4771). 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)的定义域为D,若存在xeD,使得∫(x。+1)=f(x)+∫(I),则称x,为函数f(x)的“旺点”. (1)求函数f(x)=2x+3在R上的“旺点”： （2)若函致g6闭=08在Q)上存在“旺点”求正实数a的取值范围。 第3页（共8页） 18.(本小题满分17分) 已知关于x的函数fC闭=cox+cosx+受)+eose督).其巾neN. (1)求f0)和∫.)： (2)求证：对任意x∈R,2(x)为定值： (3)对任意x∈R,是否存在最大的正整数n,使得函数y=∫n(x)为定值？若存在，求出n的最大值： 若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)满足：(x+2)=2f(x)+a(aeR),若f(1)=2,且当x∈(2,4]时，f(x)=2x2-6x+11. (1)求a的值； (2)当x∈(0,2]时，求f(x)的解析式：并判断f(x)在(0,4)上的单调性（不需要证明）： 4 (3)设g(四=1o822+3-,hx=2|cosx+mc0s2x,若/几(wP8ih(x,求实数m的值. 第4页（共8页）