第8章 整式乘法 单元卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

第8章 整式乘法提优卷2025-2026学年苏科版七年级数学下册 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（　　） A．4 B．3 C．1 D．0 4．（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　） A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2 5．如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（　　） A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9．计算：20232﹣2022×2024＝　 　 ． 10．若5，则　 　 ． 11．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　 　 ． 12．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b）n（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数． （a+b）1＝a+b； （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+　 　 a3b+　 　 a2b2+　 　 ab3+b4． 13．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　 　 （用a、b的代数式表示）． 14．利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝　 　 ． 15．对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝　 　 ． 16．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015＝1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为　 　 ． 17．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是　 　 ． 18．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 　 　 种． 三．解答题（共10小题，共96分） 19．计算 （1）x3•x4•x5 （2） （3）（﹣2mn2）2﹣4mn3（mn+1）； （4）3a2（a3b2﹣2a）﹣4a（﹣a2b）2 20．已知（x2+mx+3）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2项和x3项． （1）求m，n的值． （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 21．如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　 　 ，宽b＝　 　 ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 22．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10． 请你根据上述解题思路回答下列问题： （1）已知a+b＝5，ab＝7，求，a2﹣ab+b2的值． （2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值． 23．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　 　 ；②（2+i）2＝　 　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 24．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　 　 时，x2+6x﹣15有最小值是 　 　 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 　 　 （填“大”或“小”）值，该值为 　 　 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 25．小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x+3），由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx﹣6． （1）求a，b的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 26．探究应用： （1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝　 　 ．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　 　 ． （2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为　 　 ． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是　 　 A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C、（4﹣x）（16+4x+x2） D、（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　 　 ． 27．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 　 　 ； 类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝　 　 ； ②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝　 　 ； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积． 28．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　 　 ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝32﹣2×2 ＝5， 故选：C． 2．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2， 所求式（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）， [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]， [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]， [（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]， ＝3． 故选：D． 3．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（　　） A．4 B．3 C．1 D．0 【解答】解：∵a+b＝1， ∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1． 故选：C． 4．（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　） A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2 【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4， ∴应填：﹣5a2﹣4b2． 故选：C． 5．如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2 【解答】解：设AB＝x，AD＝y， ∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2 ∴x2+y2＝17， ∵矩形ABCD的周长是10cm ∴2（x+y）＝10， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴25＝17+2xy， ∴xy＝4， ∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2， 故选：B． 6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴a2﹣b2＝48， 根据图示可得，AE＝a﹣b， ∴，， ∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED ＝24， 故选：C． 7．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（　　） A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2 【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0． ∴x6﹣1＝0． ∴x6＝1． ∴（x3）2＝1． ∴x3＝±1． ∴x＝±1． 当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0． 当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2． 故选：D． 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 根据题意得：8n≤2017， ∴n≤252， ∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503， ∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032 ＝5052﹣12 ＝255024． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 9．计算：20232﹣2022×2024＝　1　 ． 【解答】解：20232﹣2022×2024 ＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1） ＝20232﹣（20232﹣12） ＝20232﹣20232+1 ＝1． 故答案为：1． 10．若5，则　23　 ． 【解答】解：∵（a）2＝a2+225， ∴a225﹣2＝23． 11．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　2m+4　 ． 【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x， 则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得x＝2m+4． 故答案为：2m+4． 12．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b）n（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数． （a+b）1＝a+b； （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+　4　 a3b+　6　 a2b2+　4　 ab3+b4． 【解答】解：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 13．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab （用a、b的代数式表示）． 【解答】解：方法一：如图，运用割补法将长方形①和②剪下，拼接到对应的位置，形成一个长为a，宽为b的长方形， ∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab， 故答案为：ab． 方法二：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得， 解得， ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab． 故答案为：ab． 14．利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝　216 ． 【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， ＝216． 15．对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝　22　 ． 【解答】解：∵27， ∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27， ∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27， ∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27， ∴x＝22； 故答案为：22． 16．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015＝1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为　510　 ． 【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510， ∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数， ∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510＝505， ∵m1+m2+…+m2015＝1525， ∴2的个数为（1525﹣505）÷2＝510个． 故答案为：510． 17．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是　2697　 ． 【解答】解：设k是正整数， 由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ∵（2021+2）÷3＝674...1， ∴2021是第675组的第一个数， 即：4×674+1＝2697． 故答案为：2697． 18．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有 　11　 种． 【解答】解：∵（a+b）（a+5b）＝a2+6ab+5b2， ∴1张A类卡片，6张C类卡片，5张B；类卡片，共12张， ∵（a+b）（5a+b）＝5a2+6ab+b2， ∴5张A类卡片，6张C类卡片，1张B；类卡片，共12张， ∵（a+b）（2a+4b）＝2a2+6ab+4b2， ∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B；类卡片，共12张， ∵（a+b）（4a+2b）＝4a2+6ab+2b2， ∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B；类卡片，共12张， ∵（a+b）（3a+3b）＝3a2+6ab+3b2， ∴3张A类卡片，6张C类卡片，3张B；类卡片，共12张， ∵（a+2b）（a+3b）＝a2+5ab+6b2， ∴1张A类卡片，5张C类卡片，6张B；类卡片，共12张， ∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2， ∴3张A类卡片，7张C类卡片，2张B；类卡片，共12张， ∵（a+2b）（2a+2b）＝2a2+6ab+4b2， ∴2张A类卡片，6张C类卡片，4张B；类卡片，共12张， ∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2， ∴2张A类卡片，7张C类卡片，3张B；类卡片，共12张， ∵（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2， ∴6张A类卡片，5张C类卡片，1张B；类卡片，共12张， ∵（2a+b）（2a+2b）＝4a2+6ab+2b2， ∴4张A类卡片，6张C类卡片，2张B；类卡片，共12张， 故一共有11种方案． 三．解答题（共10小题） 19．计算 （1）x3•x4•x5 （2） （3）（﹣2mn2）2﹣4mn3（mn+1）； （4）3a2（a3b2﹣2a）﹣4a（﹣a2b）2 【解答】解：（1）原式＝x3+4+5＝x12； （2）原式＝（﹣6xy）×2xy2+（﹣6xy）（x3y2） ＝﹣12x2y3+2x4y3； （3）原式＝4m2n4﹣4m2n4﹣4mn3 ＝﹣4mn3； （4）原式＝3a5b2﹣6a3﹣4a×（a4b2） ＝3a5b2﹣6a3﹣4a5b2 ＝﹣a5b2﹣6a3． 20．已知（x2+mx+3）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2项和x3项． （1）求m，n的值． （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【解答】解：（1）原式＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx+3x2﹣9x+3n ＝x4﹣3x3+mx3+nx2﹣3mx2+3x2+mnx﹣9x+3n ＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m+3）x2+mnx﹣9x+3n 由于展开式中不含x2项和x3项， ∴m﹣3＝0且n﹣3m+3＝0， ∴解得：m＝3，n＝6， （2）由（1）可知：m+n＝9，mn＝18， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴81＝m2+n2+36， ∴m2+n2＝45， ∴原式＝9×（45﹣18） ＝243 21．如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　4m+n ，宽b＝　2m+n ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 【解答】解：（1）大长方形的长a＝m+n+3m＝4m+n，宽b＝m+n+m＝2m+n； 故答案为：4m+n，2m+n； （2）阴影部分的面积： （4m+n）（2m+n）﹣6m（m+n） ＝8m2+4mn+2mn+n2﹣6m2﹣6mn， ＝2m2+n2， ∴阴影部分的面积为2m2+n2； （3），阴影部分的面积为2m2+n2，且S1＝4S2， ∴8m2+6mn+n2＝4（2m2+n2）＝8m2+4n2， 整理得：6mn＝3n2， 解得：n＝2m． 22．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10． 请你根据上述解题思路回答下列问题： （1）已知a+b＝5，ab＝7，求，a2﹣ab+b2的值． （2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值． 【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝7， ∴， a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3×7＝4． （2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c ＝（a﹣c﹣b）2+2（a﹣b）c ＝（﹣10）2+2×（﹣12） ＝76． 23．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　5　 ；②（2+i）2＝　3+4i ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5， ②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 故答案为：①5；②3+4i； （2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1； （3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3， 解得：ab＝2，a+b＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5， ∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0， i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506， ∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i， ∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i． 24．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　﹣3　 时，x2+6x﹣15有最小值是 　﹣24　 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 　大　 （填“大”或“小”）值，该值为 　19　 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0， ∴（x+3）2﹣24≥﹣24， ∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24， ∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24； 故答案为：﹣3，﹣24； （2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19， ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0， ∴﹣（x﹣1）2+19≤19， ∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）∵﹣x2+5x+y+20＝0， ∴y＝x2﹣5x﹣20， ∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0， ∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24， ∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24； ∴y+x的最小值是﹣24； （4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a＝1，b＝4， ∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1． ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴△ABC的周长为1+4+4＝9． 25．小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x+3），由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx﹣6． （1）求a，b的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 【解答】解：（1）∵（3x﹣a）（2x+3）＝6x2+bx﹣6， ∴6x2﹣2ax+9x﹣3a＝6x2+bx﹣6． 即6x2+（9﹣2a）x﹣3a＝6x2+bx﹣6． ∴﹣3a＝﹣6，b＝9﹣2a． ∴a＝2，b＝5． （2）（3x+2）（2x+3） ＝6x2+4x+9x+6 ＝6x2+13x+6． 26．探究应用： （1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8　 ．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　8x3﹣y3 ． （2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为　（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 ． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是C A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C、（4﹣x）（16+4x+x2） D、（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　27x3﹣8y3 ． 【解答】解：（1）（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3+2a2+4a﹣2a2﹣4a﹣8＝a3﹣8； （2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3； （2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （3）能用我发现的乘法公式计算的是C； （4）（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝（3x）3﹣（2y）3＝27x3﹣8y3． 故答案为a3﹣8；8x3﹣y3；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；C；27x3﹣8y3． 27．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 　11　 ； 类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝　1　 ； ②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝　20　 ； 知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积． 【解答】解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝52﹣2×7 ＝25﹣14 ＝11； 故答案为：11． （2）①则x2+（x﹣3）2＝x2+（3﹣x）2 ＝[x+（3﹣x）]2﹣2x（3﹣x） ＝32﹣2×4 ＝9﹣8 ＝1； 故答案为：1． ②∵（x﹣2019）（x﹣2023）＝2， ∴（x﹣2019）（2023﹣x）＝﹣2． ∴（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝（x﹣2019）2+（2023﹣x）2 ＝[x﹣2019+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2019）（2023﹣x） ＝42﹣2×（﹣2） ＝16+4 ＝20； 故答案为：20； （3）由题意，设OA＝OC＝a，OB＝OD＝b， 则a+b＝AD＝16． ∵S△AOC+S△BOD＝60， ∴（a2+b2）＝60． ∴a2+b2＝120． ∴（a+b）2﹣2ab＝a2+b2＝120，即162﹣2ab＝120． ∴2ab＝136． ∴ab＝68． ∴34． 答：一块三角板的面积为34． 28．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， （2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣414． （3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3． （4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）， 把a+b＝3，ab＝1代入得： a3+b3＝33﹣3×1×3＝18． ∴9． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/4 22:55:31；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $