精品解析：福建省泉州第一中学2025-2026学年上学期八年级阶段性质量检测（二）数学试卷

2025～2026学年上学期泉州一中初二年阶段性质量检测（二） 数学试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为（ ） A. 65°,65° B. 50°,80° C. 65°,65°或50°,80° D. 50°,50° 3. 某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 95分的人数最多 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 参赛学生人数为8人 D. 最高分为100分 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一个直角三角形的两条边长分别为13，12，则阴影部分的面积是（ ） A. 50 B. 16 C. 25 D. 41 7. 今有木长二丈，围之三尺、葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度为（ ） A. 尺 B. 29尺 C. 尺 D. 21尺 8. 在中，，，点在边上，．若，，则的长为（ ） A. 9 B. C. 10 D. 9. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一个零件的平面图如图所示：其中，，，．则四边形的周长为______． 12. 如图，在中，，，，以A为圆心，的长为半径，画弧交于点D，则线段的长是______． 13. 某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下： 距离x（） 频数 1 6 7 5 1 根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______ 14. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 15. 如图是正方形网格图，点都是格点，则______． 16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是___． 三．解答题（本大题共9题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务： （1）任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低； （2）任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 19. 阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． （1）上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法； B．反证法． （2）请你补充②中所缺失的部分． 20. 某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 21. 对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． （1）直接写出10系平方差数； （2）已知为k系平方差数，求M的值； 22. 随着电子产品的普及使用，对青少年视力健康状况影响明显，受到社会及家长广泛关注，为了解七、八年级学生的视力健康状况，某校随机抽取部分七、八年级学生进行视力调查，四种视力健康状况的百分比如图所示，七、八年级学生视力健康状况统计表如下表． 视力健康状况 七年级 八年级 视力正常 20 轻度近视 24 16 中度近视 9 高度近视 5 5 根据图表信息，回答下列问题： （1）_________，__________，_________； （2）求被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比； （3）有一位同学说：“七年级近视的人数比八年级多，因此七年级整体视力健康状况比八年级差”，请结合以上数据，判断这种说法是否正确？请说明理由． 23. 如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． （2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，，点在上，，是上的动点，逆时针作正方形． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当点在上时，求的长度； （3）如图3，连接，证明：． 25. 【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期泉州一中初二年阶段性质量检测（二） 数学试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键．根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为（ ） A. 65°,65° B. 50°,80° C. 65°,65°或50°,80° D. 50°,50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类讨论已知角是顶角还是底角，进行分析，从而得到答案 【详解】解：当已知角是底角时，另外两个角分别为：50°，80°； 当已知角是顶角时，另外两个角分别是：65°，65°． 故选：C． 3. 某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 95分的人数最多 B. 最高分与最低分的差是15分 C. 参赛学生人数为8人 D. 最高分为100分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折线统计图数据分析．根据折线统计图对选项中得信息一一判断即可． 【详解】解： A、从统计图可以得出95分的人数最多，为5人，故本选项不符合题意； B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意 C、从统计图可以得出参赛学生人数共有人，故本选项符合题意； D、从统计图可以得出最高分为分，本选项不符合题意． 故选C． 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，， ，故A不符合题意； B、，， ，故B符合题意； C、， ， ，故C不符合题意； D、， ，不能判定为直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图为两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一个直角三角形的两条边长分别为13，12，则阴影部分的面积是（ ） A. 50 B. 16 C. 25 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 由勾股定理解得、，再根据正方形边长相等的性质得到，据此解题即可． 【详解】解：如图： 由勾股定理得，， ， ， 阴影部分的面积是， 故选：A． 7. 今有木长二丈，围之三尺、葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度为（ ） A. 尺 B. 29尺 C. 尺 D. 21尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆柱体的展开图、线段的最短距离和勾股定理，将几何体展开为平面图是解题的关键． 首先将圆柱体侧面展开其侧面图为矩形，再根据已知条件求出矩形的长和宽，再利用勾股定理即可求出这条藤的长度． 【详解】解：如图，将树看作一个圆柱并进行展开，其侧面展开图为矩形， ∵树高2丈， ∴（尺）， ∵藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，且底面周长是3尺， ∴（尺）， ∴（尺），即这条藤的长度为29尺 故选：B． 8. 在中，，，点在边上，．若，，则的长为（ ） A. 9 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 9. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 10. 如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一个零件的平面图如图所示：其中，，，．则四边形的周长为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理分别求出和的长，再利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：32． 12. 如图，在中，，，，以A为圆心，的长为半径，画弧交于点D，则线段的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理求出，再利用线段之间的关系求出所需线段的长． 利用勾股定理先求解，再求解，从而可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ， ， 故答案为：． 13. 某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下： 距离x（） 频数 1 6 7 5 1 根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求频数分布表，用表中优秀人数除以总人数求解即可． 【详解】解：由表中知，共有（人）， 其中八年级女生立定跳远距离不低于的有6人， 则该班女生立定跳远成绩的优秀率为， 故答案为：． 14. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：5． 15. 如图是正方形网格图，点都是格点，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】连接、，根据等腰三角形性质得出，根据平行线的性质得出，证明，说明为直角三角形，，得出，根据平行线的性质得出，得出即可． 【详解】解：连接、如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是___． 【答案】11 【解析】 【分析】由图形得到S△ABC＝S△ABD−S丙−（S△ACE−S甲）−（S△BCF−S乙），设直角三角形三边长为a，b，c，由等边三角形面积公式边长2代入求解． 【详解】解：由图可知，S△ABC＝S△ABD−S丙−（S△ACE−S甲）−（S△BCF−S乙）， 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵∠ACB＝90°，则a2＋b2＝c2． 则S△ACE＝b2，S△ABD＝c2，S△BCF＝a2， ∴＝c2−3−（b2−8）−（a2−6）＝11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解题关键是掌握等边三角形面积公式． 三．解答题（本大题共9题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 18. 如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务： （1）任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低； （2）任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 【答案】（1） ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 根据垂线段最短知：道路设计方案的成本最低； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得， ， ∴修建后的路线比原来的路线缩短了． 19. 阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． （1）上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法； B．反证法． （2）请你补充②中所缺失的部分． 【答案】（1）B （2） 证明：若， ∴，这与已知相矛盾， 综上，． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法： （1）根据证明过程即可得到答案； （2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法， 故选：B； 【小问2详解】 略 20. 某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）原始支撑段的长度是8米 【解析】 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 21. 对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． （1）直接写出10系平方差数； （2）已知为k系平方差数，求M的值； 【答案】（1）36 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查系平方差数的定义，根据系平方差数的定义写出正确的整式是解题的关键． （1）首先根据k系平方差数的定义，直接代入计算即可； （2）首先化简M的整式，再根据k系平方差数的定义列出方程求出k，进而即可求出M的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴10系平方差数为36； 【小问2详解】 解：依题意可知，， ∴，解得：， ∴． 22. 随着电子产品的普及使用，对青少年视力健康状况影响明显，受到社会及家长广泛关注，为了解七、八年级学生的视力健康状况，某校随机抽取部分七、八年级学生进行视力调查，四种视力健康状况的百分比如图所示，七、八年级学生视力健康状况统计表如下表． 视力健康状况 七年级 八年级 视力正常 20 轻度近视 24 16 中度近视 9 高度近视 5 5 根据图表信息，回答下列问题： （1）_________，__________，_________； （2）求被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比； （3）有一位同学说：“七年级近视的人数比八年级多，因此七年级整体视力健康状况比八年级差”，请结合以上数据，判断这种说法是否正确？请说明理由． 【答案】（1）10，11，10 （2）被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比为 （3）这个说法不正确， 理由：因为两个年级抽取的人数不相等， 七年级学生的近视率为，八年级学生近视率为， ， 七年级整体视力健康状况比八年级好． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，统计表，关键是从统计图表得出信息解决问题. (1)根据轻度近视的人数和所占的百分比求出总人数，再计算、、即可； (2)用八年级未能达到视力正常的人数除以八年级的人数即可； (3)分别计算出个年级的近视率进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：抽取七、八年级学生的总人数为(人)， 七、八年级视力正常的人数为(人)， ， 七、八年级中度近视的人数为(人)， ， ， ， 故答案为：10，11，10； 【小问2详解】 解：， 答：被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比为； 【小问3详解】 略 23. 如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． （2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 【答案】（1） （2）米 （3）丙房间的宽是米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论; （2）证明△△，从而得到米，，即可求出结果； （3）根据以及的度数可得到为等边三角形，表示出的长，可得结果； 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据以及的度数可得到为等边三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，米，米， ， ， 甲房间的宽度米， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 ， ， ， ． 在△与△中， ， △△， 米， ， ； 【小问3详解】 过点作垂线，垂足点，连接． 设，且． 梯子的倾斜角为， △为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），． ， ． ， △为等边三角形， ． △△， ， 米， 即丙房间的宽是3.3米． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，，点在上，，是上的动点，逆时针作正方形． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当点在上时，求的长度； （3）如图3，连接，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：过点作于点，过点作于点，延长，交于点，则四边形是矩形， ，， 由（2）知， ，， 设则， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，证明，得出，，由三角形内角和定理可得出答案； （2）过点作于点，则是等腰直角三角形．证明，得出，，求出，由勾股定理可得出答案； （3）过点作于点，过点作于点，延长，交于点，则四边形是矩形，由（2）知，得出，，设则，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，则是等腰直角三角形． ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 25. 【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________． 【答案】 （1），证明如下： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， ∵点G在边AB上， ∴点E，A，D三点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，理由如下： 如图，设交于点I，则， ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解； （2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解； ②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $