精品解析：河南省郑州市中原区锦江中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

郑州市中原区锦江中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选B． 考点：简单几何体的三视图． 2. 如图，，若，则的长度是（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 由平行线分线段成比例定理推出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：D． 3. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 5. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数中比例系数的几何意义，的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值． 【详解】解：由题意得：的面积等于， ∴， 得， 又∵反比例函数图象在二、四象限． ∴， ∴， 故选：B． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 8. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 9. 如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（　　） A. 14 B. 15.6 C. 14.6 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键． 根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴, ∵，，， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 上午10点到共30分钟，， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意； D、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11. 已知，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 12. 如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为300米，则___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质． 利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴， ∴米． 故答案为：． 13. 某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有________ 条鱼. 【答案】1000 【解析】 【分析】第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的十分之一． 【详解】第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的比例为：， ∵先从鱼塘中捞出后作完记号又放回水中的鱼有100条 ∴该鱼塘里总条数约为： =1000（条） 故答案为：1000 14. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可． 【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G， ∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置， ∴，， ∴△AEG∽△DEF， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平移的性质，也考查了相似三角形面积与比相似比间的关系，将题中给出的面积比转化为相似比是解题的关键． 15. 如图，将边长为5的正方形的边绕点A逆时针旋转至，连接，过点D作垂直于直线，垂足为E，连接，，当以，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，的长为__________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和勾股定理，三角形面积计算，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∵四边形是平行四边形，正方形的边长为5， ∴，， ，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ； 当为平行四边形的边时，如图所示： 此时四边形为平行四边形，点E与点A重合， ∴， ∴． 综上分析可知：或10． 故答案为：10或． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以； 【小问2详解】 ， ， ， ， 则或， 所以． 17. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解． （1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况， 小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率：． 18. 如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为． （2）尺规作图：作的角平分线，保留作图痕迹，不写作图方法． （3）点P为y轴上一点，当最小时，点P的坐标为 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣位似变换，轴对称﹣最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点C，D即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）如图，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，点P即为所求．设直线的解析式为，构建方程组求出k，b可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，点P即为所求． 设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 故答案为：． 19. 如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，求旗杆的高度． 【答案】15m 【解析】 【分析】过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出得长，即可求出旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ， 根据题意可得，即，解得， ， 答：旗杆的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）点P在x轴上，且的面积等于4，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；关键是掌握较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和． （1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式；再将A，B代入一次函数解析式即可； （2）由图象可得答案； （3）设点P的坐标为，求出直线与x轴交点，再结合的面积为4得到关于a的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将，代入一次函数解析式中， 得，解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图可得：当或时，； ∴时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 点在轴上，设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 则 ， 解得：或， 点的坐标为或． 21. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点． ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点，先求出，，再根据勾股定理求出、、，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ，是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在，， ． 22. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应降低3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据当“户太八号”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市中原区锦江中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，则的长度是（　　） A. 6 B. C. D. 3. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（ ） A. 10 B. C. D. 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（　　） A. 14 B. 15.6 C. 14.6 D. 15 10. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 二．填空题（共5小题） 11. 已知，那么________． 12. 如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为300米，则___________米． 13. 某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有________ 条鱼. 14. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________． 15. 如图，将边长为5的正方形的边绕点A逆时针旋转至，连接，过点D作垂直于直线，垂足为E，连接，，当以，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，的长为__________． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解． （1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率． 18. 如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为． （2）尺规作图：作的角平分线，保留作图痕迹，不写作图方法． （3）点P为y轴上一点，当最小时，点P的坐标为 ． 19. 如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，求旗杆的高度． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）点P在x轴上，且的面积等于4，请直接写出点P的坐标． 21. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 22. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $