专题06 动点与角度63道经典题型专项训练（9大题型）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第06讲 动点与角度63道经典题型专项训练（9大题型） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 在图形中运动的问题 题型四 动角有关问题 题型五 三角板中角度计算问题 题型六 几何图形中角度计算问题 题型七 实际问题中角度计算问题 题型八 角平分线的有关计算 题型九 角 n 等分线的有关计算 【经典题型一 与线段动点有关问题】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是解题的关键． （1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，当点P是线段的中点时，确定运动时间，后计算即可． 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考） 如图，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点，AB＝14． (1)若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度； (2)若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度： ①当P在AB之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ 【答案】（1）7；（2）①７；②７；③７；规律：线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关，均为7． 【分析】（1）由线段的中点性质解得MP，NP的长，再结合线段的和差解题即可； （2）①当P在AB之间，根据中点性质，分别解得NP、MP的长，再结合图形根据线段的和差解题； ②当P在A左边，根据中点性质，分别解得NP、MP的长，再结合图形根据线段的和差解题； ③当P在B右边，根据中点性质，分别解得NP、MP的长，再结合图形根据线段的和差解题；由①②③得出的结论得到规律． 【详解】（1） 点M为线段PA的中点， 点N为线段PB的中点， ； （2）设AP＝x，BP＝y， 点M，N分别为线段PA，PB的中点， ， ①当P在AB之间， ； ②当P在A左边 ； ③当P在B右边， ； 我发现的规律：线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关，均为7． 【点睛】本题考查线段的中点、数轴上两点间的距离，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： 如图所示： (1)①_______（填“>”“<”或“=”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得；②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 6．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）探究题：如图①，已知线段AB=16 cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若点C恰好是AB中点，则DE=________cm； （2）若AC=6 cm，求DE的长； （3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm.请说明不论a取何值（a不超过16 cm），DE的长不变； （4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=140°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=70°与射线OC的位置无关． 【答案】（1）8；（2）DE=8 cm；（3）不论AC取何值（不超过16 cm），DE的长不变，理由见解析；（4）见解析． 【分析】（1）由中点的定义即可解答； （2）先求出BC的长，再由中点定义即可解答； （3）由中点定义可得：DE=AB，只与AB的长有关； （4）由角平分线的定义可得：∠DOE=∠AOB，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： （1）∵AB=16 cm，C点为AB的中点， ∴AC=BC=8 cm ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD=CE=4 cm， ∴DE=8 cm （2）∵AB=16 cm，AC=6 cm， ∴BC=10 cm． ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD=3 cm，CE=5 cm， ∴DE=8 cm； （3）设AC=a cm． ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴DE=CD+CE=AB=8 cm， ∴不论AC取何值（不超过16 cm），DE的长不变； （4）如图所示： ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOE=∠DOC+∠COE=∠AOB． ∵∠AOB=140°， ∴∠DOE=70°， ∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关． 【点睛】本题考查线段中点、角平分线、线段的有关计算、角的有关计算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度； （2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值； （3）当厘米时，求t的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）、、8， 【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可； （2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论； （3）表示出BP、BQ的长度，再根据列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多种情况讨论； 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动， ∴， P到达C之前时 ∵点C恰好为PQ的中点 ∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴ 解得 P到达C之后时 ∵点C恰好为PQ的中点 ∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴ 解得 故当点C恰好为PQ的中点时或 （3）当P、Q到达C之前时， ， ∴ 解得 当P到达C之后、Q到达C之前时， ， ∴ 解得 当P到达D点时此时，，， 当P到达D点以后、Q到达D之前，， 解得 综上当厘米时，、、8， 【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等． 【经典题型二 线段动点中求定值问题】 8．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知数轴上A、B两点对应的数分别为﹣2和8，P为数轴上任意一点且对应的数为x，C为线段PA的中点． （1）若点P在线段AB上，求2BC﹣BP的值； （2）若点P在线段AB的延长线上，式子2BC﹣BP的值是定值吗？若是，求出它的值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）10；（2）是定值，值为-10 【分析】（1）表示出点C所表示的数，再表示出两点之间的距离，进而做出结果； （2）分两种情况进行解答，一种是中点C在点B的左侧，另一种是点C在点B的右侧，分别画出相应的图形，利用数轴上的数表示两点之间的距离． 【详解】解：（1）如图1，设C点对应的数为c， ∵点P在线段AB上，C为线段PA的中点． ∴AC＝PC， 即：c+2＝x﹣c， ∴c＝， ∴2BC﹣PB＝＝10， 答：2BC﹣BP的值为10． （2）∵点P在线段AB的延长线上，C为线段PA的中点． ∴AC＝PC， 即：c+2＝x﹣c， ∴c＝， ①若点C在点B左侧，如图2， ∴2BC﹣PB＝＝26﹣2x， 因此，当点C在点B左侧时2BC﹣BP的值不是定值； ②若点C在点B右侧，如图3， ∴2BC﹣PB＝＝-10， 因此，当点C在点B右侧时2BC﹣BP的值是定值，值为-10． 【点睛】本题考查了与中点有关的线段计算问题，解题的关键是作出图形，根据线段关系建立等量关系. 9．（24-25七年级·安徽合肥·单元测试）已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动(C、A在B左侧，C在D左侧)． (1)M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN； (2)当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值； ②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值． 【答案】（1）MN=9；（2）①是定值2． 【分析】（1）如图，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，可先计算出CM、BN的长度，然后根据MN＝MC+BC+BN利用线段间的和差关系计算即可； （2）根据题意可得：当CD运动到D点与B点重合时，C为线段AB的中点，根据线段中点的定义可得AC=BC，此时①式可变形为，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图，∵M、N分别为线段AC、BD的中点， ∴CM=AC=（AB﹣BC）=（12﹣4）=4， BN=BD=（CD﹣BC）=（6﹣4）=1， ∴MN＝MC+BC+BN＝4+4+1＝9； （2）①正确，且=2． 如图，当CD运动到D点与B点重合时， ∵AB=12，CD=6， ∴C为线段AB的中点，∴AC=BC， ∴， 而，不是定值． ∴①是定值2． 【点睛】本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算等知识，正确画出图形、熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB． （1）填空：a=　　，b=　　，c=　　 （2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问： ①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1 【分析】（1）根据有理数的性质，A、B、C三点位置，数轴上两点的距公式及点的平移规律回答即可； （2）①分E是DF的中点和点F是DE的中点两种情况计论； ②先用含ｔ的代数式表示，，由3+3k=0求出k问题即可求解 【详解】解：（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度 ∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1， ∴AB=1-（-2）=3 ∵， ∴点C表示的数为c=1+6=7， 故答案为：-2，1，7； （2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t, ∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t， 7-4t, 当点F追上点D时，必将超过点B， ∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF， 如图，当DE=EF，即E为DF的中点时， ， 解得，t=1， 如图，当EF=DF，即F为DE中点时， ， 解得t=， 综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝时，满足题意． ②存在，理由： 点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t, 如图，F在追上E点前， ，， ， 当与t无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1时，满足条件． 【点睛】本题考查了数有理数的性质，数轴上点与数的对应关系及两点的距离，点的平移及线段的中点及分类讨论思想，正确理解点的运动与点的平移的关系是解本题的关键． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析 【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可； （2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可； （3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可． 【详解】解：（1）由，， ， 得，， 所以，； （2）当点在点的右侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 当点在点的左侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， 所以 所以． 综上，线段的长为9； （3）②正确，且．理由如下： 因为点与点重合，所以， 所以，所以， 所以． 【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC． 12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】(1)是 (2)10或0或20 (3)；t=6；；t=12；； 【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可； （2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可； （3）根据题意先用t的代数式表示出线段，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值． 【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是； （2）设点表示的数为x，则， 根据“巧点”的定义可知： ①当时，有，解得，； ②当时，有，解得，； ③当时，有，解得，． 综上，点表示的数为10或0或20； （3）由题意得， （i）、若时，点P为的“巧点”，有 ①当时，，解得，， ②当时，，解得，； ③当时，，解得，； 综上，运动时间的所有可能值有；；； （ii）、若时，点Q为AP的“巧点”，有 ①当时，，解得，； ②当时，，解得，； ③当时，，解得，． 综上，运动时间的所有可能值有：；；． 故，运动时间的所有可能值有：． 【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解． 14．（24-25七年级上·安徽六安·期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4或2 (2)线段的长度为定值，6 【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数； ②由①可求出，再根据，即得出，解出t即可； （2）由分别为线段的中点，即得出，即可得出．求出，即可求出； 【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，； ②因为点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵ ∴， 解得：或2； （2）（2）线段的长度为定值，的长度为6． ∵分别为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键． 【经典题型三 在图形中运动的问题】 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·月考）如图，在中，，，，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，的面积等于10？ 【答案】当t=，或时，△APE的面积等于10． 【分析】分点P在AC上，点P在CE上与点P在BE上三种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：①如图1，当点P在AC上， ∵△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，点E是BC的中点， ∴CE=4，AP=2t． ∵S△APE=AP•CE=×2t×4=10， ∴t=； ②如图2，当点P在CE上时， ∵E是DC的中点，∴BE=CE=4． 又S△APE =EP•AC=•EP×6=10，∴EP=， ∵CP=2t-6， ∴EP=CE-PC=4-（2t-6）=10-2t=，解得t=； ③如图3，当点P在BE上时， 由②可知PC=2t-6，EP=， ∴EP=PC-CE=2t-6-4=2t-10=，解得t=． 综上所述，当t=，或时，△APE的面积等于10． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论． 16．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，正方形中，是的中点，点从点出发，以秒的速度沿折线匀速运动，到点停止运动，设的面积为，点运动时间为秒． (1)点运动到点，= ．点运动到点，= ． (2)请你用含的式子表示y． 【答案】（1）1；3；（2）y=t+1(0≤t＜1)和y=2(1≤t≤3). 【分析】（1）由题意直接根据时间等于路程除以速度进行分析即可求得； （2）根据题意分成两种情况进行分析，利用三角形面积公式即可得解． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD中，AB=2cm， ∴CD=AB=BC=AD=2cm， ∵M是CD的中点， ∴MC=1cm， ∵点P从M点出发，以1cm/秒的速度沿折线MC-CB匀速运动， ∴点P运动到点C，t=1，点P运动到点B，t=3， 故答案为1；3； （2）设△ADP的面积为ycm2，点P运动时间为t秒， 当P在MC上时，y=AD•DP=×2×(1+t)=t+1（0≤t＜1）； 当P在BC上时，y=AD•DC=×2×2=2（1≤t≤3）． 综上所述可得：y=. 【点睛】本题考查三角形的面积公式的运用和正方形性质的运用以及函数的解析式的运用，注意分类讨论思想的运用避免失分． 17．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点， (1)若AC=7cm,BC=5cm,求线段MN的长； (2)若AB=a,点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由； (3)若将(2)中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程． 【答案】(1) MN=6cm；(2)MN=；结果与过程见解析；(3) (2)中的结论依然成立，画图并写出说明过程见解析． 【分析】（1）根据线段中点的性质得出MC和CN的长度，相加即可得出答案； （2）根据线段中点的性质得出和，相加即可得出答案； （3）分两种情况进行讨论：①当点C在线段AB的延长线上时②当点C在线段BA延长线上时，再结合线段中点的性质计算即可得出答案. 【详解】解：（1）∵，M为AC的中点 ∴ ∵，N为BC的中点 ∴ ∴ （2）∵M为AC的中点 ∴ ∵N为BC的中点 ∴ ∴ （3）（2）中的结论依然成立，理由如下： ①当点C在线段AB的延长线上时： ∵M为AC的中点 ∴ ∵N为BC的中点 ∴ ∴ ②当点C在线段BA延长线上时： ∵M为AC的中点 ∴ ∵N为BC的中点 ∴ ∴ 综上所述，（2）中的结论仍然成立. 【点睛】本题主要考查及线段的计算，正确理解线段中点的定义是解题的关键． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在三角形中，，，．点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿的方向运动，点从点沿的方向与点同时出发；当点第一次回到点时，点，同时停止运动；用（秒）表示运动时间． （1）当为多少时，是的中点； （2）若点的运动速度是个单位长度/秒，是否存在的值，使得； （3）若点的运动速度是个单位长度/秒，当点，是边上的三等分点时，求的值． 【答案】（1）2；（2）存在，t=；（3）或 【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得； （2）根据题意可得：当时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可； （3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可. 【详解】解：（1）∵，点P的运动速度为2个单位长度/秒， ∴当P为AB中点时， （秒）； （2）由题意可得：当时， P，Q分别在AB，BC上， ∵点Q的运动速度为个单位长度/秒， ∴点Q只能在BC上运动， ∴BP=8-2t，BQ=t， 则8-2t=2×t， 解得t=， 当点P运动到BC和AC上时，不存在； （3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+8=32， 此时t=32÷2=16， ∵BC+CQ=16+4=20， ∴a=20÷16=， 当点P为靠近点C的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+4=28， 此时t=28÷2=14， ∵BC+CQ=16+8=24， ∴a=24÷14=. 综上：a的值为或. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等. 19．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）． (2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值． (3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值； ②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值． 【答案】(1)90° (2)2022 (3)①；②或 【分析】（1）根据题意，∠DOE=∠DOC+∠COE ，∠DOE =∠AOC，∠COE=∠BOC，结合∠AOC+∠BOC=180°，整体代入计算即可． （2）根据题意，得到a+b=-1，变形-a-b=1，整体代入计算求值即可． （3）①设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，则CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化简得到CB=3AC，代入计算即可． ②分点E在C点的右侧，点E在C点的左侧，且在点A的右侧，点E在A点的左侧三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOC =∠AOC，∠COE=∠BOC， ∵∠DOE=∠DOC+∠COE ， ∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)， ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠DOE=×180°=90°， 故答案为：90°． （2）∵当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020， ∴a +b+2021=2020， ∴a+b=-1， ∴-a-b=1， 当x＝﹣1时， a+bx+2021 = -a-b+2021 =1+2021 =2022． （3）①如图2， 设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x， ∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x， ∵CE＝3CD， ∴BC+3x= 3CA+3x， ∴CB=3AC， ∴AB=CB+AC=4AC， ∴=． ②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x， 当点E在C点的右侧时，如图3， ∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x， ∵点P、Q分别是AE、CE的中点， ∴PE=，QE=， ∴PQ=PE-QE=-=， ∵CE＝4PQ， ∴3m-3x=4×， 解得x=， 故AD=， ∴=． 当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4， ∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x， ∵点P、Q分别是AE、CE的中点， ∴PE=，QE=， ∴PQ=PE+QE=+=， ∵CE＝4PQ， ∴3x-3m=4×， 解得x=， 故AD=， ∴=． 当点E在A点的左侧时，如图5， ∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x， ∵点P、Q分别是AE、CE的中点， ∴PE=，QE=， ∴PQ=PE+QE=+=， ∵CE＝4PQ， ∴3x-3m=4×， 解得x=， 故AD=， ∴=． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了角的计算，代数式的值，线段的计算，熟练掌握整体思想，运用方程思想、分类思想求解是解题的关键． 21．（24-25七年级上·安徽滁州·月考）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC=2，求AB的长； （2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系； 【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长； （4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）． 【答案】（1）AB的长为（）；（2）BD长为2，；（3）C表示的数为（），的长为（）；（4）点D表示的数是1或或或． 【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的长度，进而求出AB的长． （2）设AC的长为x，BD的长为y，利用圆周率点的定义，得到关于x与y的关系式，进而得到x=y，故此时有． （3）利用旋转一周即为圆的周长，得到C点表示的数，假设M点离O点最近，设，利用圆周率点及题（2）的结论，求出，最后求出MN的长度即可．. （4）设点D表示的数为m，根据条件分四类情况：，，，，进行分类讨论，设出对应的方程进行求解m的值． 【详解】（1）,， ， ． （2）点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合， ，． 设， ，则有，， ， ， ， ． （3）由题意可知：C点表示的数是 均为线段OC的圆周率点， 不妨设M点里O点近，且，， ，解得， ，，， 由（2）可知： ． （4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况． ①若，则有，解得． ②若，则有，解得． ③若，则有，解得． ④若，则有，解得． 综上所述，点D表示的数是1或或或． 【点睛】本题是新定义题型，主要考查了列方程和分类讨论的思想，读懂题目中的新定义，并且正确找到分类讨论的所有情况，是解决本题的关键． 【经典题型四 动角有关问题】 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 23．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，直角边放置在直线上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转，运动时间为． (1)当运动时间t为5秒时， ； (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中若射线平分，射线平分，当在直线上面时 ，当在直线下面时 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算，正确进行分类讨论是解答本题的关键． （1）先求出转动的角度，再用减去转动的角度即可得出答案； （2）分两种情况：当在的上方和在的下方分别求出的度数再除以即可得出的值； （3）分两种情况：当在的上方和在的下方，运用角平分线定义可以得解． 【详解】（1）解：转动后的度数为：， 故答案为：； （2）解：当在的上方时，如图， ∵， ∴ ∴； 当在的下方时，如图， 则转动的角度为： ∴； 综上，的值为或； （3）解：当在的上方时， ∵平分，平分， ∴ ∴, 又 ∴， ∴； 当在的下方时， ∵， ∴ ， 故答案为：， 24．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①的度数为 °； ②若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了与角平分线的定义有关的计算，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①根据以及计算即可得解； ②由角平分线的定义可得，由射线在的内部得出，结合，得出，计算即可得解； （2）分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∵射线在的内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当在的内部时， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 如图，当在的外部时， ， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 综上所述，或． 25．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算以及角平分线的性质，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当第一次达到时，根据角之间的和差关系得到列出方程即可； （3）根据题意分三种情况进行分类讨论即可； 【详解】（1）解：由题意可得：射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转， ； （2）解：根据题意可得：， 当第一次达到时，， 即， 解得； （3）解：射线是由射线中的其中两条组成的角的平分线， ①平分， 解得； ②平分， ，即， ， 解得； ③平分， ， ， 解得； 综上所述，当的值分别为时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线． 26．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6或14 (3)存在，运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差，一元一次方程的应用等知识，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）当秒时，，的度数，由即可求解； （2）结合题意用t表示，的度数，分射线与射线重合之前，与射线与射线重合之后，两种情况建立方程求解，即可求得t的值； （3）分三种情况：当时，射线平分；当时，射线平分；当时，射线平分；表示出相关角，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当秒时，，， ∵， ∴ ； （2）解：当运动t秒，且当射线未到达射线时， 当射线重合时，则； ，； 射线与射线重合之前， 有， ∴， 解得：； 射线与射线重合之后， 有， ∴， 解得：； 综上所述，或； （3）解：存在； 当射线首次相遇时，则有， 解得：； 当射线重合时，则； 当射线与重合后返回，与重合时，则有， 解得：； 此时两射线同时到达终点； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴， 解得：； 综上，当运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线． 27．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 【答案】（1）或；（2）的度数不会随的变化而变化，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用等知识点，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据动轴分线的定义求解即可； （2）根据是平角，以及动轴分线定义，得出，从而得出，即可求解． （3）根据为的动轴分线，分为①当时和②当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的动轴分线， 则或， 则，或， 故答案为：或； （2）解：的度数不会随的变化而变化． 理由如下：∵是平角， ， ∵分别是和的动轴分线，且， ， ， ， ， ∴的度数不会随的变化而变化． （3）解：为的动轴分线， ①当时，． 即， 解得：符合题意； ②当时，． 即， 解得：，符合题意； 综上所述，当或时，为的动轴分线． 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 【经典题型五 三角板中角度计算问题】 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象出的几何图形，和是等腰直角三角形，在同一条直线上，连结． (1)已知，求的度数； (2)指出线段和线段的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直且相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据三角形外角性质解答即可； （2）先根据得，进而可依据“”判定△与△全等，进而得出，，则，据此可得出线段和线段的关系． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ； （2）解：垂直且相等， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ，， ， ， 线段和线段的关系是：垂直且相等． 30．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： (1)图1中的度数为 ． (2)在旋转过程中，当平分时，求 的度数． (3)是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在，理由如下： 因为在内部， 所以， 设，则， 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以． 31．（2025七年级上·安徽池州·专题练习）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点O重合在一起，其中直角边在内部． (1)如图2，若，则________，________； (2)若． ①直接写出和的数量关系________． ②当时，求α的度数． 【答案】(1)70 ，110 (2)①；② 【分析】本题考查了角的和差计算，互余的定义，熟练掌握角的和差计算及互余的定义是解题的关键． （1）根据互余的定义及角的和差计算即可； （2）①根据（1）的步骤逐一计算，可得，，两式相加即得答案；②根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：70 ，110． （2）解：①，， ， ， ， ． 故答案为：． ②当时， ， 解得． 32．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）设，则，，然后作差即可； （4）设，根据图形可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：，理由如下： 解：设，则，， （4）设，则，， 33．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 34．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 【答案】（1）①②（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查角度的计算，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①由，得出，则即可得出结果；②由，得出，则即可得出结论； （2）由，，即可得出结论； （3）设，则，由（2）知，解方程可求得和，因为射线平分，则可求，进而的度数可求． 【详解】解：（1）①，， ， ； ②，， ， ； 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ； （3）∵， 设，则， 由（2）知 ， ， ∵射线平分， ∴， ∴． 35．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学． 【操作】 （1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____； 【发现】 （2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值． 【拓展】 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角． （3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值． 【答案】（）；（）；（）当射线、、、构成内半角时，的值为或或或． 【分析】本题考查了旋转的性质，三角板的有关计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角板特征和角度和差即可求解； （）由题意可得，则，，所以，然后解出即可； （）分是的内半角，是的半角，是的内半角，是的内半角四种情况分析即可． 【详解】解：（）∵，，， ∴， 故答案为： （）由题意可得：， 则，， ∵， ∴， 解得：； （）如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：，， ∴，， ∴是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线、、、构成内半角时，的值为或或或． 【经典题型六 几何图形中角度计算问题】 36．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差计算，熟练掌握相关概念，准确表示各角和各角之间的关系是解答本题的关键． （1）设，则，根据求解即可； （2）设，则，得出，然后根据求解即可． 【详解】（1）设，则， 因为平分， 所以， 所以， 解得：，即的度数为； （2）设，则， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得：，即的度数为． 37．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图（1），． (1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？答：_________． (2)找出图①中相等的角（直角除外），并说明理由； (3)在图②中利用尺规作，使得． 【答案】(1)；越来越大 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角的和差，用尺规作一个角等于已知角，熟练掌握角的和差及用尺规作一个角等于已知角是解题的关键． （1）根据角的和差计算即可求得的度数；根据，即可求得答案； （2）根据，两边同减去即可； （3）根据用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：． ， 越来越小时，越来越大． 故答案为：越来越大． （2）解：图①中相等的角（直角除外）是； 理由是： ， ， ； （3）解：如图，就是所求作的角． 38．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 39．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起．如图2固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动． 【解决问题】 (1)在旋转过程中，请写出、之间的数量关系________； (2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由； (3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1) (2)有，平分，平分．理由见解析 (3)或8 【分析】（1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别计算即可得出结果； （2）当运动时间为9秒时，，求出．即可得出平分．再结合，即可得出结果； （3）由题意得，，再分两种情况：当时，当时，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图：当在内部时，， ， 由题意可得，，， ∴； 如图，当在外部时，， ， 由题意可得，，， ∴； 综上所述，； （2）解：有，平分，平分．理由如下： 如图： ， 当运动时间为9秒时，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴平分． ∵， ∴平分； （3）解：由题意，得，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 解得． 综上，或8． 【点睛】本题考查了几何图中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 40．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（3）7或9.4 【分析】本题主要考查邻补角的定义、角平分线的性质和旋转过程中角度的和差关系，解题的关键是熟悉角度和差关系，并应用动态的思想解决问题． （1）利用邻补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义，再得出旋转角，再除以转动速度即可； （3）当在左侧时，在旋转过程中，和；当在右侧时，在旋转过程中，和 ，根据题意分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知：点O，A，C三点共线，且， ∴ （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 在旋转过程中，， ， 当， ∴， 解得：； 当在右侧时， 在旋转过程中， ， ， ， ， 综上：的值为7秒或9.4秒． 41．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）90；（2），见解析；（3）仍然成立，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角度的和与差等知识点，利用角平分线的定义得出与的关系是解题的关键． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合即可解答； （2）由题意得∠，结合角平分线得，结合即可解答； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可解答． 【详解】解：（1）∵点A、O、B在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）．理由如下： 由条件可知． ∵平分，平分， ∴ ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由如下： 由条件可知 ∵是内的一条射线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 42．（24-25七年级上·安徽池州·期末）数学课上，张老师出示了如下题目： 将一副三角板按如图所示方式摆放，分别作出，的平分线，；求的度数． 李明与同桌王丽讨论后进行了如下探究： 探究一：特例分析 （1）按如图2摆放，当，，在同一条直线上时，和仍然是和的平分线，则______； （2）按如图摆放，当时，和仍然是和的平分线，则______； 探究二：类比解答 （3）请你完成张老师出示的题目的解答过程； 探究三：拓展应用 （4）若将张老师出示题目中的条件“分别作出，的平分线，；”改为“分别作出射线，，使，；”求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【分析】本题主要考查了角的和差运算、平角的定义、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系与角的相关性质是解题的关键． （1）先确定三角板角度（、），结合射线共线得出度数，再用角平分线求，最后利用平角计算． （2）先由三角板角度得出的和，结合求出单个角的度数，再用角平分线求、，最后用平角计算． （3）先由三角板角度得出的和，再用角平分线表示，最后用平角计算． （4）先由三角板角度得出的和，再用角的比例关系表示，最后用平角计算． 【详解】解：（1）∵，，且、、共线， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∴； （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【经典题型七 实际问题中角度计算问题】 43．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，在直线上，射线平分，射线在内．    (1)若，求证：射线是的平分线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，平分，即可证明； （2）设，则，根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵． ∴， ∵， ∴． ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线； （2）解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分运算，运用方程思想求解，是解题的关键． 44．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）100°；（2）22.5° 【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果； （2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得． 【详解】解：（1）因为是的角平分线，， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 所以． （2）因为是的角平分线， 所以设． 因为，所以，． 因为是的角平分线，所以 因为，所以， 所以，即． 【点睛】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数． 45．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示．设∠CAC′＝α(0°＜α≤45°)． （1）当α＝15°时，求证：AB∥CD； （2）连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数是否变化，若变化 ，求出变化范围；若不变，求出其度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变，105°． 【分析】（1）根据三角板的特殊角度值即可求解. （2）作出辅助线,根据三角形内角和即可解题. 【详解】(1)证明：∵∠CAC′＝15°， ∴∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°， 又∴∠C＝30°， ∴∠BAC＝∠C， ∴AB∥CD； （2）解：∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变． 如图，连接CC′. ∵∠DBC′＋∠BDC＝∠DCC′＋∠BC′C， ∠CAC′＋∠ACC′＋∠AC′C＝180°， ∴∠CAC′＋∠AC′B＋∠BC′C＋∠ACD＋∠DCC′＝180°， ∵∠AC′B＝45°，∠ACD＝30°， ∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝180°－45°－30°＝105°. 【点睛】本题考查了特殊的直角三角形和三角形的内角和性质,属于简单题,作出辅助线是解题关键. 46．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA、OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s、10°/s，的速度绕点O逆时针转动，当OM、ON逆时针转动到OM'、ON'处，设转动时间为t秒（0≤t≤6）． （1）如图1，∠AOB＝120°，若OM、ON转动时间t＝2时，则∠BON'+∠COM'＝　 　度； （2）若∠AOC＝70°； ①当∠M'ON'＝10°时，求转动时间t的值； ②当∠M'OC＝∠N'OC时，求转动时间t的值． 【答案】（1）；（2）①或；②或 【分析】（1）先求出，，再表示出，，由即可； （2）①在范围内，分两种情况研究，即当与重合之前时，当与重合之后时； ②在范围内，分两种情况研究，即当当与重合之前时，当与重合时列出相应等式进行求解． 【详解】解：（1）依题意：， ， 则， ， ， 故答案是：； （2）①当与重合之前时， ， 解得：， 当与重合之后时， ， 解得：， 故转动的时间或； ②当与重合之前时， ， 解得：， 当与重合时， ， 解得：， 故转动的时间或． 【点睛】本题考查了一元一次方程，角度的关系，解题的关键是根据题意列出相应的等式，利用分类讨论的思想进行求解． 47．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 48．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方． （1）∠QOC= ° （2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止． ①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值； ②当t= 时，OP⊥OC． 【答案】（1）100；（2）①t=5；②3.5或12.5 【分析】（1）根据角的和差关系，直接求出∠QOC的度数，即可； （2）①根据题意，列出关于t的一元一次方程，即可求解；②分两种情况：第一次OP⊥OC时，第二次OP⊥OC时，分别列出关于t的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°， ∴∠QOC=180°-20°-60°=100°， 故答案是：100； （2）①设过t秒，线段OQ与射线OC重合， 则12t+8t=100，解得：t=5， ②第一次OP⊥OC时，∠QOC=90°-60°=30°， 则12t+8t=100-30，解得：t=3.5； 第二次OP⊥OC时，∠QOC=90°+60°=150°， 则12t+8t=100+150，解得：t=12.5， 综上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC， 故答案是：3.5或12.5 【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差的综合应用，根据角的和差关系，列出方程，是解题的关键． 49．（24-25七年级·安徽宣城·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 【经典题型八 角平分线的有关计算】 50．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的定义，一元一次方程的应用，准确识图，正确把握相关知识是解题的关键． （）由，，即可求出的度数； （）由是的平分线，则，设，则，所以，然后通过，得出，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵是的平分线， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的度数为． 51．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线有关的计算，余角、补角有关的计算，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由互为余角的特征得到的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后根据角的和差即可解答； （2）由与互补，可得，结合角平分线的定义可得，进一步即可解答． 【详解】（1）解：是的平分线，， ， 与互余， ， 是的平分线， ， ． （2）解：若与互补，则， ，即， 是的平分线，是的平分线， ，， ，即， ， ． 52．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 53．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 ， ； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 【答案】（1）①，；②每经过一分钟，时针转过，分针转过；（2） 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握钟面角是解题的关键； （1）①由表盘一周表示的角，结合钟表上有12个数字可得，每两个数字与表的中心所成夹角为，据此可直接进行求解；②根据①及钟面角可进行求解； （2）根据（1）可得，然后可得，进而根据角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：（1）①∵表盘一周表示的角，钟表上有12个数字 ∴每两个数字与表的中心所成夹角为， ∴巴黎时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 故答案为：，； ②由①可知，时针每60分钟转过，分针每5分钟转过， 则每经过一分钟，时针转过，分针转过； 答：每经过一分钟，时针转过，分针转过． （2）由（1）可知，依题意得，，， ， 平分，平分， ，， ． 55．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 56．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）综合与探究 数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺的直角顶点O放在直线上，过点O作平分线． 【操作发现】 （1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值： 请依据上表，写出与的数量关系__________． 【思考论证】 （2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺在直线上方绕顶点O旋转时（到达边时停止旋转），与是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（），为的角平分线，当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）满足，见解析；（3）的值为或 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练地利用方程解决问题是解本题的关键． （1）由表格数据可得结论； （2）设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论； （3）分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）根据表中数据得：， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ②当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 【经典题型九 角 n 等分线的有关计算】 57．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 58．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 59．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解：为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 60．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，然后利用角的和差求解即可； （2）同（1）思路一致，利用，分别求出和即可得解； （3）由题易得，，根据两式关系消去即可的解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 61．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，互为余角和补角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）依题意得，，再根据可得出答案； （2）依题意得，，根据角平分线的定义得，再根据可得出答案； （3）设，则，根据，且和互补，得，再根据得，由此解出，进而可得的度数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 和互余， ； （2）解：依题意得：，， 是的平分线， ， ； （3）解：设， ， ， ，且和互补， ， 又，， ， 解得：， ． 62．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：（1）∵根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； （3）依题意得：，，， ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴与（2）同理可得：或或， 即：或或， 分别解得：，，， ∴当t为6秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 63．（24-25七年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【分析】本题是几何变换综合题，考查了线段和角倍数关系，新定义的理解和运用等知识，并与方程相结合，运用分类讨论的思想解决问题． （1）根据C是线段的“二倍点”，即可解答； （2）根据射线是的“二倍线”，即可解答； （3）根据线段的“二倍点”的定义分三种情况即可解答； （4）根据的“二倍线”的定义分三种情况即可解答． 【详解】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，， 当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”； 故答案为∶3； （2）有三种情况∶ ①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”； 故答案为∶3； （3）分三种情况∶ ①当点M是的中点时，， ∴， ∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，， ∴， ∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，， ∴， ∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶ ①当为角平分线时∶， ∴， ∴， ②当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； ③当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 动点与角度63道经典题型专项训练（9大题型） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 在图形中运动的问题 题型四 动角有关问题 题型五 三角板中角度计算问题 题型六 几何图形中角度计算问题 题型七 实际问题中角度计算问题 题型八 角平分线的有关计算 题型九 角 n 等分线的有关计算 【经典题型一 与线段动点有关问题】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考） 如图，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点，AB＝14． (1)若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度； (2)若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度： ①当P在AB之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： 如图所示： (1)①_______（填“>”“<”或“=”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． 6．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）探究题：如图①，已知线段AB=16 cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若点C恰好是AB中点，则DE=________cm； （2）若AC=6 cm，求DE的长； （3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm.请说明不论a取何值（a不超过16 cm），DE的长不变； （4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=140°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=70°与射线OC的位置无关． 7．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度； （2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值； （3）当厘米时，求t的值． 【经典题型二 线段动点中求定值问题】 8．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知数轴上A、B两点对应的数分别为﹣2和8，P为数轴上任意一点且对应的数为x，C为线段PA的中点． （1）若点P在线段AB上，求2BC﹣BP的值； （2）若点P在线段AB的延长线上，式子2BC﹣BP的值是定值吗？若是，求出它的值，若不是，请说明理由． 9．（24-25七年级·安徽合肥·单元测试）已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动(C、A在B左侧，C在D左侧)． (1)M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN； (2)当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值； ②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB． （1）填空：a=　　，b=　　，c=　　 （2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问： ①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 14．（24-25七年级上·安徽六安·期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【经典题型三 在图形中运动的问题】 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·月考）如图，在中，，，，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，的面积等于10？ 16．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，正方形中，是的中点，点从点出发，以秒的速度沿折线匀速运动，到点停止运动，设的面积为，点运动时间为秒． (1)点运动到点，= ．点运动到点，= ． (2)请你用含的式子表示y． 17．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点， (1)若AC=7cm,BC=5cm,求线段MN的长； (2)若AB=a,点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由； (3)若将(2)中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在三角形中，，，．点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿的方向运动，点从点沿的方向与点同时出发；当点第一次回到点时，点，同时停止运动；用（秒）表示运动时间． （1）当为多少时，是的中点； （2）若点的运动速度是个单位长度/秒，是否存在的值，使得； （3）若点的运动速度是个单位长度/秒，当点，是边上的三等分点时，求的值． 19．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）． (2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值． (3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值； ②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值． 21．（24-25七年级上·安徽滁州·月考）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC=2，求AB的长； （2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系； 【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长； （4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）． 【经典题型四 动角有关问题】 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 23．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，直角边放置在直线上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转，运动时间为． (1)当运动时间t为5秒时， ； (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中若射线平分，射线平分，当在直线上面时 ，当在直线下面时 ． 24．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①的度数为 °； ②若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 25．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 27．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 28．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【经典题型五 三角板中角度计算问题】 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象出的几何图形，和是等腰直角三角形，在同一条直线上，连结． (1)已知，求的度数； (2)指出线段和线段的关系，并说明理由． 30．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： (1)图1中的度数为 ． (2)在旋转过程中，当平分时，求 的度数． (3)是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 31．（2025七年级上·安徽池州·专题练习）如图1，将两块直角三角板与的直角顶点O重合在一起，其中直角边在内部． (1)如图2，若，则________，________； (2)若． ①直接写出和的数量关系________． ②当时，求α的度数． 32．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 33．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 34．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 35．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）在数学实践活动课上，“创新”小组准备探索三角尺中的数学． 【操作】 （1）成员们发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．如图，一副三角尺所拼的图案中，_____； 【发现】 （2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，直角边分别重合，将含的三角板绕点逆时针旋转至如图位置处，若此时，求的值． 【拓展】 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图，是的内半角． （3）将两块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图，将三角板绕顶点以度秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，求的值． 【经典题型六 几何图形中角度计算问题】 36．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 37．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图（1），． (1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？答：_________． (2)找出图①中相等的角（直角除外），并说明理由； (3)在图②中利用尺规作，使得． 38．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 39．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起．如图2固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动． 【解决问题】 (1)在旋转过程中，请写出、之间的数量关系________； (2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由； (3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值． 40．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 41．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 42．（24-25七年级上·安徽池州·期末）数学课上，张老师出示了如下题目： 将一副三角板按如图所示方式摆放，分别作出，的平分线，；求的度数． 李明与同桌王丽讨论后进行了如下探究： 探究一：特例分析 （1）按如图2摆放，当，，在同一条直线上时，和仍然是和的平分线，则______； （2）按如图摆放，当时，和仍然是和的平分线，则______； 探究二：类比解答 （3）请你完成张老师出示的题目的解答过程； 探究三：拓展应用 （4）若将张老师出示题目中的条件“分别作出，的平分线，；”改为“分别作出射线，，使，；”求的度数． 【经典题型七 实际问题中角度计算问题】 43．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，在直线上，射线平分，射线在内．    (1)若，求证：射线是的平分线； (2)若，，求的度数． 44．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 45．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示．设∠CAC′＝α(0°＜α≤45°)． （1）当α＝15°时，求证：AB∥CD； （2）连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数是否变化，若变化 ，求出变化范围；若不变，求出其度数． 46．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA、OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s、10°/s，的速度绕点O逆时针转动，当OM、ON逆时针转动到OM'、ON'处，设转动时间为t秒（0≤t≤6）． （1）如图1，∠AOB＝120°，若OM、ON转动时间t＝2时，则∠BON'+∠COM'＝　 　度； （2）若∠AOC＝70°； ①当∠M'ON'＝10°时，求转动时间t的值； ②当∠M'OC＝∠N'OC时，求转动时间t的值． 47．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 48．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方． （1）∠QOC= ° （2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止． ①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值； ②当t= 时，OP⊥OC． 49．（24-25七年级·安徽宣城·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【经典题型八 角平分线的有关计算】 50．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 51．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 52．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 53．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 54．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 ， ； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 55．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 56．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）综合与探究 数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺的直角顶点O放在直线上，过点O作平分线． 【操作发现】 （1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值： 请依据上表，写出与的数量关系__________． 【思考论证】 （2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺在直线上方绕顶点O旋转时（到达边时停止旋转），与是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（），为的角平分线，当时，求t的值． 【经典题型九 角 n 等分线的有关计算】 57．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 58．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 59．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 60．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 61．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 62．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 【解决问题】 （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；(填“是”或“不是”) （2）若，射线是的“巧分线”，则 ； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当t为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由． 63．（24-25七年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $