专题05 角的比较与补（余）角重难点题型专训（4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理“角的比较与补（余）角”单元，涵盖角平分线、角的运算、余角补角及性质4个核心知识点，以逻辑递进关系呈现定义、性质与注意事项，结合即时训练题标注重难点分布，培养学生几何直观与空间观念。 讲义亮点在于12大题型分层设计，从基础的角平分线计算到综合的三角板角度问题、实际光的反射应用，融入尺规作图等技能训练，通过拓展训练提升推理意识与运算能力，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题05 角的比较与补（余）角重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 角的比较 题型二 角平分线的有关计算 题型三 角n等分线的有关计算 题型四 求一个角的余角 题型五 求一个角的补角 题型六 与余角、补角有关的计算 题型七 尺规作一个角等于已知角 题型八 尺规作角的和、差 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 几何图形中角度计算问题 题型十一 同(等)角的余(补)角相等的应用 题型十二 实际问题中角度计算问题 拓展训练一 角平分线的有关计算综合 拓展训练二 几何图形中角度计算综合 拓展训练三 余角、补角计算综合 知识点一：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，根据角平分线的定义即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵平分， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，点E，B，C在同一直线上，平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，先根据平角的定义得出，再根据角平分线的定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 知识点二：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是正确作出辅助线．取格点，使得，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得， ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，则的度数为 ° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 知识点三：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角． 【详解】解：∵， ∴的余角为：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 【答案】35 【分析】本题考查平角的性质．由，计算可得结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：35． 知识点四：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 先根据，求出，再根据可得出的度数，继而可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·月考）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有 对． 【答案】 【分析】本题可根据已知条件，利用角的和差关系来找出相等的角．本题主要考查了角的和差关系，熟练掌握角的和差运算是解题的关键． 【详解】解： ， 相等的角有与，与，共对 故答案为：． 【经典例题一 角的比较】 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 1．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，网格为正方形网格，则 ．    【答案】/大于 【分析】依据图形即可得到，，进而得出两个角的大小关系． 【详解】解：由图可知：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的比较，掌握比较角的大小方法是解答此题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，用“＞”或“＜”填空： （1）在图①中， ； （2）在图②中， ． 【答案】 【分析】（1）由角的和差即可比较大小； （2）由图可知是锐角，是直角，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由图可知是锐角，是直角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题关键是灵活运用角的大小比较方法． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）在某工厂生产流水线上生产如图所示的零工件，其中称为工件的中心角，生产要求的标准角度为，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数．请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法．    【答案】测量法，另外有叠合法，理由见解析 【分析】根据角的比较方法：测量法和叠合法，测量法测量具体，而叠合法更直观，在质检中，采用叠合的方法比较快捷． 【详解】解：该质检员采用的方法是测量法， 还可以使用叠合法，即在工件中找出一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件， 然后可把几个零工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况， 当零工件的另一边落在角度为31°和角度为29°的两个工件的另一边的中间，则零工件符合要求，否则，不符合要求． 【点睛】本题主要考查了角的比较大小，关键是掌握角比较大小的方法． 【经典例题二 角平分线的有关计算】 【例2】（24-25七年级·安徽安庆·期中）如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可. 【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故③说法正确，符合题意； 在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意； 故③⑤说法正确. 故选：． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】此题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，即可得出结果． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽·期末）如图，平分，C为内部一点，连接，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算． 根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【经典例题三 角n等分线的有关计算】 【例3】 （2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·月考）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∴,共3个 故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 2．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习），射线是它的四等分线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 【经典例题四 求一个角的余角】 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）下列图形中，和互为余角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了互余的概念，掌握该定义是解题的关键．如果两个角的和等于，那么这两个角互余，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，互为补角，不符合题意； C、，互为补角，不符合题意； D、，互为余角，符合题意； 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余关系，根据垂直知，，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴； 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，直线、交于点O，于点O，，平分，的补角有 个；的余角有 个． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．易错点是容易遗漏相等的角的补角与余角． ①根据补角的定义可得是的补角．根据同角的余角相等可得，根据平角的定义可得，进而可得，则可得是的补角，再根据平分，得，所以，故是的补角．综上，的补角有3个； ②由余角的定义可得是的余角．又由，可得是的余角．由可得是的余角．由余角的定义可得是的余角．综上，的余角有4个． 【详解】解：①∵直线、交于点O， ∴， ∴是的补角． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是的补角． 又平分， ， ， ， 是的补角． 综上，的补角有3个； ②∵， ∴， ∴是的余角． ∵， ∴是的余角． ∵平分， ∴， ∴是的余角． ∵， ∴， ∴是的余角． 综上，的余角有4个． 故答案为：3，4． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了余角的定义，正确认识图形，熟练掌握余角定义是解题的关键．根据图形，结合已知条件，余角的定义，即可得到的度数． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当，请指出图1中的一对互余的角． (2)如图1，当，时，的度数是多少？请说明理由． (3)如图2，当，时，________． (4)如图3，当，时，猜想：________． 【答案】(1)和互余 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据可得，从而可得，由此即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； （3）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； （4）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 即和互余． （2）解：，， ， 是的平分线，是的平分线， ∴，， ． （3）解：，， ， 是的平分线，是的平分线， ∴，， ， 故答案为：． （4）解：，， ， 是的平分线，是的平分线， ∴，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 【经典例题五 求一个角的补角】 【例5】（24-25七年级上·安徽池州·期中）图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，如果两个角的度数和为，那么这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角．据此求解即可． 【详解】解：根据平角的意义知：, ∴的补角是， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是补角，若两个角的和等于，则这两个角互补，掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互补的角是, ∵， ∴， ∴与互补的角是， ∴与互补的角有3个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，该笔记本的展开角度，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个角的补角，和为的两个角互为补角，根据补角的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为， 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴的补角为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，补角的定义． （1）先由即可求出，再根据补角的定义即可解答； （2）由角平分线的定义可求得，，进而根据角的和可求得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的补角为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴． 【经典例题六 与余角、补角有关的计算】 【例6】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角板可得，根据，可得，然后代入，进而得到的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得：， 根据题意可得：，即， 即：， 解得：， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，与互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此即可判断． 【详解】解：若两个角的和为，则这两个角互余． A、图中（平角定义 ），所以，满足互余，A正确； B、图中与是三角板中对应相等的角（如与 ），和不为，不互余，B错误； C、图中（对顶角或三角板角度对应 ），和不为，不互余，C错误； D、图中，，不互余，D错误； 故答案为：A． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算、余角、邻补角等知识点， 先根据余角求出的度数，再利用邻补角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，于点O，是内的一条射线，是同一平面内的一条射线，且与互余，若，则 ，的度数为 ． 【答案】 60 或 【分析】考查了余角和垂线的定义，掌握分类思想的运用，以及数形结合思想的运用是解题关键．先由垂直得，再根据角的和差得，再根据互余的定义得，射线存在两种情况，射线在上面；射线在下面，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与互余， ∴； 射线分以下两种情况： 当射线在上面时，如图， 此时； 当射线在下面时，如图， 此时； 综上，的度数为或． 故答案为：60；或． 4．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的计算，与余角、补角有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，则可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再设，，则，，然后根据补角的定义可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 设，， ∴， ， ∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 尺规作一个角等于已知角】 【例7】（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图，用尺规作图作出，则作图痕迹的弧是（   ） A．以点B为圆心，以长为半径的弧 B．以点B为圆心，以长为半径的弧 C．以点E为圆心，以长为半径的弧 D．以点E为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图——作与已知角相等的角，根据作图方法可得作图痕迹的弧是以点E为圆心，以长为半径的弧． 【详解】解：由题意得，作图痕迹的弧是以点E为圆心，以长为半径的弧， 故选：D． 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，掌握基本的尺规作图是解题的关键．根据基本的尺规作图判断，本题的尺规作图是作一个角等于已知角，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，此选项符合题意； B、∵，即，故该选项正确，此选项不符合题意； C、，故该选项正确，此选项不符合题意； D、，故该选项正确，此选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了画一个角等于已知角，角平分线的定义，由画图可得，得到，再利用平角定义求出即可求解，理解作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【答案】/140度 【分析】本题考查的知识点是尺规作等角的方法及角的和差运算；通过尺规作图得，再利用已知角的度数，结合角的和差关系求出所求角的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025七年级上·安徽马鞍山·专题练习）尺规作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)如图，已知线段，延长线段至点，使得，再反向延长至点，使得． (2)如图，在三角形中，用直尺和圆规在的内部作射线，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查基本作图—作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键． （1）在延长线上截取，在反向延长线上截取即可； （2）分别以B，C为圆心，以相同的半径长画弧，交于点G，交于点E，交于点F，再以G为圆心，长为半径画弧，两条弧的交点为H，然后连接点B和点H并延长，即为射线． 【详解】（1）解：如下图即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作． 【经典例题八 尺规作角的和、差】 【例8】（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）尺规作角时，圆规的主要作用是（        ）． A．画直线 B．截取等长线段和画弧 C．量角度 D．画垂线 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图中圆规的作用．尺规作图中，圆规用于画弧和截取等长线段，这是作角的关键步骤． 【详解】解：∵尺规作角时，需用圆规在已知角上截取等长线段并画弧，再在目标位置画相同弧以确定角． ∴圆规的主要作用是截取等长线段和画弧． 故选：B． 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）尺规作时，下列第一步正确的是（   ）． A．先作 B．先作 C．先作 D．先作 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作角的和、差．根据题意，作，那么首先要作出较大的角，即先作． 【详解】解：∵，作， ∴第一步应先作 故选：B． 2．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，已知，用尺规作，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作角的和、差．根据图形可得，即可求解． 【详解】解：依题意； 故答案为：． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）用尺规作一个角等于三个已知角的和，需要作 次“作一个角等于已知角”的操作． 【答案】3 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作角的和、差．作三个已知角的和需要依次复制每个角，每次复制一个角需一次“作一个角等于已知角”的操作，因此共需三次． 【详解】解：尺规作图中，“作一个角等于已知角”是一次基本操作． 作三个已知角的和时，先作第一个角，再以第一个角的一边为边并在其外部作第二个角，得到前两个角的和，然后以这个和角的一边为边并在其外部作第三个角，最终得到三个角的和． 因此，共需三次“作一个角等于已知角”的操作． 故答案为：3 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·月考）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和如图所示，作出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，先作，再在内部作，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求， 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度计算问题． 根据三角板的性质得，可得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵这是一副三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）将一副一角板（1个两个内角都为的等腰直角三角板，一个两个内角为和的直角三角板）按如图方式摆放，与不一定互补的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查与三角板有关的计算，分别计算是否等于即可． 【详解】解：A、，即与互补，故选项A不符合题意； B、无法计算，故选项B符合题意； C、如图，，则， ∵， ∴，故选项C不符合题意； D、如图，， ∵， ， ∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，余角的性质：同角或等角的余角相等．根据同角的余角相等是解此题的关键．根据分别与互余，与互余即可求解． 【详解】解：， ， 即与互余，与互余， ， ， 故答案为： 3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、一元一次方程的应用，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． （1）由图可得，结合，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数； （2）由图可知，，得出，再由，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：由图可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【经典例题十 几何图形中角度计算问题】 【例10】 （25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，用量角器测得的度数，是其角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图示，得，结合是其角平分线，则，解答即可． 本题考查了量角器的读数，角的平分线，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据图示，得， 又是其角平分线， 则， 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，将个同样的正方形的一个顶点重合放置．若，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的运算问题，由，，可得，即得，同理可得，得到，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∵， ， 同理可得，， ∴， ， 故选：． 2．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意可分四种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）按图填空： （1） ； （2） ； （3）（ + ）． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差关系，是基础题，准确识图是解题的关键．分别根据图中各角度之间的包含关系解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：（1）；；（2）；（3）；． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查角平分线的相关计算和角的和差等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键． （1）根据直线平分求出再求出根据平分即可得到的度数； （2）根据角平分线定义得到得到，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ （2）∵分别平分和， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 【经典例题十一 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例11】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补． 【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 1．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握“同角的余角相等”是解题的关键． 先根据直角的定义得出和、和的数量关系，再利用余角的性质判断与的关系． 【详解】解：∵，都是直角， ∴， ∴，， ∴和都是的余角， ∴（同角的余角相等）． 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与之间有什么关系_________（选填“互余”“互补”或“相等”）？请说明你判断的依据． （1）如图①，与 ，依据： ． （2）如图②，与 ，依据： ． （3）如图③，与 ，依据： ． （4）如图④，与 ，依据： ． 【答案】 互余 相等 同角的余角相等 相等 等角的补角相等 互补 【分析】本题考查了角度的比较.根据每个图形三角板的位置摆放可求出与的关系，即可判断是否互余或互补. 【详解】解：（1）图①可知，与一个直角组成一个平角，，可知 与互余． （2）图②中都是同一个角的余角，根据同角的余角相等，可知与相等. （3）图③中分别是同一个角的补角，根据等角的补角相等，可知与相等. （4）图④中，组成一个平角，得，由互补的定义， 可知与互补． 故答案为：①互余 ② ③相等 ④同角的余角相等⑤相等⑥等角的补角相等⑦互补 ⑧．   4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图，已知与互补，与互补．那么与有什么数量关系？请试着说明理由． （2）如图，已知与互补，与互补．如果，那么与有什么数量关系？请试着说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了补角，熟练掌握补角的性质是解题关键． （1）先根据补角的定义可得，，再根据同角的补角相等即可得； （2）先根据补角的定义可得，，再根据等角的补角相等即可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵与互补，与互补， ∴，， ∴． （2），理由如下： ∵与互补， ∴， ∵， ∴． ∵与互补， ∴， ∴． 【经典例题十二 实际问题中角度计算问题】 【例12】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论： ①； ②若射线经过刻度，则与互补； ③若，则射线经过刻度45． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由==36°，得，即可判断①，由=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，即可判断②，由，得，进而得，即可判断③． 【详解】∵射线、分别经过刻度和，绕点逆时针方向旋转到， ∴==36°， ∵，， ∴， 故①正确； ∵射线经过刻度， ∴=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°， ∴+=54°+126°=180°，即：与互补， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴射线经过刻度45． 故③正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查角的和差倍分关系以及补角的定义，掌握角的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽池州·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 【拓展训练一 角平分线的有关计算综合】 1．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的相关概念及应用： （1）先求出，再求出，最后根据即可求出； （2）根据已知条件即可列出等量关系，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ∵， ； （2）解：由题意可知， 即， ， ， 即． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了方向角的计算、角的和差关系、角平分线的性质，熟练掌握方向角的定义及角的运算规则是解题的关键． （1）先算出的度数，结合，再确定相对于北的方向角． （2）先确定与成平角，再结合的度数求． （3）利用角平分线的性质求出，再结合的度数求． 【详解】（1）解：∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ∴， ∵， ∴， ∵射线的方向是北偏东， ∴射线的方向是北偏东即北偏东； （2）解：∵是的反向延长线， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．     【答案】（1）；（2），理由见解析；变式探究：，理由见解析； 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，三角板角度特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差求出，再结合角平分线定义求出，最后根据计算求解，即可解题； （2）猜想，设，再类比（1）的推理过程整理说明即可． 变式探究：猜想，设，再类比（2）的推理过程整理说明即可． 【详解】解：（1），， ， 平分， ， ； （2），理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 变式探究：，理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 【拓展训练二 几何图形中角度计算综合】 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差计算，熟练掌握相关概念，准确表示各角和各角之间的关系是解答本题的关键． （1）设，则，根据求解即可； （2）设，则，得出，然后根据求解即可． 【详解】（1）设，则， 因为平分， 所以， 所以， 解得：，即的度数为； （2）设，则， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得：，即的度数为． 2．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线． (1)如图1，三角板的一边与射线重合． ①的余角是___________，补角是___________； ②若，则的度数为___________； (2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）①根据余角和补角的定义进行解答即可； ②根据和即可得出答案； （2）设，则，根据恰好平分，得出，根据列出方程，解方程，得出x的值，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴的余角是，补角是； 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 4．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）90；（2），见解析；（3）仍然成立，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角度的和与差等知识点，利用角平分线的定义得出与的关系是解题的关键． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合即可解答； （2）由题意得∠，结合角平分线得，结合即可解答； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可解答． 【详解】解：（1）∵点A、O、B在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）．理由如下： 由条件可知． ∵平分，平分， ∴ ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由如下： 由条件可知 ∵是内的一条射线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O旋转至图2的位置，使边在的内部，若恰好平分，则______，______； (2)将图1中的三角板绕点O旋转，使边在的内部，试探究与之间的数量关系； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3)23或59 【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的定义． （1）由邻补角的定义与角平分线的定义可得答案． （2）分两种情况讨论：当在的外部时，当在的内部时，再结合角的和差运算可得答案． （3）解：分两种情况讨论：①如图，当平分时，②如图，当的反向延长线平分时，再分别画示意图，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 分两种情况讨论： 当在的外部时， ∴． ∵，， ∴； 当在的内部时， ∴， ∴． 综上所述，与之间的数量关系为或． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当平分时， ， ∴旋转的角度是：， ∴； ②如图，当的反向延长线平分时， ， ∴， ∴旋转的角度是：， ∴． 综上所述，t的值为23或59． 【拓展训练三 余角、补角计算综合】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，是的4倍，的补角比的余角大． (1)求，的度数； (2)若，试问平分吗？为什么？ 【答案】(1)，； (2)平分，理由见解析． 【分析】（1）由题意可知，根据补角和余角的定义可得，把代入即可求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据即可求出的度数，得到，即可得答案． 【详解】（1）∵是的4倍， ∴， ∵的补角比的余角大， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为180度．解题的关键是能准确地从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数．结合图形，完成填空： ① 所以 ② 因为 所以 在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．    【答案】90，，40，同角的余角相等 【分析】本题考查了直角三角形的性质． 根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等补全过程即可． 【详解】 ① 所以 ② 因为 所以 在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等． 故答案为：90，，40，同角的余角相等 3．（24-25七年级上·安徽六安·月考）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 1．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角和余角的概念，通过建立方程求解角度．设这个角为，根据补角和余角的定义，补角为，余角为，再根据补角等于余角的倍列方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则其补角为，余角为， 又补角等于余角的倍， ， ． 因此，这个角的度数是． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等． 根据同角的余角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ，． ． 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，关键是掌握角的和差的运算．由，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得，， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】解：作图过程正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，； ①以为圆心，长为半径画，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②作射线，则， 故正确的顺序是④①③②， 故选：D． 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线及角的和差．根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 6．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，已知，用尺规作，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作角的和、差．根据图形可得，即可求解． 【详解】解：依题意； 故答案为：． 7．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习），射线，是它的三等分线，则相邻两条等分射线所成的角为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键． 由三等分线的定义可知，将角平均分成三个相等的部分，每个部分的角度相等即可解答． 【详解】解：∵，射线，是它的三等分线， ∴每个等分角的度数为． ∴相邻两条等分射线所成的角为． 故答案为：36． 8．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，请填出符合下列等式的角： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题主要考查角的和差，正确认识图形是解答本题的关键． （1）根据两角的和可得结论； （2）根据两角的差可得结论； （3）根据三个角的和可得结论； （4）根据角的和差可得结论． 【详解】解：（1）（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 9．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置， （1）若，则 ； （2）请直接写出α，β，γ三个角的数量关系： ； 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，与余角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，故再代入数值到进行计算，即可作答． （2）先理解题意，得再代入，进行化简，即可作答． 【详解】解：（1）如图所示： ∵ ∴ 依题意，， ∴， 故答案为：； （2）依题意， ∴ 依题意，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两把形状、大小完全相同的含有角的三角尺与三角尺按如图①所示的方式放置，，，三点在同一直线上．现将三角尺绕点顺时针旋转一定角度，如图②．若平分，平分，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意，结合图形，得到，根据角平分线，，，从而得到结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 11．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角度和差， 先通过角度和差关系得到，，进而可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴． 12．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，已知和．用直尺和圆规作角，使其大小为 ，（要求：不写画法，但要保留作图痕迹，在框内作图） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，先作出，再作出即可． 【详解】解：如图，． 13．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，射线平分，请你用上述描述方法描述射线的方向． 【答案】北偏东 【分析】本题主要考查了方向角与角平分线的应用，熟练掌握角的和差计算与角平分线的性质是解题的关键．先根据已知方向求出的度数，再利用角平分线的性质得到的度数，最后结合求出，从而确定射线的方向． 【详解】解：∵，，平分 ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴射线的方向为北偏东 14．（25-26七年级上·安徽六安·月考）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)【知识探究】 若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)【类比探究】 对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若，则 ． (4)试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3) (4)的大小不会变化， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段的和差及角的计算，熟知角平分线的定义、线段中点的定义及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据题意，先求出的长，再结合线段中点的定义求出及的长即可解决问题； （2）由题意可求得，因为，分别是，的中点，则可求得的长度，则可求； （3）类比（1）中线段的解法，结合角平分线的定义进行计算即可； （4）类比（2）中线段的规律，利用角平分线的定义，三角形内角和定理进行计算，然后整体代入即可得的大小不会变化，且． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； （2）解：不变化， 理由：，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； （4）答：的大小不会变化，且，理由如下： ，分别平分和， ，， ， ， ． ， ， ， ， 即． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON=______°． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？ 【答案】（1）35；（2）5.5或23.5 【分析】（1）先计算∠MOB的度数，再利用互余原理计算即可； （2）分ON的反向延长线平分∠AOC和ON所在射线平分∠AOC两种情形计算，先计算需要旋转的度数，除以旋转的速度即可得到旋转需要的时间. 【详解】解：（1）如图2， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC=∠MOB， 又∵∠BOC=110° ∴∠MOB=55°， ∵∠MON=90°， ∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°, 故答案为：35°； （2）∵∠BOC=110° ∴∠AOC=70°， 当射线NO的延长线恰好平分锐角∠AOC时， ∵∠AOD=∠COD=35°， ∴∠BON=35°，∠BOM=55°， 即逆时针旋转的角度为55°， 由题意得，10t=55， 故t=5.5. 当ON平分∠AOC时， 逆时针旋转的角度为：360°-90°-35°=235°， 由题意得，10t=235， ∴t=23.5； 故t=5.5秒或t=23.5秒. 【点睛】本题考查了旋转的意义，角的平分线，互余的性质，分类的思想，熟练掌握性质，正确进行分类是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 角的比较与补（余）角重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 角的比较 题型二 角平分线的有关计算 题型三 角n等分线的有关计算 题型四 求一个角的余角 题型五 求一个角的补角 题型六 与余角、补角有关的计算 题型七 尺规作一个角等于已知角 题型八 尺规作角的和、差 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 几何图形中角度计算问题 题型十一 同(等)角的余(补)角相等的应用 题型十二 实际问题中角度计算问题 拓展训练一 角平分线的有关计算综合 拓展训练二 几何图形中角度计算综合 拓展训练三 余角、补角计算综合 知识点一：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，点E，B，C在同一直线上，平分．若，则 ． 知识点二：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即时训练】 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，在边长相等的正方形网格中，与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，则的度数为 ° 知识点三：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则的余角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 知识点四：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·月考）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有 对． 【经典例题一 角的比较】 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，网格为正方形网格，则 ．    3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，用“＞”或“＜”填空： （1）在图①中， ； （2）在图②中， ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）在某工厂生产流水线上生产如图所示的零工件，其中称为工件的中心角，生产要求的标准角度为，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量的度数．请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法．    【经典例题二 角平分线的有关计算】 【例2】（24-25七年级·安徽安庆·期中）如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，，则的度数为 ． 3．（25-26七年级上·安徽·期末）如图，平分，C为内部一点，连接，平分，若，则的度数为 ． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【经典例题三 角n等分线的有关计算】 【例3】 （2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 1．（24-25七年级上·安徽滁州·月考）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习），射线是它的四等分线，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【经典例题四 求一个角的余角】 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）下列图形中，和互为余角的是（    ） A．B．C． D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，直线、交于点O，于点O，，平分，的补角有 个；的余角有 个． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当，请指出图1中的一对互余的角． (2)如图1，当，时，的度数是多少？请说明理由． (3)如图2，当，时，________． (4)如图3，当，时，猜想：________． 【经典例题五 求一个角的补角】 【例5】（24-25七年级上·安徽池州·期中）图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，该笔记本的展开角度，则的补角的度数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【经典例题六 与余角、补角有关的计算】 【例6】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，与互余的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，于点O，是内的一条射线，是同一平面内的一条射线，且与互余，若，则 ，的度数为 ． 4．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 【经典例题七 尺规作一个角等于已知角】 【例7】（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图，用尺规作图作出，则作图痕迹的弧是（   ） A．以点B为圆心，以长为半径的弧 B．以点B为圆心，以长为半径的弧 C．以点E为圆心，以长为半径的弧 D．以点E为圆心，以长为半径的弧 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 3．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 4．（2025七年级上·安徽马鞍山·专题练习）尺规作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)如图，已知线段，延长线段至点，使得，再反向延长至点，使得． (2)如图，在三角形中，用直尺和圆规在的内部作射线，使． 【经典例题八 尺规作角的和、差】 【例8】（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）尺规作角时，圆规的主要作用是（        ）． A．画直线 B．截取等长线段和画弧 C．量角度 D．画垂线 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）尺规作时，下列第一步正确的是（   ）． A．先作 B．先作 C．先作 D．先作 2．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，已知，用尺规作，则 ． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）用尺规作一个角等于三个已知角的和，需要作 次“作一个角等于已知角”的操作． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·月考）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和如图所示，作出． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）将一副一角板（1个两个内角都为的等腰直角三角板，一个两个内角为和的直角三角板）按如图方式摆放，与不一定互补的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【经典例题十 几何图形中角度计算问题】 【例10】 （25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，用量角器测得的度数，是其角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，将个同样的正方形的一个顶点重合放置．若，，则=（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）按图填空： （1） ； （2） ； （3）（ + ）． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 【经典例题十一 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例11】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 2．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与之间有什么关系_________（选填“互余”“互补”或“相等”）？请说明你判断的依据． （1）如图①，与 ，依据： ． （2）如图②，与 ，依据： ． （3）如图③，与 ，依据： ． （4）如图④，与 ，依据： ． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图，已知与互补，与互补．那么与有什么数量关系？请试着说明理由． （2）如图，已知与互补，与互补．如果，那么与有什么数量关系？请试着说明理由． 【经典例题十二 实际问题中角度计算问题】 【例12】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论： ①； ②若射线经过刻度，则与互补； ③若，则射线经过刻度45． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 3．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【拓展训练一 角平分线的有关计算综合】 1．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．     【拓展训练二 几何图形中角度计算综合】 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线． (1)如图1，三角板的一边与射线重合． ①的余角是___________，补角是___________； ②若，则的度数为___________； (2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图1，在同一个平面上，已知点为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与重合，三角板可绕点旋转，设，点在线段上． (1)【问题探究】已知，且，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板绕点旋转到图2位置时，平分，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系为______________． 4．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 5．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O旋转至图2的位置，使边在的内部，若恰好平分，则______，______； (2)将图1中的三角板绕点O旋转，使边在的内部，试探究与之间的数量关系； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______． 【拓展训练三 余角、补角计算综合】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，是的4倍，的补角比的余角大． (1)求，的度数； (2)若，试问平分吗？为什么？ 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数．结合图形，完成填空： ① 所以 ② 因为 所以 在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．    3．（24-25七年级上·安徽六安·月考）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值．                1．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，已知，用尺规作，则 ． 7．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习），射线，是它的三等分线，则相邻两条等分射线所成的角为 ． 8．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，请填出符合下列等式的角： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置， （1）若，则 ； （2）请直接写出α，β，γ三个角的数量关系： ； 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将两把形状、大小完全相同的含有角的三角尺与三角尺按如图①所示的方式放置，，，三点在同一直线上．现将三角尺绕点顺时针旋转一定角度，如图②．若平分，平分，则的度数是 ．    11．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）已知：如图，，．求证：． 12．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，已知和．用直尺和圆规作角，使其大小为 ，（要求：不写画法，但要保留作图痕迹，在框内作图） 13．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，射线平分，请你用上述描述方法描述射线的方向． 14．（25-26七年级上·安徽六安·月考）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)【知识探究】 若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)【类比探究】 对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若，则 ． (4)试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON=______°． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $