专题04 角重难点题型专训（4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义以“角”为核心，通过4个知识点（角的概念、角度制换算、钟表夹角、方位角）系统梳理知识脉络，结合9大题型分类呈现（概念理解、表示方法、钟面角等），并以即时训练和注意事项标注重难点，构建清晰知识框架。 讲义亮点在于“基础-综合-拓展”三级练习设计，如钟面角计算（7点15分夹角）、方向角位置确定等题型，培养几何直观与运算能力。拓展训练融合跨情境问题，自我检测覆盖不同难度，助力分层教学，支持学生自主复习与教师精准授课。

专题04角重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 角度的四则运算 题型七 与方向角有关的计算题 题型八 角的单位与角度制 题型九 角的度数大小比较 拓展训练一 方向角、钟面角计算综合 拓展训练二 利用方向角确定位置问题 拓展训练三 与钟表上有关夹角问题 知识点一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·月考）一个的角放在10倍的放大镜下看是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】因为角是从同一点引出的两条射线组成的图形，它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系． 【详解】解：由分析可知：一个角度数为，在10倍的放大镜下观察，这个角的度数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念，掌握从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角是 度． 【答案】20 【分析】角在放大镜下大小不变，据此解答． 【详解】解：把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角大小不变，还是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了角的概念，熟知角的特性是关键． 知识点二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）将转化为度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度分秒之间的转换， 根据进率为60，将 “度”化为“分”，再将“分”化成“秒”，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度和分之间的换算，根据进行求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：；． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）7点分，时钟的时针与分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图所示，下午5：00时，钟面上时针与分针之间的夹角度数是 ． 【答案】150° 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上5：00时，分针指在12上，时针指在5上，构成的角的度数是30×5=150°． 【详解】解：根据分析，当钟面上5：00时，分针指在12上，时针指在5上， 构成的角的度数是30×5=150°． 故答案为：150°． 【点睛】解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行解答．在学习角的时候，渗透了钟表的认识，及两者的共性，时针和分针在旋转过程中组成的两个特殊角．一个两针互相垂直，一个两针成一直线． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，灯塔位于轮船北偏东方向，则轮船位于灯塔的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查方向角，解题的关键是掌握方向角的概念，利用数形结合即可得出答案． 【详解】解：∵灯塔位于轮船北偏东方向， ∴轮船位于灯塔的方向是南偏西 方向． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，点在点的什么方向： ． 【答案】北偏西 【分析】本题考查方向角问题，根据方向角先南北再东西的顺序求解即可． 【详解】解：， ∴点在点的北偏西方向， 故答案为：北偏西． 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】（24-25七年级·安徽安庆·期中）下列关于角的说法正确的是（     ） A．角是由两条射线组成的图形 B．在角一边延长线上取一点 C．角的边越长，角越大 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 【答案】D 【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的边没有长短之分，分别进行分析． 【详解】解：．角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故错误； ．角的边是射线，不能延长，故错误； ．角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故错误； ．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故正确． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，则图中共有 个角． 【答案】 【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个． 【详解】解：∵图中有两条射线， ∴图中角的数量为个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键． 3．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【分析】本题考查了角的有关概念，根据图形的前后变化找出规律，得出角的个数，发现角的个数的规律是解题的关键； 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段与角的表示方法对各图形分析判断，然后即可进行选择． 【详解】解：第1个图形，线段EF，表示正确； 第2个图形，直线MN，表示正确； 第3个图形，线段BA，表示正确； 第4个图形，应该表示为射线OA，表示错误； 第5个图形，表示为∠O，正确； 第6个图形，应该表示为∠BAC或∠CAB，表示错误． 综上，表示正确的有第1、2、3、5共4个图形． 故选B． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）请写出下列各图中的角： 【答案】见解析 【分析】本题考查角的表示，根据角的定义及表示方法表示各图中的角即可． 【详解】解：第一个图中的角是，，，； 第二个图中的角是， 第三个图中的角是，，，，，，，，，，，． 【经典例题三 角的分类】 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A． B． C．  D．  【答案】A 【分析】本题主要考查了角的分类，根据锐角是0到90度的角进行求解即可． 【详解】解；A、图中时针与分针所成角的度数在0到90度之间，是锐角，符合题意； B、图中时针与分针所成角的度数是0度，不是锐角，不符合题意； C、图中时针与分针所成角的度数大于90度，不是锐角，不符合题意； D、图中时针与分针所成角的度数等于90度，不是锐角，不符合题意； 故选A． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角； （2）以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？ 【答案】（1），；（2），，；（3）7个 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】解：（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以B为顶点的角有3个：，，； （3）图中小于平角的角有7个：，，，，，，． 【点评】利用了角的概念求解．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字． 【经典例题四 钟面角】 【例4】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角的计算方法，掌握钟表圆盘为，一共有12个间隔，每个间隔为是解题的关键．钟表圆盘为，一共有12个间隔，每个间隔为，1时30分之间有4.5个间隔，列式求解即可． 【详解】解：钟表圆盘为，一共有12个间隔， 每个间隔为， 时30分之间有4.5个间隔， 钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是． 故选：C 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针按照固定的规律不停地转动着．如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心按各自的速度运转．现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成角时，则所经过的时长（答案四舍五入到整数）是（   ） A．30分钟 B．31分钟 C．32分钟 D．33分钟 【答案】D 【分析】本题考查了钟表问题的实际应用，一元一次方程，熟练掌握钟表的特征是解题的关键．分针每分钟转，时针转，设分钟后时针与分针第一次成角，则有，再解方程即可求解． 【详解】解：设分钟后时针与分针第一次成角， 根据题意得：， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，当时钟显示时，时针与分针所成锐角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，先由时钟一周有个大格，则每一个大格对应的度数是，再利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数即可得到答案．熟练掌握钟面角求法是解决问题的关键． 【详解】解：时钟一周有个大格，则每一个大格对应的度数是， 当时钟显示时，时针与分针所成锐角的度数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）昨天晚上，当挂钟报时6点整时，小丽开始做数学作业，当她完成数学作业时，挂钟里时针和分针恰好第一次互相垂直，则小丽做数学作业用了 分钟． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，一元一次方程的实际应用，根据分针一分钟走6度，时针一分钟走0.5度，以及时针和分针恰好第一次互相垂直时，分针比时针多走90度，列出方程求解即可． 【详解】解：设小丽做数学作业用了分钟，由题意，得： ， 解得：； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角． （1）根据1小时分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； （4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ， 解得，， ∴这一时刻是2点分， 故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或， 解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去， ∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时： ， 解得：； 为和角平分线时： ， 解得：； 为时针，为分针，平分时： ，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点位于点的（    ） A．北偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】A 【分析】本题考查方位角的定义及表示，熟记方位角定义及表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：由图可得，点位于点的北偏西的方向上． 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽六安·月考）如下图，以为观测点，在的（   ）方向上． A．西偏南 B．北偏东 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【分析】 本题主要考查了依据方向（角度）判定物体位置的方法，根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以为观测点，确定的位置即可。 【详解】 解：如图，以为观测点，在的南偏西方向上, 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如果从点看点的方向是北偏东，那么从点看点的方向是 偏 ， ． 【答案】 南 西 35 【分析】本题考查了方向的相对性知识，根据方向的相对性可知，从点A看点B的方向和从点B看点A的方向是方向相反，度数相同，据此解答即可． 【详解】解：如果从点A看点B的方向是北偏东，那么从点B看点A的方向是南偏西， 故答案为：南，西，35． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）在如图所示的方位图中，射线OA是正东和正北方向的夹角的平分线，则射线OA指示的方向可描述为 ． 【答案】东北方向/北偏东45° 【分析】根据方位角的概念及角平分线的定义可得射线OA所表示的方向是北偏东90°=45°，据此解答即可． 【详解】解：因为射线OA是正东和正北方向的夹角的平分线， 所以射线OA所表示的方向是北偏东90°=45°，即东北方向， 故答案为：东北方向． 【点睛】本题主要考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，根据方位角的概念，写出射线OA表示的方向即可． 4．（25-26七年级上·安徽池州·期中）填一填，画一画． (1)图书馆在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (2)人民会堂在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (3)人民会堂在图书馆的_______偏_______方向． (4)绿园在图书馆的南偏东方向400米处，在图上画出绿园的位置． 【答案】(1)北，东，，800 (2)南，西，，200 (3)南，西 (4)见解析 【分析】本题考查方向图，掌握知识点是解题的关键． (1)由图可直接看出方向与距离，即可解答； (2) 由图可直接看出方向与距离，即可解答； (3)由图可直接看出方向，即可解答； (4)按照方向图作图即可． 【详解】（1）解：图书馆在区政府的北偏东方向800米处． 故答案为：北，东，，800． （2）人民会堂在区政府的南偏西方向200米处． 故答案为：南，西，，200． （3）人民会堂在图书馆的南偏西方向． 故答案为：南，西． （4）作图如图 【经典例题六 角度的四则运算】 【例6】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）机械手表都是依靠传动齿轮运行，如图是某一手表内部的部分齿轮示意图，最大的齿轮有50个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角度的简单计算以及角的度量单位度、分之间的转化，注意周角的度数是360°，这也是解答此题的关键． 【详解】最大的齿轮有50个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等， 夹角的度数为， 故答案为B． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）把一个圆分成三个扇形，这三个扇形的面积之比为，则这三个扇形最大的圆心角为 °． 【答案】216 【分析】此题考查的目的是理解掌握按比例分配的方法及应用，先求出总份数，再分别求出各扇形的圆心角度数各占周角度数的几分之几，周角是，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答． 【详解】解：这三个扇形最大的圆心角为， 故答案为：216． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可； （2）根据角度的减法运算法则进行计算即可； （3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可； （4）根据角度的除法运算法则进行计算即可； （5）根据角度的加法运算法则进行计算即可； （6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握角的进制是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【经典例题七 与方向角有关的计算题】 【例7】（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，琪琪每天从家A处沿北偏东方向行走至路口点B处，又沿路口点B处沿南偏东方向行走到达学校C处，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角的定义及角的和差．先分别以A点和B点为中心建立方位图，则可得和的度数，再根据进行计算即可． 【详解】如图，分别以A点和B点为中心建立方位图， 由题意，得，， ∵ ， ． 故选D． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在点A处看P位于南偏西的方向上，在点P处看B位于南偏东的方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的知识，掌握方向角的定义是解题的关键． 本题利用角的和差关系进行计算，即可求解． 【详解】解：如图： 由图可知：，， ， 故选：B； 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 【答案】/110度 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的关键． 根据方向角的定义与角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，． 故答案为：．    3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转周，当时，快艇旋转了 个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 【答案】或/或 【分析】本题考查了方向角，一元一次方程的应用，理解题意列出一元一次方程是解题的关键．根据方向角的运算，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发， ∴． 设当时，快艇旋转了个时间单位， 当转到右边时， ， 解得， 当转到左边时， ， 解得． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． (1)在图中确定船的位置； (2)请通过测量确定的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)． 【分析】本题考查的是方位角的画法，解题的关键是熟知方向角的描述方法， （1）据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置． （2）运用量角器测量即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：作，，两射线相交于P点，则点P即为所求． （2）解：使用量角器，将量角器的中心与点重合，0刻度线与重合，读出所对应的刻度，测量可得． 【经典例题八 角的单位与角度制】 【例8】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，用量角器测得的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．根据量角器的使用方法测量即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）若把化成以度为单位，则结果为 ． （2）将化成度、分、秒的形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算， （1）根据小单位化大单位除以进率，可得答案； （2）根据大单位化小单位乘以进率，不满1度的化成分，不满1分的化成秒，可得答案； 熟练掌握小单位化大单位除以进率，大单位化小单位乘以进率，不满1度的化成分，不满1分的化成秒并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键．理解题意，得，则，即可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是 ∴， ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为 ∴如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 故答案为： 4．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）列竖式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的加减运算． （1）根据角度的加法法则计算即可．加法法则：度加度，分加分，秒加秒．满60秒向分进1，满60分向度进1． （2）根据角度的减法法则计算即可，减法法则：度减度，分减分，秒减秒．从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， 即． 【经典例题九 角的度数大小比较】 【例9】（25-26七年级上·安徽宣城·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 1．（25-26七年级上·安徽亳州·期中）用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查角的估算与分类，先计算出每份是，再估算出序号①②③④表示的度数即可解决问题． 【详解】解：， 因此①表示的度数为，②表示的度数为；③表示的度数为；④表示的度数为， 而是钝角，其度数与④表示的度数相近， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】将转化为度分的形式，再与比较大小．本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 【答案】(1)，，，；，；，，， (2)，，，；， 【分析】本题主要考查角度的测量及大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． （1）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可； （2）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可． 【详解】（1）解：经测量得，，，，， 相等的角：，， 不相等的角：，，，． （2）解：经测量得，，，，， ，． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 【答案】（1）6，0.5；（2）分针转过的角度为，时针转过的角度为；（3）22.5度 【分析】本题考查钟面角，掌握时针和分针一分钟转动的度数是解题的关键． （1）根据时针一小时即60分钟转，分针一小时即60分钟转即可解答； （2）若时针由2点30分走到2点55分，共经过25分钟，时针一分钟转动，分针一分钟转，据此作答； （3）钟表上2时，时针指到2上，再过15分钟，转过的角度是，2时15分钟时，分针指到3上，与2构成的角度是，即可求出时针与分针所成的锐角的度数． 【详解】解：（1）钟表的分针每分钟转，时针每分钟转， 故答案为：6，0.5； （2）分针转过的角度为，时针转过的角度为． 答：分针转过的角度为，时针转过的角度为； （3）． 答：时针与分针所成的锐角的度数是． 2．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，由题意得：，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， ∴， ∴ ∴. ∵， ∴ 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏东，已知图中． (1)求的度数． (2)写出射线的方向． 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的前提． （1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案； （2）根据角的和差关系求出即可． 【详解】（1）解：如图，射线表示的方向是北偏东， ． 射线表示的方向是北偏东， ， ． （2）解：， ． ∴射线的方向为北偏西． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为（本题中的角均指小于180°的角）．若在至之间，在内，在内，，． (1)当在内时，求和之间的数量关系； (2)从开始几分钟后，．（直接写答案） 【答案】(1) (2)从开始分钟后， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握时针的运动速度是解题关键． （1）设运动时间为t秒，根据时针运动速度得，，再由进行计算即可． （2）设从开始m分钟后，，当未追上时，，则为负数，舍去．当超过时，列式，再计算即可． 【详解】（1）解：当在内时， 设运动时间为t秒， 则， ∴， ∵ ∴， ，则， ∴， （ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 ∵ ∴， （2）解：设从开始m分钟后，， 当未追上时， ∴ ∴（舍去）． 当超过时， ∴ ∴． 答：从开始分钟后，． 【拓展训练二 利用方向角确定位置问题】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 【详解】解：灯塔S的位置，如图所示： 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画线段； (2)画出射线； (3)以A为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西的射线（注：D为射线与直线l的交点，标注字母D与角）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画线段、射线以及方向角，熟练掌握线段、射线以及方向角的定义是解题的关键． （1）由题意根据线段的定义直接连接A、B两点即可； （2）由题意根据射线的定义先连接B、C两点并以B为端点，经过C点并向C方向延长； （3）由题意直接根据方向角的定义以为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西的射线． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）如图，射线即为所求； （3）如图，即为所求， 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 【答案】(1)北；西20；距离80． (2)南；西30；距离100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了方位角的表示，解题的关键是熟练掌握方位角的定义． （1）根据方位角的定义进行解答即可； （2）根据方位角的定义进行解答即可； （3）根据学校西偏南，距离处是超市，进行解答即可． 【详解】（1）解：小公园在依依家的北偏西距离80米处． 故答案为：北；西20；80． （2）解：∵银行在小公园的北偏东距离100米处； ∴小公园在银行的南偏西距离100米处． 故答案为：南；西30；距离100． （3）解：如图所示： 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_____偏_____方向上． (3)超市在学校北偏东方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)西，北 (3)画图见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （）根据图形及方向角的定义解答即可； （）根据图形及方向角的定义解答即可； （）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为：正南，； （2）解：书店在学校西偏北方向上， 故答案为：西，北； （3）解：超市位置如图所示： 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是小红家附近的平面示意图．    (1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处． (2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼． (3)小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来． 【答案】(1)正东，1200，西，南，45，750 (2)正东，900，西，南，45，750 (3)见解析 【分析】（1）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可； （2）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可； （3）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可． 【详解】（1）火车站位于体育场的正东面1200m处，百货大楼位于少年宫的西偏南方向750m处． 故答案为：正东，1200，西，南，45，750； （2）从汽车站去百货大楼，要先往正东方向走900m到少年宫，再往西偏南方向走750m到百货大楼， 故答案为：正东，900，西，南，45，750； （3）（厘米），小兵家如图：    【点睛】本题考查了方向与位置知识，结合题意分析解答即可． 【拓展训练三 与钟表上有关夹角问题】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ （4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案不唯一，见解析． 【分析】（1）时针的12个小时把360°分解成12份，每份30°，按照这个度数关系对每个时钟表进行计算即可． （2）时针1小时走总度数的，分针60分钟把360°分解成60份，每份6°，分针一分钟走一格，故是6°． （3）先求出此时时针与10点整时时针的夹角，再用30°减去这个夹角，再加上3个30°即可． （4）方法与（3）相同，任选一个时间进行计算即可． 【详解】（1）巴黎时间：12到1夹角为360°的，是30° 伦敦时间：夹角为0° 北京时间：4个30°，故为120° 东京时间：3个30°，故为90° （2）时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6° （3）此时分针走过了360°的，所以时针移动的角度占30°的，是5°，所以剩余25°， 故夹角为：25°+30°+30°+30°=115° （4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？ 解：此时分针走过了360°的，时针移动的角度占30°的，是10°，20°+30°+30°+30+30°+30°+30°=200° 故夹角为：360°-200°=160°. 【点睛】本题考查时针分针在转动过程中的夹角的求解，熟练掌握时针每小时走30°，分针每分钟走6°是本题关键． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点和点是表带的两端，点、、、在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若是中点，求：手表的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为__________度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差关系，中点有关的计算，钟面角： （1）根据是中点，，可得，，即可求解； （2）先计算出每分钟时针走过的角度，再根据时，时针与分针的位置，即可求解． 【详解】（1）解：，是中点， ， ， ， ， 即手表的全长为． （2）解：由图可知，每分钟时针走过的度数为， 8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动， 则时，分针指向6，时针在8时过的地方， 即． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，观察时钟，解答下列问题： (1)在2时和3时之间，什么时刻时针和分针的夹角为直角？ (2)小明下午5时多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为，下午不到6时回家时，发现时针和分针的夹角又为，那么小明外出了多长时间？ 【答案】(1)在2时分时，时针和分针的夹角为直角 (2)分钟 【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动，时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解． （1）在2点整时，时针与分针恰成，分针指着12，时针指着2，分针每分钟运动速度为，时针每分钟运动速度为，设分针运动分钟，根据所行路程差为或列出方程解答即可； （2）设5时y分钟时，时针与分针夹角为，分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设分针运动分钟，时针和分针的夹角为直角，由题意得 ，或 解得：或（舍去） 答：在2时分时，时针和分针的夹角为直角； （2）解：设5时y分钟时，时针与分针夹角为， 则由题意得：或 解得：或 ， ∴，即外出分钟， 答：小明外出了分钟． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）（1）一个角的余角比这个角的补角的一半小，则这个角的度数为 度 （2）如图，从点引出6条射线，且，、分别是的平分线．则的度数为 度 （3）钟面上的时间是3点整，然后，时针与分针继续正常行走，当分针与时针的夹角成时，针指向3点到4点之间，求此时刻是几点几分． 【答案】（1）50；（2）40；（3）3点分或3点分 【分析】（1）设这个角的度数是x°，则它的余角为（90-x）°，补角为（180-x）°，然后依据这个角的余角比这个角的补角的一半少25°列方程求解即可． （2）设∠BOF=∠COF=x°，∠AOE=∠DOE=y°，∠COD=z°，根据角的和差列出方程即可求解； （3）分两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个角的度数是x°，则它的余角为（90-x）°，补角为（180-x）°． 依题意得：90-x=（180-x）-25， 解得 x=50． ∴这个角的度数是50°． 故答案为：50°． （2）设∠BOF=∠COF=x°，∠AOE=∠DOE=y°，∠COD=z°， 则根据题意得：， 两式相减得：z=40． 即∠COD=40°． 故答案为：40； （3）设此时是3点分 若分针在时针的上方则有： 解此方程得： 若分针在时针的下方，则有： 解此方程得： 答：此时是3点分或3点分 【点睛】本题主要考查的是余角和补角的定义，依据题意列出关于x的方程是解题的关键． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，， ，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 （1）时针每分钟转动 度，分针每分钟转动 度；当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 （2）爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为 度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 （3）若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过 分钟，时针与分针互相垂直． 【答案】（1）0.5；6；；（2）①；②；（3）或 【分析】本题主要考查钟面角的计算方法，掌握钟面中每一个大格的度数，每一小格的度数，时针每分钟走的度数，分针每分钟走的度数，结合角度的关系，以及路程问题等知识是解题的关键． （1）根据钟面的特点，分别算在每一个大格的度数，每一小格的度数，时针每分钟走的度数，分针每分钟走的度数，结合图示即可求解； （2）①根据角的和差与角平分线可求出，得到此时时间为，即可解答； ②由①可得此时与重合，根据角的和差即可求解； （3）设经过t分钟，时针转过的角度，分针转过的角度为，根据针与分针互相垂直，即它们所成夹角为，即可列出方程即可求解，注意有两种情况． 【详解】解：（1）钟面中，相连两个整数之间，即每一个大格是，每大格中相连的每一个小格是， ∴时针每分钟走，分针每分钟走， ∵， ∴时针的时间为：（分钟），即小时分钟， ∴当时针与边重合时，钟面显示的时间为小时分钟，即， 故答案为：0.5；6； （2）①∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴时针从12点开始转过了， 即从12点经过了（分钟）（时）， ∴这时时间为，时针指向10，分针指向12，它们之间有两个大格， ∴时针与分针的夹角． ②由①可得此时与重合， ∴． 故答案为：①；② （3）时针与分针同时出发，1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直． ∴时针转过的角度，分针转过的角度为， 当时针与分针互相垂直，即它们所成夹角为时， 或， 解得：或， ∴经过或分钟，时针与分针互相垂直． 故答案为：或 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，AOE是一条直线，图中的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查对角的定义的理解，数角时注意从一边数，做到不重不漏即可． 【详解】解：图中的角有，共10个， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，1时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，根据钟表表盘被分成12大格，每一大格为，由1时整，即分针和时针之间有1大格，即可求解． 【详解】解：∵钟表表盘被分成12大格， ∴每一大格为， ∵1时整，即分针和时针之间有1大格， ∴1时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是， 故选：B． 3．（2025七年级上·安徽·专题练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键． 把化为，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握“当以某点为顶点的角只有一个时，可用该顶点字母表示这个角”是解题的关键．判断每个选项中以为顶点的角的个数，若只有一个角，则可用表示，同时结合、是否表示同一个角． 【详解】解：选项，以为顶点的角只有一个，且、、都表示这个角，故项正确； 选项，∵以为顶点的角不止一个， ∴不能用表示该角，故项错误； 选项，∵以为顶点的角有多个， ∴不能用表示该角，故项错误； 选项， ∵以为顶点的角有多个， ∴不能用表示该角，故项错误； 故选：A． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 根据，，可得射线在北偏西的方向上 ． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴表示北偏西的射线是． 故答案为：B． 6．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）过同一点的n条射线，可最多组成 个角． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出规律即可． 【详解】解：如图： ∵由图可知，过同一点有2条射线时有1个角； 过同一点有3条射线时有3个角； 过同一点有4条射线时有6个角； 过同一点有5条射线时，最多能组成10个角． 又∵，，， ∴过同一点的n条射线，可最多组成个角． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角的概念，根据题意找出规律是解答此题的关键． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【答案】． 【分析】根据角的表示即可得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是 ，路程是 千米． 【答案】 北偏西 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知李老师行驶的方向是北偏西，路程是千米 故答案为：北偏西， 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，上午8时，一艘船从海港A出发，以每小时20海里的速度驶向北偏东方向的小岛B，10时整到达小岛B．则从小岛B看海港A的位置，用方位角和距离表示为 ．    【答案】南偏西，距离是40海里 【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可解决问题． 【详解】解：∵上午8时，船从海港A出发，以每小时20海里的速度驶向北偏东方向的小岛B，10时整到达小岛B， ∴A与B的距离是海里， ∴从小岛B看海港A的位置，用方位角和距离表示为：南偏西，距离是40海里． 故答案为：南偏西，距离是40海里． 【点睛】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义． 11．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 【答案】，， 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可． 【详解】解：图中以为边的角有3个，分别是：，，． 13．（24-25七年级上·安徽淮北·单元测试）写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为 （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有，． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． 14．（24-25七年级上·安徽六安·期中）将一个含有角的直角三角尺的直角边放在直线l上，其中，．点D是直线l上一点，连接，在外作，使． (1)如图，当点D在线段上，时，求的度数； (2)当时，直接写出的度数； (3)当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）直接根据题意计算即可； （2）分两种情况分别讨论； （3）分两种情况分别讨论． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴； （2）当E在直线上方时： 如图， ∵，，， ∴； 当E在直线下方时： 如图， ∵，，， ∴； 故的度数为或； （3）∵，， ∴； 当E在点C下方时： 如图， 此时， ∴； 当E在点C上方时： 如图， 此时， ∴； 故的度数为或． 【点睛】本题考查了角度的混合运算，解题时注意画出图形分情况讨论． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11400平方米 (3)见解析 【分析】关键是掌握画圆的方法，能根据方向、角度和距离画出路线图，结合题意分析解答即可． （1）先用虚线画出正方形对角线，对角线的交点是圆心，半径=对角线的一半，据此画出圆． （2）增加的面积=圆的面积-正方形面积，南门到北门距离是圆的直径，圆的面积=圆周率×半径的平方，正方形可以看成两个三角形，三角形面积=底×高÷2，据此求出增加的面积． （3）用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离．看图可知，图上1段表示50米，实际距离÷50=要画的段数． 【详解】（1）解：设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形，如图 （2）（米） （平方米） 答：扩建后公园面积增加11400平方米 （3）（段），如图 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04角重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 角度的四则运算 题型七 与方向角有关的计算题 题型八 角的单位与角度制 题型九 角的度数大小比较 拓展训练一 方向角、钟面角计算综合 拓展训练二 利用方向角确定位置问题 拓展训练三 与钟表上有关夹角问题 知识点一：角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·月考）一个的角放在10倍的放大镜下看是（　　） A． B． C． D．无法判断 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角是 度． 知识点二：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）将转化为度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）把化成度分的形式为 ；把 化成度的形式为 ． 知识点三：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）7点分，时钟的时针与分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图所示，下午5：00时，钟面上时针与分针之间的夹角度数是 ． 知识点四：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，灯塔位于轮船北偏东方向，则轮船位于灯塔的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏东 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，点在点的什么方向： ． 【经典例题一 角的概念理解】 【例1】（24-25七年级·安徽安庆·期中）下列关于角的说法正确的是（     ） A．角是由两条射线组成的图形 B．在角一边延长线上取一点 C．角的边越长，角越大 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，则图中共有 个角． 3．（2025七年级上·安徽·专题练习）如图，总共有 个角． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）请写出下列各图中的角： 【经典例题三 角的分类】 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A． B． C．  D．  1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． （1）能用一个字母表示的角； （2）以B为顶点的角； （3）图中共有几个小于平角的角？ 【经典例题四 钟面角】 【例4】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针按照固定的规律不停地转动着．如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心按各自的速度运转．现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成角时，则所经过的时长（答案四舍五入到整数）是（   ） A．30分钟 B．31分钟 C．32分钟 D．33分钟 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图，当时钟显示时，时针与分针所成锐角的度数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）昨天晚上，当挂钟报时6点整时，小丽开始做数学作业，当她完成数学作业时，挂钟里时针和分针恰好第一次互相垂直，则小丽做数学作业用了 分钟． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，点位于点的（    ） A．北偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 1．（24-25七年级上·安徽六安·月考）如下图，以为观测点，在的（   ）方向上． A．西偏南 B．北偏东 C．南偏西 D．东偏北 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如果从点看点的方向是北偏东，那么从点看点的方向是 偏 ， ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）在如图所示的方位图中，射线OA是正东和正北方向的夹角的平分线，则射线OA指示的方向可描述为 ． 4．（25-26七年级上·安徽池州·期中）填一填，画一画． (1)图书馆在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (2)人民会堂在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (3)人民会堂在图书馆的_______偏_______方向． (4)绿园在图书馆的南偏东方向400米处，在图上画出绿园的位置． 【经典例题六 角度的四则运算】 【例6】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）机械手表都是依靠传动齿轮运行，如图是某一手表内部的部分齿轮示意图，最大的齿轮有50个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角的度数是（　　）    A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）计算： ． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）把一个圆分成三个扇形，这三个扇形的面积之比为，则这三个扇形最大的圆心角为 °． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【经典例题七 与方向角有关的计算题】 【例7】（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，琪琪每天从家A处沿北偏东方向行走至路口点B处，又沿路口点B处沿南偏东方向行走到达学校C处，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在点A处看P位于南偏西的方向上，在点P处看B位于南偏东的方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转周，当时，快艇旋转了 个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． (1)在图中确定船的位置； (2)请通过测量确定的度数． 【经典例题八 角的单位与角度制】 【例8】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，用量角器测得的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）若把化成以度为单位，则结果为 ． （2）将化成度、分、秒的形式为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 4．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）列竖式计算： (1)； (2)． 【经典例题九 角的度数大小比较】 【例9】（25-26七年级上·安徽宣城·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 1．（25-26七年级上·安徽亳州·期中）用一条线段表示，把它平均分成9份（如图）．线段上与度数最接近的点的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 【拓展训练一 方向角、钟面角计算综合】 1．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 2．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏东，已知图中． (1)求的度数． (2)写出射线的方向． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为（本题中的角均指小于180°的角）．若在至之间，在内，在内，，． (1)当在内时，求和之间的数量关系； (2)从开始几分钟后，．（直接写答案） 【拓展训练二 利用方向角确定位置问题】 1．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画线段； (2)画出射线； (3)以A为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西的射线（注：D为射线与直线l的交点，标注字母D与角）． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_____偏_____方向上． (3)超市在学校北偏东方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是小红家附近的平面示意图．    (1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处． (2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼． (3)小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来． 【拓展训练三 与钟表上有关夹角问题】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ （4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点和点是表带的两端，点、、、在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若是中点，求：手表的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为__________度． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，观察时钟，解答下列问题： (1)在2时和3时之间，什么时刻时针和分针的夹角为直角？ (2)小明下午5时多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为，下午不到6时回家时，发现时针和分针的夹角又为，那么小明外出了多长时间？ 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）（1）一个角的余角比这个角的补角的一半小，则这个角的度数为 度 （2）如图，从点引出6条射线，且，、分别是的平分线．则的度数为 度 （3）钟面上的时间是3点整，然后，时针与分针继续正常行走，当分针与时针的夹角成时，针指向3点到4点之间，求此时刻是几点几分． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，， ，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 （1）时针每分钟转动 度，分针每分钟转动 度；当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 （2）爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为 度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 （3）若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过 分钟，时针与分针互相垂直． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，AOE是一条直线，图中的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，1时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·安徽·专题练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 6．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）过同一点的n条射线，可最多组成 个角． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·课堂例题）将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是 ，路程是 千米． 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，上午8时，一艘船从海港A出发，以每小时20海里的速度驶向北偏东方向的小岛B，10时整到达小岛B．则从小岛B看海港A的位置，用方位角和距离表示为 ．    11．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 12．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）图中以为边的角有几个？请把它们表示出来． 13．（24-25七年级上·安徽淮北·单元测试）写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）． 14．（24-25七年级上·安徽六安·期中）将一个含有角的直角三角尺的直角边放在直线l上，其中，．点D是直线l上一点，连接，在外作，使． (1)如图，当点D在线段上，时，求的度数； (2)当时，直接写出的度数； (3)当时，直接写出的度数． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $