精品解析：天津和平区汇文中学2025-2026学年八年级上学期十二月月考试卷

天津市汇文中学八年级数学月考试卷 12.30 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. （a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B. （﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C. （a+2）2＝a2+2a+4 D. （a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8 5. 把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右的变形，正确的是( )． A. －x－y=－(x－y) B. －a+b=－(a+b) C. (y-x)2=(x-y)2 D. (a-b)3=(b-a)3 7. 有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A. 张 B. 张 C. 张 D. 张 8. 如图，，，分别是，，的中线，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 如图，已知，添加下列条件后，能判定的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则的值为( ) A. 7 B. 3 C. D. 12. 如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（ ） ①；②；③若，则；④． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13. 计算：________． 14. 如图，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么的大小为________（度）． 15. 若，则________． 16. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 17. 如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 18. 如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，，，均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． （1）在图1中；在线段上作点，使得；简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． （2）在图2中，已知，在上作点，使得．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 三、解答题（本大题共7小题，满分58分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 运用乘法公式计算： （1）； （2）． 21. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 22. 分解因式： （1）________；________； （2）（要求写过程）． 23. 如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． （1）若，则________； （2）若，________；________； （3）当点在运动过程中，设，求； （4）若，，则________． 24. 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ； （2）利用图3解决下面问题,若，，则 ． （3）如图4，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中的面积是，，，求图中阴影部分的面积． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； （2）如图2，已知等腰直角△中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市汇文中学八年级数学月考试卷 12.30 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度和与较长线段的长度的大小关系，即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. （a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B. （﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C. （a+2）2＝a2+2a+4 D. （a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项不合题意； B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此选项不合题意； C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意； D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了乘法公式和多项式相乘，正确运用乘法公式计算是解题关键． 5. 把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 6. 下列各式从左到右的变形，正确的是( )． A. －x－y=－(x－y) B. －a+b=－(a+b) C. (y-x)2=(x-y)2 D. (a-b)3=(b-a)3 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵﹣x﹣y=﹣（x+y），故此选项错误； B、∵﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误； C、∵（y﹣x）2=y2﹣2xy+x2=（x﹣y）2，故此选项正确； D、∵（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3， （b﹣a）3=b3﹣3ab2+3a2b﹣a3， ∴（a﹣b）3≠（b﹣a）3， 故此选项错误． 故选C． 7. 有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A. 张 B. 张 C. 张 D. 张 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 8. 如图，，，分别是，，的中线，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线和面积的关系，解题的关键是：根据中线的性质逐步得出，，即可得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 9. 如图，已知，添加下列条件后，能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．． 【详解】解：A、在和中， ， ∴，故选项A符合题意； B、由，不能判定，故选项B不符合题意； C、由，不能判定，故选项C不符合题意； D、由，不能判定，故选项D不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证得，，，由三角形外角的性质及等角对等边 ，据此即可求解． 【详解】∵是由沿直线折叠而成， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、翻折变换（折叠问题），折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11. 已知，，且，则的值为( ) A. 7 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两式相减，由平方差公式求出，两式相加，由完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查有理数的乘法，关键是掌握平方差公式，完全平方公式． 12. 如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（ ） ①；②；③若，则；④． A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，设交于点，可得，证明，可判定②④；根据，得到，平分，当时，则有，当时，无法说明，可判定①；设，则，若，可得，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，设交于点， ∵， ∴，且， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴平分， 当时，，则有， 当时，，则无法说明有，故①错误； 设，则， ∴， 若， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，原式根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么的大小为________（度）． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，首先求出，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 故答案为：75． 15. 若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，利用同底数幂乘除法法则求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】设，则 ， 结果中的一次项系数为 ， 由题意得 ， 解得． 故答案为 7． 17. 如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，如图，过点作于点，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：由作图步骤可得平分， 如图，过点作于点． ， ∴垂直平分， ，关于对称， 作点关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． ，平分，， ，， ，， ． 故答案为：9.6． 18. 如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，，，均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． （1）在图1中；在线段上作点，使得；简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． （2）在图2中，已知，在上作点，使得．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 ①. 取格点S，连接，连接，则交于点即为所求，如下图所示： ②. 找出的中点，连接，取格点，则，记与相交于点，连接并延长与交于点， 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）先构造等腰直角三角形，即可作出本题图形； （2）利用等腰三角形性质作出，再利用格点的特点作出，使得与交点记为，利用线段垂直平分线的性质连接并延长交于点即为所求． 【详解】解：（1） 略 （2）∵，， ∴是等腰三角形， ∴找出的中点，连接，取格点，则，记与相交于点，连接并延长与交于点， ∴垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴，如下图所示： 三、解答题（本大题共7小题，满分58分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式除以单项式法则、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则是解题的关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多单项式法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 运用乘法公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式及整式的加减，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算整式的加减即可得答案； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 分解因式： （1）________；________； （2）（要求写过程）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用十字相乘法分解因式即可；先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （2）先去括号展开化简，然后利用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 23. 如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． （1）若，则________； （2）若，________；________； （3）当点在运动过程中，设，求； （4）若，，则________． 【答案】（1） （2）， （3）； （4）11 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，然后通过折叠性质可得，从而求解； （2）根据等边三角形的性质得，则有，又，则，再由三角形的外角定理求解； （3）同（2）理求解； （4）作于点，由（3）得，，利用直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：作于点， 由（3）得，， ∴，， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等边对等角，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 24. 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ； （2）利用图3解决下面问题,若，，则 ． （3）如图4，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中的面积是，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）36； （3）阴影部分的面积为900． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式直接计算得出面积，或者用大正方形的面积减去周围小图形的面积，列等式即可； （2）根据图形可知即为三个小正方形的面积； （3）设阴影部分的面积为S，，则，，然后根据长方形面积公式可得，根据计算即可． 【小问1详解】 解：根据图形得， 故答案为：； 【小问2详解】 ； 故答案为：36； 【小问3详解】 设阴影部分的面积为S，， 则，， 根据长方形的面积公式，得， ∴ ． 答：阴影部分的面积为900． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计算中的应用，本题具有一定的综合性，难度中等． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； （2）如图2，已知等腰直角△中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1）点的坐标为或； （2） ①证明：如图2，延长、，相交于点， ， ， ，， ， 又， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点作于点，于点， 则， ， ， 由①可知，，， ， ， 是的角平分线， ， 即的大小不变，为定值． 【解析】 【分析】（1）先根据非负性求出，，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明 ，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可； （2）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ，， ，， ，， ，． 分两种情况： ①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， ∵轴， ∴， ∴， 同理， ∵， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得：， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $