精品解析：安徽省池州市多校2025～2026学年高二上学期第三次教学质量检测数学试题

2025～2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断；令，求出直线过点可判断和； 根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断. 【详解】设直线的倾斜角为， 对于，直线的斜率为，所以，则，故错误； 对于，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故错误； 对于，由知，直线在轴上的截距为，故错误； 对于，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故正确. 故选：. 2. 已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断，求得，，可得，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为是平面的一个法向量， 是平面的一个法向量，且平面平面， 所以得，则， 得，，所以 所以在上的投影向量为， 故选：B. 3. 已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】点在C上，代入抛物线方程可得，过点A作l的垂线，垂足为H， l与x轴交于点G，有，所以为中点，可求. 【详解】由在上，有，得，所以，， 过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，． 故选：A． 4. 已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（　　） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，得，再利用不等式即可求得结果. 【详解】因为平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 5. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得，进而可得，代入目标式求正切值即可. 【详解】本题考查等差数列的性质和简单的三角运算． 由，故，则， 所以． 故选：B 6. 在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，根据重心性质得到，再根据为的中点，求出. 【详解】取的中点，连接， 因为为的重心，所以， 又， 则， 因为，所以为的中点， 故. 故选：B 7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 8. 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 直线的斜率满足 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件设出直线方程，直曲联立结合韦达定理得：，将选项涉及斜率，向量均用、、、表示，逐一判断即可. 【详解】设抛物线方程为，焦点为， 过焦点的直线与抛物线有两个交点，所以直线斜率不为， 设直线方程为，直线与抛物线联立有：， 整理有：，根据韦达定理有：， 所以， 所以； 因为，根据焦点弦的性质可知，， 所以A错误，B正确； 因为，，所以， 所以，所以C正确； 因为，， 所以，所以D正确. 故选：BCD 10. 在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等方差数列 B. 是等方差数列 C. 若是等方差数列，则为常数也是等方差数列 D. 若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若是等差数列，如， 则不是常数，故不是等方差数列，故A错误； 对于B，数列中，是常数， 是等方差数列，故B正确； 对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，， 数列中的项列举出来是，，，，， ，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确； 对于D，是等差数列，，则设 是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 11. 如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（ ） A. 对于任意点G，平面EFG B. 存在点G，使得平面EFG C. 直线EF被球O截得的弦长为 D. 过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，取为的中点时，证明平面即可判断；C选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值. 【详解】对于A，当与重合时，平面，平面， 此时直线与平面相交，A错误； 对于B，因为四边形为正方形，则， 当为的中点时，，则， 因为平面，平面，则， 因为，平面，则平面， 因为平面，所以，同理，， 因为，平面，所以平面，即平面， B正确； 对于C，取的中点，因为，为的中点，则， 所以，同理可得，则. 因为平面，平面，则， 所以，，则， 球的半径为， 所以直线被球截得的弦长为，C正确； 设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则. 因为，则，所以截面圆面积， 即截面圆面积的最小值为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合空间中点、线、面的位置关系确定线面的位置关系，进而求出弦长及截面面积的最小值. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中有三点，则A到直线的距离为__． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，则A到直线的距离. 故答案为： 13. 一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，分组求和，从而可求出. 【详解】， ， ． 故答案为：. 14. 已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，则有四边形为平行四边形，即，根据椭圆的定义得，即，则利用基本不等式得到的最小值为，根据已知条件得到，求出的值，利用公式求出的值，由C的焦距为，从而求出焦距的值． 【详解】设椭圆的右焦点为， 则四边形为平行四边形，即，又， 则， 则 ，当且仅当时取等号， 又的最小值为，则，解得，则， 即C的焦距为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点线距离求参数，求直线方程 【小问1详解】 由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切， 所以，化简得，解得， 则圆心，半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由题意，直线l与圆C的距离， 若斜率不存在，即，显然满足要求； 若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则； 直线l的方程为或． 16. 对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 （1）若数列的通项公式，求的通项公式； （2）若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得； （2）由题得，进而得数列是首项为，公差为的等差数列，最后根据等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 依题意，且， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以． 所以，且，故是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以数列的前n项和. 17. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）由（1）得双曲线渐近线方程为，， 设，则，， 联立和，解得交点， 则平行线和之间的距离， 则平行四边形的面积， 由于在双曲线上，则，所以， 所以平行四边形的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）求得，根据弦长公式和平行四边形的面积公式化简计算可得，结合即可证明. 【小问1详解】 由已知可得，所以， 又因为，得①； 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. （3）是否存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设 ， 所以，所以即； （2）； （3）存在，为线段的中点，理由如下： 由（2）平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 则， 假设存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为， 则（舍去）或， 所以存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）由坐标运算即可求证； （2）先求出平面的一个法向量为，利用求出t，再由距离公式计算即可得解； （3）求出平面的一个法向量为，接着求出，假设存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，再利用求出t有符合的解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 由（1），又直线与平面所成角为，， 所以， 所以，又由（1）可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ② 【解析】 【分析】（1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. 【小问1详解】 由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由①知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为 2. 已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（　　） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 5. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 直线的斜率满足 D. 10. 在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A. 若是等差数列，则是等方差数列 B. 是等方差数列 C. 若是等方差数列，则为常数也是等方差数列 D. 若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 11. 如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、的中点，G在棱BC上，则（ ） A. 对于任意点G，平面EFG B. 存在点G，使得平面EFG C. 直线EF被球O截得的弦长为 D. 过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中有三点，则A到直线的距离为__． 13. 一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则___________. 14. 已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 16. 对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 （1）若数列的通项公式，求的通项公式； （2）若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 17. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. （3）是否存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $