专题1.4 共面向量定理辅导讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦共面向量定理核心知识点，系统梳理共面向量定义、定理及空间表示，拓展四点共面充要条件，搭建从平面向量到空间几何应用的学习支架。 资料通过经典例题、变式训练及巩固练习分层设计，涵盖选择、填空等多样题型，如四点共面判断、正方体基底问题等实例，培养学生空间观念（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题1.4 共面向量定理 高中数学辅导资料 专题1.4 共面向量定理 一、必备知识： 1.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.空间共面向量的表示：如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4.拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 二、考点专练： 经典例题： 1．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以，即，故，因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得，所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确．故选：C． 2．已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．60 B．14 C．12 D．62 【答案】B 【详解】因为，，，若，，共面，则，即，所以，解得.故选：B 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误；对于B，，所以三向量共面，故B错误；对于C，，所以三向量共面，故C错误；对于D，假设共面，则，即，所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确；故选：D. 4．在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 【答案】3 【详解】由题，根据四点共面可得，解得．故答案为： 变式训练： 1．（多选）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【详解】由题意得：如下图所示，对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；对于D项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.故选：AC. 2．已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为共面，所以设，所以，解得，故选：C. 3．已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确；对于B，因为，所以共面，故B正确；对于C，假设存在，，使得，则，显然无解，所以不共面，故C错误；对于D，因为，所以共面，故D正确.故选：ABD. 4．在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】 【详解】因为四点共面，，所以，解得. 5．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以．由四点共面，知，解得．又，，∵，∴．故选：B． 6．已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【详解】如图：  取中点，则，因为，所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高，因为，所以的面积，设三棱锥的高为，则，所以.故选：A. 7．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由点为的中点得，所以. 因为，所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高，由，得，得.故选：C. 8．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，所以，，当且仅当“” 即“”时取“”，故的最小值为.故选：B 9．在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的重心，所以，又，，，，所以，因为点在平面内，所以，得，且.所以，当且仅当时等号成立.故选：D. 10．如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，方向向右的单位向量为墙所在平面的法向量，取为一组基底，显然两两垂直，由空间向量基本定理知，存在唯一一组有序实数组，使得，由点到墙面的距离分别为，得，则，所以，而，所以，即，解得，则，长方体外接球半径，所以其外接球的表面积.故选：D 巩固练习： 1．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当共面时，不妨设，变形得到，则，设，若点与点共面，则，只有选项中符合题意.故选：. 2．三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，则有，即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．故选：A． 3.对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【详解】由，可得，即，根据平面向量的基本定理，可得共面，又因为三个向量有公共点，所以四点共面.故选：B. 5．正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；D选项，因为，，设，即，，无解，故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.   5．已知，若三个向量共面，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，且三向量共面，可知存在，使得，即，则，解得.故选：B. 6.（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A项正确；设，即，解得，，即，所以，，共面，B项正确；，所以，C项正确； ，D项错误.故选：ABC. 7．已知是空间的一个基底，则可以与向量,构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，根据题意，故A错误.对于B，设，则不存在，故B正确.对于C，，故C错误；对于D，由，则，所以，所以，故D错误；故选：B. 8．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误；对于B，因为，所以，，共面，故B错误；对于C，因为，所以，，共面，故C错误；对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立，则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确.故选：D. 9．已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是 ． 【答案】 【详解】因为，，，， 所以，即， 两边同时乘以得，因为，所以在平面内存在一点，使得成立，所以，即，.故答案为：. 10．已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，，，所以点在平面内，依题意当平面时，最小，四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则，所以，即的最小值为，又，所以，即的最小值为．故选：B． 试卷第1页，共3页 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.4 共面向量定理 高中数学辅导资料 专题1.4 共面向量定理 一、必备知识： 1.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.空间共面向量的表示：如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4.拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 二、考点专练： 经典例题： 1．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 2．已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．60 B．14 C．12 D．62 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 变式训练： 1．（多选）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 5．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 6．已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 7．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）   A． B． C． D． 10．如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习： 1．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3.对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 5．正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，若三个向量共面，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．是共面向量 C． D． 7．已知是空间的一个基底，则可以与向量,构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 8．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是 ． 10．已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $