第一章 阶段提升（一）空间向量（范围：1.1～1.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量核心知识点，系统梳理线性运算（基底与坐标表示）、共线共面定理（三点共线、四点共面条件）、数量积应用（夹角、模长、垂直问题），形成从基础运算到定理应用的递进式学习支架。 资料通过平行六面体、三棱锥等几何模型，引导学生用数学眼光观察空间形式；结合共线共面定理推导，培养数学思维的逻辑推理；数量积应用表格归纳运算规律，强化数学语言表达。课中辅助教师教学，课后助力学生通过例题与跟踪训练查漏补缺。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 阶段提升（一） 空间向量（范围：1.11.3） 空间向量的定义及其表示 空间 向量 空间向量 向量加、减法运算 的概 运算的定 念及 向量数乘运算 空间向 义及其几 其运 量的线 何意义 向量数量积运算 算 性运算 和数量 交换律 积运算 空间向量运 结合律 算的运算律 分配律 基向量 空间向量基 空间向量基本定理 本定理与空 基底 空间直角坐标系 间向量运算 的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 题型一空间向量的线性运算 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=a,AB=b,AD=c,点P在AC上， 且AP:PC=1:2,则A=（) D B A A.号a十寺b+寺c B.寺a+号b+号c C.-青a+号b+号c D.青a-号b-子c 【答案】A 【解析】选A A=AA1+A12=AA1+号A1C=AA1+(AC-AA)=号AA+AC=号AA1+(AB ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2.设{a,b,c}为空间的一个基底，若向量p=xa+yb+zc,则向量p在基底{a, b,c}下的坐标为(x,y,z.若向量q以{a+b,b-c,c-a}为基底时的坐标为 (3,-1,2),则q在以{a,b,c}为基底时的坐标为() A.(2,-3,-1)B.(3,-1,2)C.(12,3) D.(1,2,1) 【答案】C 【解析】选c由题意得g=3(a+b)-(b-c)+2(c-a=a+2b+3c,则 q在以{a,b,c}为基底时的坐标为(1,2,3. 3.已知OA=(1,-1,1,O=(2,0,-1),点P在线段AB上，且AP=2PB,则 向量A的坐标为 【答案】（得，-） 【解析】因为点P在线段AB上，且AP=2PB,所以A=2PB,所以 0-0A=2(O2-0, 得02=OA+0, 因为0A=(1,-1,1,02=(2,0,-1, 所以02=(1，-1,1)+(2,0，-1)=（得，-，-），所以A=02-0A=(得， -寺，-)-(1，-1,1)=（层，，-） 4.如图，M是三棱锥P一ABC的底面△ABC的重心.若 PM=xPA+yP+2 zPC(x,y,zER,则x+y-z的值为 【答案】 【解析】因为M是三棱锥P一ABC的底面△ABC的重心，所以AM=A丽+AC ，由向量加法法则得AM=A+P,所以 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A+PM=(A丽+AC)=A丽+PB+A丽+P⊙)，所以 PM=A证+P+A+P)-A丽=PA+P+P元， PM=xPA+yPB+2zPC(x,y,zER), 所以x=y=2z=青，所以x=青，y=青，z=, 则x+y-z=, 感悟提升 空间向量线性运算的几个关键点 (1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系 (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义 (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立 题型二共线、共面定理的应用 [例1] (1)[(2025·长沙期中)]已知非零向量a=3m-2n-4p, b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面，若a//b,则x+y=() A.-13 B.-5 C.8 D.13 (2)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，H为棱PC上的点， 且哭=青，点G在AH上，且铝=m,若G,B,P,D四点共面，则实数m的值 是 【答案】(1)B (2)星 【解析】 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (1)因为a//b,则存在ER,使得b=入a,即 (x+1)m+8n+2yp=3入m-2Mn-4p, /x+1=3λ 11=-4, 8=-2λ， X=-13, 2y=- 解得 y=8 所以x+y=-5 (2)根据题意可得， AG=-mA丽=m(传AC+A)=m[(A店+A)+号A]=号A店+罗A市+婴A,又 因为G,B,D,P四点共面，故号+号+婴=1，解得m=是。 感悟提升1 三点P,A,B共线 空间四点M,P,A,B共面 PA-APB MP=xMA+yMB 对空间任一点0，O市=OA+tA 对空间任一点0，O示=OM+xMA+yMB 对空间任一点0， 对空间任一点0， OP=x0A+(1-x)0B OP=xOM+y0A+(1-x-y)0B [跟踪训练1]. (1)已知点Aa,-3,5),B(0,b,2,C2,7,-1,若A,B,C三点共线，则 a+b=() A.-1 B.-2 C.0 D.1 (2)如图，在正四棱台ABCD-AB1C1D1中，AB=2A1B1,A正=AB, D市=DA,AG=AA.直线AC1与平面EFG交于点M,则器= B B 【答案】(1)C (2)号 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【解析】 (1) 选C由题得AB=(-ab+3,-3),B元=(2,7-b,-3,因为A,B,C三 点共线，所以存在实数k,使A=kB元，所以(-a,b+3,-3)=k(27-b,-3) |-a=2k ,所以 b+3=k(7-b), -3=-3k 1k=1, 解得日二。2所以a+b=0 (b=2, (2)依题意，A丽=A而，AG=AA,在正四棱台中， AC=AA+A1C1=AA+A1B1+AD1=AA1+A丽+Ai=等AG+A应+A, 设AM=AC(0<1<1),则AM=等AG+A正+正，因为M,G,E,F四点 共面，所以号1+1+1=1，所以1=是 题型三空间向量数量积的应用 [例2]已知空间三点A(-40,4),B(-2,2,4),C-3,2,3).设a=A正， b=BC. (1)求a,bl (2)求a与b的夹角： (3)若向量ka十b与ka-2b互相垂直，求实数k的值 【答案】 (1)【解】因为A(-4,0,4),B(-2,2,4),所以a=AB=(220)所以 A=V22+22+02=22: 因为(-2,24)，C(-3,2,3),所以b=BC=(-1,0,-1所以 4=-1+02+(-=2 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)由1)可知cos(ab)=0 2x-计2x0+0过=-克，又(a 2V2x2 b〉∈[0，，所以(ab〉=变，即a与b的夹角为弯 (3)由(1)可知ka+b=(2k-1,2k,-1),ka-2b=(2k+22k,2) ,又向量ka十b与ka-2b互相垂直，所以(ka+b)(ka一2b)=0,所以 2k-1,2k-1)(2k+2,2k,2)=0, 即(2k-12k+2)+4k2-2=0, 解得k=- 8 感悟提升 空间向量数量积的三个应用 求夹 设向量a,b的夹角为8，则©os日=能，进而可求两异面直线所成的角 角 求长 运用公式妇2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算 度 问题 (距 离) 解决 利用a⊥b→a·b=0(a≠0，b≠0)可将垂直问题转化为向量数量积的 垂直 计算问题 问题 [跟踪训练2].已知向量a=(m25,6武m∈R,b=(1,0,2),c=(15,2.求： (1)a·(b-c的值； (2)cos(b,c〉； (3)a-b的最小值. 【答案】 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1)解：因为b=(1,0,2)c=(（1V3,2) 所以b-c=(0,-5,0), 又因为a=(m,25,6), 所以a(b-c=25×(-3=-6 (2) 因为b=(1,0,2),c=(1V5,2, 所以cos(bc)=能=4n平 1+4 (3)因为a=(m,23,6),b=(1,0,2), 所以a-b=(m-1,25,4), 所以a-=(m-1+(23)+42=(m-1+28,当m=1时， a-取得最小值28， 则a-b的最小值为2万. ·独家授权侵权必究·