1.4 空间向量的应用讲义-2026学年高二上学期人教A版选择性必修一.

1.4 空间向量的应用 【知识梳理】 一、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 二、空间位置关系的向量表示 1、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 三、空间向量的应用 1. 用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2. 用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3. 用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量，则有 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 4. 点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 5. 点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【题型精讲】 题型一、方向向量与法向量 例1. （多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、线面关系有关命题的判断 【分析】先计算直线的方向向量和平面法向量的数量积，再根据数量积的结果判断直线与平面的位置关系． 【详解】直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是， ， ， 或． 故选：D． 2．多选（24-25高二上·广东深圳·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若是直线的方向向量，是直线的方向向量，则与垂直 B．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 C．若分别为平面的法向量，则 D．若分别为平面的法向量，则平面交线的方向向量可以是 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】ABC项，利用数量积的坐标运算，判断向量是否垂直，进而判断线线、线面、面面关系；D项，由，可知向量与两平面的法向量都垂直即可判断. 【详解】A项：因为， 可知，所以与垂直，故A正确； B项：因为， 可知，所以或，故B错误； C项：因为， 所以平面不相互垂直，故C错误； D项，设， 由，则； 由，则. 故平面交线的方向向量可以是，故D正确. 故选：AD. 题型二、空间向量求线线角 例2．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】将三棱锥放置于长方体中，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线，所成角的余弦值为 故选：B 例3．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，已知四棱柱的底面是正方形，，. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【知识点】求异面直线所成的角、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】以为基底，用它们表示与，通过计算向量点积判断垂直，得出异面直线所成角；再利用向量模长公式计算，得到的长度． 【详解】（1）， ， 因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角为； （2）因为 ， 所以的长为. 【针对训练】 1．（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】通过条件证明平面 ，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】 设 ， 由知： ，， 又，平面 ， 所以平面 ， 以 为原点，为轴，过在平面 内作为轴，为 轴建立空间直角坐标系， 又， 可得 ，，，，， 则 ， ， 设直线与直线所成角为， 则. 即与 所成角的余弦值为 . 2．多选（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面是正方形，且，，则（   ） A． B．与所成的角为 C． D．平行六面体的体积是 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】用空间基底表示向量、柱体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意，设，则：，，再结合数量积运算律求得即可判断A；计算即可判断B；计算即可判断C；先证明平面，再过点作，即可得平面，再计算，并在求解，最后计算体积即可. 【详解】设， 由题意知：，， 所以，，， 对于A，，故，即，所以，A选项正确； 对于B，，， 所以， ，， 所以,即 所以与所成的角为，B选项错误； 对于C，， 所以，即， 所以，C选项正确； 对于D，由A知，又因为底面是正方形，故， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面， 过点作，因为平面，平面平面， 所以平面，即为平行六面体的高， 因为， 所以，即， 所以，在中，，为等腰直角三角形， 所以， 所以，故D选项正确. 3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 题型三、空间向量求线面角 例4．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，．    (1)证明：平面平面； (2)若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)三棱柱是直三棱柱，平面， 又平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面． (2) 【难度】0.63 【知识点】线面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求余弦. 【详解】（1）略 （2）以过且与平行的直线为轴，，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则，，，，，. ，，， 设平面的法向量为 则，令得． 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的余弦值为. 【针对训练】 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，分别是棱的中点．    (1)证明：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）首先证明出两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，只需证明即可； （2）求出平面的一个法向量，然后再利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，因为是等边三角形，所以，又因为，， 所以，所以，同理可得， 建立以为原点，为轴正方向如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 显然为平面的一个法向量，因为且平面，所以面. （2）设平面的一个法向量为，则，取，则， 设直线与平面所成的角为，则.    2．（25-26高三上·广东深圳·期末）四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，即可证明； （2）求出平面的法向量，由线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）因为底面为正方形，平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）， 设平面的一个法向量为， ，则，令，则， 则，直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 题型四、空间向量求二面角 例5．（25-26高二下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.71 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连接，先利用平行四边形性质证，再利用线面平行判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求两平面夹角的正弦值. 【详解】（1）取中点，连接 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面； （2）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 不妨取，则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 【针对训练】 1．（2026·广东深圳·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E. (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.64 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用面面垂直的性质证得平面，继而证得，再结合，即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又因为平面，可得， 又因为，， 所以平面； （2）由题意可得两两互相垂直，， 以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，， 可得，解得λ＝3，则. 所以. 设平面的法向量为， 由，令，则 则平面的一个法向量为， 由（1）得为平面的一个法向量， 可得0×1+1×（﹣1）+（﹣2）×2＝﹣5，，， 设平面与平面所成角为， 则|， 因此平面与平面所成角的余弦值为. 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】面面角的向量求法、已知线面角求其他量、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）取的中点，连接，，可证平面，可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）建系并标点，设，根据线面夹角可得，进而可求面面夹角. 【详解】（1）取的中点，连接，， 在中，，，则，， 因为，，平面，可得平面，                                 且平面，则， 在中，， 在中，，可知， 且平面，，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：，，， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 可得，，，， 设，，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为， 则， 解得，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型五、空间向量求距离 例6．（24-25高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求直线到直线的距离； (3)求点到平面的距离； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离即可； （2）结合空间向量易得，可得点到直线的距离即为直线到直线的距离，再根据空间向量求解即可； （3）先求出平面的一个法向量，再根据空间向量求解即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则. 因为， 所以. 所以点到直线的距离为. （2）因为， 所以，即， 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离. . ， 所以直线到直线的距离为. （3）设平面的一个法向量为， . 由， 令，则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 例7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. （1）求证：B1D⊥平面ABD； （2）求证：平面EGF∥平面ABD； （3）求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析. 【解析】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB=a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)， D(0，2，2)，G.所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2). 所以=0+0+0=0，=0+4-4=0.所以， 所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD. （2）证明：由（1）可得=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，=(0，1，-1)，所以=2=2，所以.所以GF∥AB，EF∥BD. 又GF∩EF=F，AB∩BD=B，所以平面EGF∥平面ABD. （3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量. 因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d. 因为=(0，0，3)，=(0，2，2)， 所以d=.即两平面间的距离为. 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先证明⊥平面，再利用线面垂直的性质定理可得证； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】（1）因为为等边三角形，是棱的中点，所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点F到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系， 解法一：根据空间向量平行的坐标表示得，所以，进而可得结论； 解法二：求出平面的法向量，可得，进而可得结论； （2）利用直线与平面所成角的向量解法求解； （3）根据点到平面的距离的向量公式求解. 【详解】（1）以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，． 解法一： 因为，，则，所以， 又因为A，E，F，四点不共线，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 解法二： 因为，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，取，所以， 因为，所以，得， 又因为平面， 所以平面． （2）设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）设点F到平面的距离为d，因为， 所以， 所以点F到平面的距离为． 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）以下说法正确的个数是（   ） ①平行于同一向量的向量共线． ②空间中，不以原点为起点的关于原点对称的向量是． ③正四面体任意以顶点为起点和终点构成的向量之间夹角为 ④直线l的方向向量是，平面的一个法向量，那么直线l与平面所成角为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、线面角的向量求法、平行向量（共线向量） 【分析】①由平行向量的定义可判断；②设出坐标，分别求出其向量即可；③举反例，正四面体的对棱垂直；④求出线面角即可. 【详解】如果两向量都与零向量平行，这两个向量不一定共线，故①错误； 设，则其分别关于原点对称的点为， 则，，则， 故不以原点为起点的关于原点对称的向量是，故②正确； 因正四面体的对棱垂直，故③错误； ，故直线l与平面所成角的正弦值为， 因线面角的取值范围为，故直线l与平面所成角为，故④错误. 故选：B 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】利用直线方向向量和平面法向量的关系证明线面关系即可. 【详解】由已知得直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 可得，则或，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】求出直线方向向量的夹角余弦的绝对值即可得解. 【详解】设直线所成角为， 所以， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（    ） A． B．1或 C．12 D．1或12 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】设，求出，的向量表示，再求出这两个向量夹角的余弦值，进而可得直线与所成角的余弦值，由题意可得列方程，可得的值． 【详解】长方体中， 底面ABCD是边长为2的正方形， 设，直线与所成角的余弦值为， 因为，， 由题意可得， 所以， ，， 所以，， 所以， 整理可得， 可得或，解得或 所以或 故选： 二、多选题 5．（24-25高二上·广东深圳·期中）下列说法命题正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知，，则在上的投影向量为 D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、求投影向量、空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A，利用空间向量研究线面关系可判定B，根据数量积的几何意义计算投影向量可判定C，利用四点共面的推论可判定D. 【详解】对于A，易知，显然，所以不共线，即A错误； 对于B，由题意可知，所以不垂直，即B错误； 对于C，在上的投影向量为，即C正确； 对于D，由于四点共面，则，所以，即D正确. 故选：CD 6．（2026·重庆·一模）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【难度】0.75 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】点到直线距离的向量求法、求点面距离、证明线面垂直、证明线面平行 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 三、填空题 8．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【难度】0.7 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 9．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知空间向量  ，则 点到直线 的距离为_____. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，， 故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故答案为：. 四、解答题 10．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）利用向量运算法则将表示为，再根据向量模长公式展开，结合已知条件，计算，最后开方得到. （2）先用向量表示和，计算，通过向量数量积运算律展开并代入已知条件计算，然后分别计算和，利用向量模长公式结合已知条件求解，最后根据向量夹角公式，结合直线所成角的范围，求出直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）由题可知，在平行六面体中，，，则， . 因为底面是边长为2的正方形，所以，则. ， . 因为， 则 =. 则. 故的长为. （2）在平行六面体中， 因为，，所以 . 又， ， 所以. 设直线和所成角为，因为，所以. 故直线和所成角的余弦值为. 11．（2026·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角、面面角的向量求法、锥体体积的有关计算 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，，即可用空间向量法求解； （2）由向量得出点到平面的距离，再由锥体的体积公式即可求解； （3）分别求出平面与平面的法向量，然后用空间向量法求解. 【详解】（1）由题意可知、、两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设异面直线与所成角为，则为锐角， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）易知，，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 所以点到平面的距离为； ，，， 所以三棱锥的体积为． （3）由（1）可知，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 12．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）过点在平面内作于，连接，推导出四边形为平行四边形，可得出，由中位线的性质得出，则，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）过点在平面内作于，连接， 在直三棱柱中，平面，平面，故， 在平面内，因为，，故， 因为为的中点，故为的中点，所以， 因为，，为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 由题意可知，为的中点，所以， 故为的中点，又因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）由已知得，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. （2）由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. （3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 14．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，长方体中，，点为的中点，平面． (1)求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面，得到，结合，列出方程，求得的值，即可求解； （2）分别求得平面和平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）知，平面的一个法向量为，且，结合点到平面的距离公式，即可求解. 【详解】（1）解：以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 可得， 因为平面，且平面，所以， 则，解得，即的长为. （2）解：因为平面，所以平面的一个法向量为， 在长方体中，可得平面，且， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，且， 设点到平面的距离为，可得， 所以点到平面的距离为. 15．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)在平面内作交于点，连接， 由，，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，，则，即， 在中，由，，，所以，故， 又，且，、平面， 故平面，因为平面，所以； (2) 【难度】0.54 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， 得到，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取， 解得，得， 因为，设点到平面的距离为, 由点到平面的距离公式得. 16．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在直四棱柱中，，，点E为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线AE到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接，交于点F，连接EF，BF，先证四边形ABFE是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）以点D为坐标原点，分别为轴建立坐标系，由平面，可得直线AE到平面的距离等价于点A到平面的距离，求出平面的法向量，利用向量法求点A到平面的距离即可． 【详解】（1）连接，交于点F，连接EF，BF，则F是的中点， 因为点E为棱的中点，所以，， 又，， 所以，，即四边形ABFE是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）由直棱柱的性质可知：，， 因为，所以两两互相垂直， 故以点D为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为则， 令，得， 由知平面， 所以直线AE到平面的距离等价于点A到平面的距离，即 17．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点，    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系； （2）构建空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合点到面的距离公式进行求解． 【详解】（1）取的中点M，连接    在中，， ， 在四边形中，且， 四边形是平行四边形，， 面面 又面面 面面 又面， 面； （2）取中点，连接 为等腰三角形， 面面，面面， 面 在，易得 以为原点，分别为轴，以建立空间直角坐标系 ， ， 设平面的法向量为， ，设，取 ． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $1.4空间向量的应用 【知识梳理】 一、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a,设P是直线I上的任意一点，则点P在直线I上 的充要条件是存在实数t,使得AP=ta,即AP=tAB 图① 2、平面法向量的概念 如图，若直线l⊥a,取直线1的方向向量a,我们称a为平面的法向量：过点A且以a为 法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP=0}. Q 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下： 设向量：设平面a的法向量为n=(x,y,z) 选向量：选取两不共线向量AB,AC nAB=0 列方程组：由4C=0列出方程组 nAB=0 解方程组：解方程组 nAC=0 赋非零值：取其中一个为非零值（常取士1） 第1页共29页 得结论：得到平面的一个法向量 二、空问位置关系的向量表示 1、空间中直线、平面的平行 设直线l,2的方向向量分别为a,b,平面a,B的法向量分别为n,m,则 线线平行 lll台albea=b(eR) 线面平行 ll‖laaa⊥nsa-n=0 面面平行 allBonlmon=im 2、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为a=(a,b,C),直线l2的方向向量为b=(a2,b,c2),平面a的法向量 n=(x,,1),平面B的法向量为m=(x2,y2,22),则 线线垂直 ILka.B=0aaz+bb:+cC2=0 a=Ax 线面垂直 台 b=九y l⊥a aln a=n G=九z1 面面垂直 au1Ben⊥m台n-m=0exx2+yy2+z22=0 三、空间向量的应用 1.用向量运算求两条直线所成角 已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为B,则 AC·BD ①cos<AC,BD>= |AC‖BD D 第2页共29页 AC.BD ②cos0cos<AC,BD> AC BD 2.用向量运算求直线与平面所成角 设直线l的方向向量为a,平面a的法向量为u,直线与平面所成的角为O,a与u的角为p,则有 a…u ①cosp= allu a-u ②sin0=cos= lal (注意此公式中最后的形式是： sinθ 3.用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若PA⊥a于A,PB上B于B,平面PAB交I于E,则∠AEB为二面角Q-l-B的平面角， ∠AEB+∠APB=180°. 若n1,n2分别为面a,B的法向量，则有 ①c0s<h1,n2>= n1'2 1n1n2} ②CosB根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角： 若二面角为锐二面角（取正），则C0s8cos<n,n2>: 若二面角为钝二面角（取负），则0s9=-0s<乃，习 4点到直线的距离 已知直线I的单位方向向量为u,A是直线I上的定点，P是直线I外一点.设AP=a,则向量AP 在直线1上的投影向量AQ=(au)u,在RtAAP2中，由勾股定理得： 第3页共29页 PO-VAPP-140F--(a. D 5.点到平面的距离 如图，己知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a外一点.过点P作平面a的垂 线l,交平面a于点Q,则n是直线I的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投 影向是Op的长度.P0aP.”HP-AP.m n'n n 【题型精讲】 题型一、方向向量与法向量 例1.（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是() A.两条不重合直线的方向向量分别是=(2,3，-)，6=(-2，-3，，则1儿 B直我的方向间=-化-习，￥百的法有量 i=(64,-,则1a 第4页共29页 C.两个不同的平面a,B的法向量分别是 =(22,-0=（-3,42）,则a1B =(0,3,0) D.直线I的方向向量 平面a的法向量是=(0-5,0)，则/a 【针对训练】 1.(25-26高二上广东深圳阶段检测)已知直线的一个方向向量是 =（-3,2,1 ,平面的一个法 i=(1,2,-1 向量是 ,则与“的位置关系是() A.1⊥a B.1∥a C.Ica D.I∥a或lca 2.多选(24-25高二上广东深圳期中)给出下列命题，其中是真命题的是() 6-气-2-5)是直线m的方向向量，则与m垂直 1 A.若ā=（-1,1，-2)是直线l的方向向量， B.者=1-是直线'的方向向量，万=(Q--是平面“的法向量，则1“ Cc.若月=(03)，元=(0,12 分别为平面a,P的法向量，则1B D.若=(103，元=(0,12) 分别为平面“，P的法向量，则平面，P交线的方向向量可以是 (3,2,-1) 题型二、空间向量求线线角 例2.(25-26高二上广东深圳期末)在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直， AB=AC=2,AD=4,E,F分别为BD,CD的中点，则异面直线EC,AF所成角的余弦值为 () 第5页共29页 A号 25 2W5 √205 B.15 C.15 D.15 ABCD-ABCD 例3.(25-26高二下·福建宁德期中)如图，已知四棱柱 的底面 ABCD 是正方形， BB.=3.BA-2ZCBB=3ABB= B A C D L- B C D (L)求异面直线BD与C所成角的大小， CA CA. (2)求的长 第6页共29页 【针对训练】 1,(25-26高二下·河南驻马店·阶段检测)如图，在斜三棱柱 BC-ABC中，4B=BC=BB ∠ABB=120°∠ABC=∠B,BC=90 ,则直线1C与直线BC所成角的余弦值为《) BC B B 2 √2 2 2 A. 8 B.6 C.4 D.2 ABCD-ABCD 2.多选(2026重庆沙坪坝模拟预测)如图，在平行六面体 中，底面 ABCD 是正方 形，且∠AB=∠AD=60AB=A=1 ,则() D B D B AA⊥BD B.B,C与BD所成的角为3 第7页共29页 C.BD=3 √2 D.平行六面体的体积是2 3.(25-26高二上·广东深圳阶段检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且 一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且 PA=AB=2,异面直线PD与AC所成角的余弦值为5，则AD= 题型三、空间向量求线面角 例4.(2026广东深圳模拟预测)如图，在直三棱柱 BC-ABC中，已知点D,E分别是棱BC。 上的点，AD⊥BC CC 第8页共29页 C B E A D B BCCB (1)证明：平面4DE上平面B (2)若△ABC是等边三角形， 8C=CC,E为CC的中点，求直线1与平面1DE AE 所成角的余弦值. 【针对训练】 1.(25-26高二上·重庆沙坪坝期末)如图，在四棱锥P-ABCD中， 第9页共29页 AD/IBC,AB⊥BC,PA=AB=AD=2,BC=1,△PBD E,F BP,CD 是等边三角形，分别是棱 的中点. D B (1)证明：EFII面PAD: (2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值. 2.(25-26高三上广东深圳期末)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=2, PA⊥平面ABCD,点M为PC的中点， B (1)求证：DM⊥PB: (2)求直线DM与平面PBD所成角的正弦值， 题型四、空间向量求二面角 例5.(25-26高二下广东深圳期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD‖BC, 第10页共29页 PA=2,AB=1,BC=L,AD=2,M是PD的中点， (I)求证：CM‖平面PAB; (2)若AB⊥AD,求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： 【针对训练】 1.(2026广东深圳三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面 第11页共29页 ABCD,M为AD中点，过点A作PM的垂线交PM于点N,交PD于点E. N. M D B2-- (I)证明：PM⊥平面ABE; (2)若PA⊥PD,AP=AB=AD=2,求平面ABE与平面ACE所成角的余弦值. △ABB 2.(25-26高二上·广东深圳期末)如图，三棱柱 ABC-4B,G中， 是等边三角形， 第12页共29页 AB=BC=V2AB⊥BCAC⊥BB, A C 平面ABC ACB, (1)证明：平面 1 (2)点F是线段AC上一动点，若直线CF与平面BCCB所成角的正弦值为3，求平面BCC,B,与平面 BCF 的夹角的余弦值。 第13页共29页 题型五、空间向量求距离 例6.(24-25高二上·广东深圳期中)如图，在棱长为1的正方体 BCD-AB,CD中，E为线段 DD BB 的中点，F为线段 的中点 D B Ei- F A BE (1)求点到直线的距离： FC (2)求直线 C到直线4E的距离：， ABE (3)求点到平面 的距离； 第14页共29页 例7.如图，在直三棱柱ABCA1BC1中，∠ABC=90°，BC-2,CC1=4,点E在棱BB1上，EB1=1, D,F,G分别为CC,BC,AC的中点，EF与BD相交于点H. (I)求证：B1DL平面ABD (2)求证：平面EGF∥平面ABD; (3)求平面EGF与平面ABD的距离 第15页共29页 【针对训练】 1.(25-26高二上广东深圳期末)在三棱台ABC-AB'C中，AB=BC=BB'=2,AB'=1,且 ∠ABC=受，若BB1平面ABC,则点g到直线AC的距窝为（） 2v2 A.2√2 B.5 c.5 D.3 2.(25-26高二上广东深圳期中)如图，在正三棱柱 BC-ABC中，D是棱AC的中点. B C A D BD⊥DC (1)证明： AB=2,A4,=4 CD (2)若 求点4到平面 的距离. 第16页共29页 ABCD-ABC D DD 3.(25-26高二上广东深圳期中)如图，在棱长为2的正方体 中，E为线段 BB 的中点，F为线段 的中点. D B A B FCI ABE (1)证明： 平面 BB AB.E (2)求直线 与平面 所成角的正弦值： ABE (3)求点F到平面 的距离. 第17页共29页 【课后作业】 一、单选题 1,(24-25高二上·广东深圳阶段检测)以下说法正确的个数是() ①平行于同一向量的向量共线. ②空间中，不以原点为起点的AB关于原点对称的向量是BA. ③正四面体任意以顶点为起点和终点构成的向量之间夹角为3 ④直线1的方向向量是 =化-1,0)，平面“的一个法向量i=010),那么直线1与平面“所成角为 3π 4 A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26高二上广东深圳阶段检测)己知直线的一个方向向量为 ā=0-2,0，平面“的一个 法向量为 =(2,1-D,则直线'与平面“的关系是（） A.INa=P B.1⊥a C.1/la D.lca或l11a 第18页共29页 3.(24-25高二上广东深圳期中)若直线的一个方向向量为”=(0，-），直线的一个方向向量 为%=(0，-1-) 则直线凸所成角的大小为（) T 2π 5π A.6 B.3 C.3 D.6 4.(24-25高二上广东深圳期末)长方 ABCD-AB,CD中，底面ABCD是边长为2的正方形， √5 若直线AB与BD所成角的余弦值为5，则14的长为() A25 B.1或25 C.12 D.1或12 二、多选题 5.(24-25高二上·广东深圳期中)下列说法命题正确的是() A在空间直角坐标系中，已知点123-5)，B(0,2-2),C(2,-5刘，则48，C三点共线 ē=(3,0，-1) B.若直线的方向向量为 平面“的法向量为=(-9,03)，则少a C.已知i=(Q,L4),6-人3,0-），则a在6上的投影向量为-6 D.已知三楼锥0-ABC,点P为平面BC上的一点，且O丽-Oi+mOB+n0 C(.meR)),则 m+n=2 第19页共29页 6.(2026重庆一模)如图所示，在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，M,N 分别为棱 CD,CC 的中点，则下列结论正确的是() M C A D A AM⊥ND 4v2 B.点B到直线AM的距离为3 2V5 C.直线AM与直线BN所成角的余弦值为 D.直线4M与直线BN是异面直线 7.(25-26高二上广东深圳阶段检测)在棱长为2的正方体 分别是40 MBCD-4BCD中，E, CD 和的中点，则下列结论正确的有() A.AGl平面CEF B. BD⊥ CEF 平面 第20页共29页 v5 C.点D到直线CE的距离为3 4 D.点D到平面CEF的距离为3 三、填空题 8.(25-26高二下·四川南充期中)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马.在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,异面直线PD与AC 所成角的余弦值为5，则AD的长度为 9.(24-25高二上广东深圳阶段检测)已知空间向量 B=(0,10,AC=（-1,山，-)，则B点到直 线AC的距离为一 四、解答题 10.(25-26高二上江苏无锡期中)如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，底面ABCD是边长为 2的正方形，侧棱AA'的长为2，且∠AAB=∠A'AD=120. 第21页共29页 D' B A B 求： (1)AC的长： (2)直线BD'与AC所成角的余弦值. 11.(2026天津·二模)如图，在直三棱柱 BC-4BG中，AB=AC=A4=2,∠B1C=90,E】 CC BC AB F,H分别为， 的中点. 第22页共29页 A H B B AB (1)求异面直线 与EF 所成角的余弦值： (2)求三棱锥H-AEF的体积： AEB B)求平面4F与平面 夹角的余弦值。 ABC-ABC 12.(2425高二下广东深圳期末)如图，正三棱柱 的所有棱长都为2，点D为线段 第23页共29页 B上靠近点1的三等分点，点E、F、H分别为AC、CC、BD的 的中点 A C B F H D B (I)求证：DE/I平面BFH; (2)求直线 与平面BFH BB. 成角的正弦值. 第24页共29页 ABCD-ABCD 13.(25-26高二上·安徽阶段检测)如图，在直四棱柱 中，四边形 ABCD 是矩形， AB=1MD=M=5,点E,C分别为40，CD的中点 A E D B C D A B (1)求证： EG∥平面 BAC (2)求点”到平面EAC B 心的距离： E-AC-B (3)求二面角 的正弦值 第25页共29页 14.(25-26高二上广东深圳阶段检测)如图，长方体 ABCD-A,CD中，B=D-,点P为 DD EB,⊥ ACE 的中点， 平面 D C B D A B DD (1)求的长： CEC ②求平面4CE与平面 夹角的余弦值： 3)求点到平面4CE。 A 的距离。 第26页共29页 15.(2026广东深圳模拟预测)如图，在三棱 ABC-AB,C中，平面 BBA+平面4BC, B=AC=AA=5,4C=42,且cos∠AAB=3 5, A B AC⊥AB (1)证明： ABC (2)求点到平面的距离。 第27页共29页 ABCD-ABCD 16.(24-25高二上·广东深圳期末)如图，在直四棱柱 中， DD,=CD=AD=2AB=2,AB11CD,点B为棱D的中点 DD D C E /Di A B BCD (1)证明： AE/ 平面 BCD 2若4D1CD,求直线4B到平面BCD的距离， 第28页共29页 ABC-ABC ∠AAC=60° 17.(2425高二上广东深圳阶段检测)已知三棱柱 的所有棱长都为2， AACC⊥ ABC P,Q」 AB,AC ,且平面 平面 心，点2又分别是 的中点， Q A C A DN B PO//BCCB (1)求证： 平面 B. APO (2)求点到平面中的距离. 第29页共29页