精品解析：黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末监测九年级 数学试题 考生注意： 1．考生必须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2、选择题每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色墨水笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟，总分120分． 5．答题一定要规范，字迹工整，若字迹书写不清楚，模棱两可，一律不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． 验证选项：A．：当时，，不满足； B．：当时，，不满足； C．：当时，，不满足； D．：当时，，满足． ∴函数图象必经过点． 故选：D． 2. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，求代数式的值，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较系数求出和 ，再计算的值，熟练掌握配方法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵用配方法将方程转化为的形式， ∴ ，， ∴， 故选：B． 3. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】解：这个几何体从上面看，形状如图： 故选：D． 4. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 5. 如图，平行四边形中，点是边的中点， 交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 6. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰可求度数，则度数可知，证明，可得，在 中利用三角形内角和定理可知度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． 又， ∴，且， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解决三角形中角的度数问题一般运用三角形内角和 知识，若不能直接运用，则需要利用特殊图形的性质或全等三角形的性质进行转化，而后求解． 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接 ，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于 两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为 ， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点 ，交于点，连接．若，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作 于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段 的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】把 代入反比例函数得，把 代入，得， ∴ ，故①错； 联立两函数解析式，解得， ∴，故②对； 观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对； 由、、可知，， ∴，故④错． 综上，结论②③正确，正确的个数是2个， 故选B． 二、填空题（每小题共3分，共8小题，满分24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB________． 【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或 【解析】 【详解】解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB． 当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB 故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或 12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把 缩小，则点B对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案． 【详解】解：，以原点O为位似中心，相似比为， 对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或， 的坐标是或， 故答案为：或． 14. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 15. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解． 【详解】解：，且 ， ， ，即：， 解得：， （）， 树高是 ， 故答案为：． 16. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为 ， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 17. 如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知 ， ，则_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到 ，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、 ， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 18. 已知正比例函数 与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：联立得， ∵正比例函数 与反比例函数的图像交于两点， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 ， 其中， ∴ ∴， 解得． 20. 三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为 ，竹竿的影子为 ．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．过影子顶端与竹竿顶端作射线，交点P即为所求；连接光源P与影子顶端F，过E作垂直于地面的直线，与交于点M，即为所求． 【详解】解：如图，点P为光源的位置，线段是影子为的竹竿． 21. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接， ． （1）求证：四边形为菱形； （2）若， ，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴ ，即 ， ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则， ，利用矩形性质得 ，证明 ，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则 ，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵ ， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， 在 中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴ ， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． （1）求， ，的值； （2）当时，求不等式的解集． （3）求 的面积． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式即可； （2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论； （3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 解：将点坐标代入得， 解得， 将点坐标代入得， ， 解得， 将点坐标代入得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， 由， 得或， 则直线与双曲线的另一个交点坐标为： 由函数图象可知： 当 时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧 所以当时，不等式的解集为 ； 【小问3详解】 解：由得， ∴点的坐标为， ∵得，， ∴点的坐标为， ∴ 的面积为：. 【点睛】本题考查了直线与轴的交点、直线与双曲线的交点、求不等式的解集、三角形的面积等，关键是灵活应用知识点解决问题. 23. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若 是此“联合方程”的一个根，求和 的值． 【答案】（1）该方程是“联合方程”，见解析 （2）的值为， 的值为6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【小问1详解】 解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； 【小问2详解】 解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为， 的值为6． 24. 《哪吒2》自年1月 日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用概率公式直接求解； （2）先画出树状图，再求概率． 【小问1详解】 解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张， ∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有 种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种， ∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为． 25. 如图，在 中，，点D在上，连接，点E在上，连接， ，且． （1）求证： ； （2）若点D是的中点，求证： ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由两角相等得到，根据相似三角形的性质即可得到，从而得到答案； （2）点D是的中点，得到，再由（1）中，推出，进而得到，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∴， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 证明：∵点D是的中点， ∴． 又∵， ∴， 又， ∴， ∴． 26. “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时， 月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】（1） ； （2）降价元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为 ； 【小问2详解】 解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 27. 观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，， 是 中边的二等分点，图2中 、是边的三等分点，图3中 、、是边的四等分点…图4中 、、、 是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设 的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得： ①当 是边的二等分点： __________________； ②当 、是边的三等分点： __________________； ③当 、、是边的四等分点： __________________； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第④个等式： _____________． （2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程． （3）请你猜想出的结果（用含 的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；②；③；（3） 【解析】 【分析】（1）①、②、③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得； （2）根据平行可得两三角形相似，则可得三角形面积的关系； （3）根据前几问的结论寻找规律即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，过五等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； （2）解：①∵，过二等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； ②∵，过三等分点的线段与底边平行， ∴， ， 即：； ③∵，过四等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； （3）解：∵ 、、、 是边的 等分点，过各等分点的线段分别与底边平行， 则各三角形的相似比为， 面积比为， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方． 28. 如图1，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是的中点． （1）求的长； （2）如图2，过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求 的长； （3）如图3，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得是直角三角形，进而得到 ，由勾股定理得 ，进而得到的长； （2）过点G作于点P，连接，证得四边形是矩形，进而证得，设，则，易证得是线段的垂直平分线，则，由（1）可知，在中，由勾股定理得，列方程求解的值，从而得到 的长； （3）连接 ，过点O作 于点Q，于点T，证明四边形是正方形，进而得到 是线段的垂直平分线，证得，进而可证得 是等腰直角三角形 ，由勾股定理得，从而得到的长． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ，， 是直角三角形， 在中， ， ， 由勾股定理得：， ， ； 【小问2详解】 解：过点G作于点P，连接，如图所示： ， 是直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 又点F是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：连接 ，过点O作 于点Q，于点T，如图示： ， 四边形是矩形，和都是直角三角形， 在正方形中，， 是等腰直角三角形， ， 矩形是正方形， ，， 点F是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形 ， 由勾股定理得：， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握其相关性质定理，数形结合的思想方法的运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末监测九年级 数学试题 考生注意： 1．考生必须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2、选择题每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色墨水笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟，总分120分． 5．答题一定要规范，字迹工整，若字迹书写不清楚，模棱两可，一律不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 3. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 5. 如图，平行四边形中，点是边的中点， 交于点 ，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接 ，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 ， 分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点 ，交 于点，连接．若，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作 于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段 的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题共3分，共8小题，满分24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB________． 12. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把 缩小，则点B对应点的坐标是______． 14. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 15. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高 是_______ ． 16. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 17. 如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知 ， ，则_______． 18. 已知正比例函数 与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是_______． 三、解答题（本大题共10小题，满分66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2） ． 20. 三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿 的影子为 ，竹竿的影子为 ．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 21. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接， ． （1）求证：四边形为菱形； （2）若， ，求四边形的面积． 22. 如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于 ， 两点． （1）求，，的值； （2）当时，求不等式的解集． （3）求 的面积． 23. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 24. 《哪吒2》自年1月 日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 25. 如图，在 中，，点D在上，连接，点E在上，连接， ，且． （1）求证： ； （2）若点D是的中点，求证： ． 26. “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时， 月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 27. 观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，， 是 中 边的二等分点，图2中 、是 边的三等分点，图3中 、、 是 边的四等分点…图4中 、、 、 是 边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设 的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得： ①当 是 边的二等分点： __________________； ②当 、是 边的三等分点： __________________； ③当 、、 是 边的四等分点： __________________； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第④个等式： _____________． （2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程． （3）请你猜想出的结果（用含的式子表示）． 28. 如图1，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是的中点． （1）求的长； （2）如图2，过点F作直线，分别交 ，于点G，H，且，求 的长； （3）如图3，过点F作的垂线，分别交 ，，于点M，O，N，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $