精品解析：广东省惠州市2025-2026学年上学期八年级数学拓展训练

2025-2026学年度第一学期八年级拓展训练 数学试卷 满分120分，考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个字中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 3. 计算的结果是（ ） A. 1 B. a C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的值为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 8. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 9. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是___ 13. 如果的展开式不含的一次项，那么的值是_____． 14. 计算：（=_______． 15. 如图，将一角折叠，若，则_______． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，． （1）求证：； （2）当，时，求点A到点的距离． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分共27分） 19. 运用乘法公式计算 （1）； （2）． 20. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）分解因式：； （3）已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 21. 如图，是的角平分线，，交于点E． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 23. 综合与实践 【问题情境】 （1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级拓展训练 数学试卷 满分120分，考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个字中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解： A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【详解】解：， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3. 计算的结果是（ ） A. 1 B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的除法运算法则是解题的关键．根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 6. 的值为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，将原式变为，然后逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 8. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 9. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 10. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴ 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是___ 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：由点和点关于x轴对称，得 n=2，m=3． 则=3+2=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m、n的值是解题关键． 13. 如果的展开式不含的一次项，那么的值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，由展开式不含的一次项，可知含的一次项的系数为0，由此可解． 【详解】解：， 展开式不含的一次项， ， ， 故答案为：5． 14. 计算：（=_______． 【答案】2a2x- 【解析】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题考查整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 15. 如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 18. 如图，． （1）求证：； （2）当，时，求点A到点的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形和等边三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，然后再根据即可证明结论； （2）连接，由全等三角形的性质可得，然后证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得的长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即点A到点的距离为4． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分共27分） 19. 运用乘法公式计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）分解因式：； （3）已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 21. 如图，是的角平分线，，交于点E． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2） ．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；  （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 23. 综合与实践 【问题情境】 （1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使，连接．证明，得，在中利用三角形三边关系即可求解； （2）延长交的延长线于点N，证明，得；再由可得，从而求得，即求得的长； （3）延长到N，使，则可证明，有，，从而易得，再证明，则，从而得，此即线段与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接． ∵边上的中线为， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点N，如图； ∵M为边的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系为：； 如图，延长到N，使， ∵F为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴，此即线段与的数量关系． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形三边不等关系，三角形中线的含义等知识，由中点构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $