第一章 相交线与平行线 单元测试卷 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版七（下）数学第一章 相交线与平行线 单元测试培优卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025七下·温州期中）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意。图1是一沙燕风筝的示意图，在下列四个选项中，能由图1经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七下·牡丹期中）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（　　） A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角 3．如图， 分别过点 画直线 的垂线 ， 则直线 与直线 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 4．（2024七下·路桥期末）如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中能判定 的是（ ） A． B． C． D． 5．（2025七下·嵊州期中）如图，直线a//b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=55°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 6．（2024七下·天津市月考）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A．60° B．55° C．45° D．35° 7．如图，若AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是(　　) A．∠α+∠β+∠γ=180° B．∠α-∠β+∠γ=180° C．∠α+∠β-∠γ=180° D．∠α+∠β+∠γ=270° 8．（2024七下·越秀期末）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（　　） A． B． C． D． 9．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④ 10．（2024七下·广州期中）如图5，点在延长线上，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值． 其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分。 11．（2025七下·越秀期末） 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是　 　． 12．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是　 　°。 13．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为　 　度. 14．（2025七下·温州期中）光线在不同介质中传播会发生折射。由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行。若∠1+∠2=α°，则∠4-∠3=　 　°（用含α的代数式表示）。 15．（2024七下·常德期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为　 　秒时，． 16．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是　 　cm.若，则　 　度. 三、解答题：本大题共8小题，共72分。 17．（2023七下·金乡县月考）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． （1）画出点B到直线的最短路径； （2）过C点画出的平行线，交于点E； （3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． （4）判断和的数量关系　 　． 18． 如图， 在 中， ， 将 沿 方向平移得到 ， 且 ． （1）求线段 的长； （2） 求四边形 的周长． 19．（2025七下·封开期末） 如图，已知，AC平分，若，求的度数. 20．（2025七下·绍兴期末）如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， . （1） 求证： ； （2） 若 ， ， 求 的度数. 21．（2025七下·余姚期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°， （1）说明AD∥EF的理由； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数． 22．（2024七下·花垣月考）如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 23．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. （1） 按小明的思路，易求得的度数为　 　度；(直接写出答案) （2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； （3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 24．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动． （1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）； （2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数； （3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解： 根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下： 故答案为：D. 【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点作平行于，则， ，， ， ， 故选：A． 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作平行于，得到，得出和，结合，进而得到与的关系，得出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵垂直同一条直线的两条直线互相平行， ∴直线a与直线b的位置关系是平行， 故答案为：B. 【分析】利用“垂直同一条直线的两条直线互相平行”分析求解即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】A、∵∠1与∠4是同旁内角，且∠1+∠4不一定等于180°，∴不能判断a//b，∴A不符合题意； B、∵∠2与∠3是邻补角，无法判断a//b，∴B不符合题意； C、∵∠2与∠5是对顶角，无法判断a//b，∴C不符合题意； D、∵∠4与∠5是内错角，且∠4=∠5，∴a//b，∴D符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示： ∵a//b， ∴∠3=∠1=55°. ∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°， ∴∠2=35°. 故答案为：A. 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可计算出∠2的度数. 6．【答案】B 【解析】【解答】解： PD∥OB， PC⊥OB ∠CPD=90° ∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°， ∠OPC＝35° ∠APD=180°-90°-35°=55° 故选B. 【分析】根据平行线的性质得出∠PCO＝∠DPC =90°，然后利用三角形的内角和定理解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB ∵ AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠α+∠AEF=180°， ∠γ =∠DEF ∴ ∠β=180°-∠α+∠γ， 即： ∠α+∠β-∠γ=180° 故选：C. 【分析】过点E作EF∥AB，由平行公理可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠AEF=180°， ∠γ =∠DEF，即可得到∠α，∠β，∠γ之间的关系. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点E作， ， ，， 即 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】过点E作，先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得，，再结合，利用角的运算和等量代换可得. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：A． 【分析】利用平行线的性质证出，从而可判断出①是否正确；再利用等量代换可证出，从而可得平分，再判断出②是否正确；再利用角的运算和等量代换求出，从而可判断出③是否正确；再结合，可得，再求出，从而可判断出④是否正确，从而得解. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴AE∥BD， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，结论②正确； ∵， ∴， ∵比的余角小， ∴， ∵，， ∴，结论③正确； ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，结论④正确； 故正确的结论是①②③④； 故答案为：D． 【分析】根据平行线的判定与性质、余角和补角的性质，角平分线的性质等准确分析计算，逐一判断即可. 11．【答案】3 【解析】【解答】 解：根据点到直线的距离可知： 点P到直线l的距离是PB， ∵PB=3 ∴点P到直线l的距离是PB=3 故答案为：3 . 【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离；由题知：PB⊥l，根据点到直线的距离的定义可知：PB的长度就是点P到直线l的距离，代入数据即可得出答案. 12．【答案】116 【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2 ∴∠1=∠2=∠ABC=32°. ∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°. 故答案为：116. 【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数. 13．【答案】210 【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台， ∴l//支撑平台//工作篮底部 ∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180° ∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210° ∵∠4+∠5=∠2， ∴∠2+∠3=210° 故答案为：210. 【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解. 14．【答案】(180-α) 【解析】【解答】解：∵空气中的光线平行， ∵水面与玻璃杯的底面平行， 故答案为： 【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2+∠4=180°，然后利用角的和差和等量代换解答即可. 15．【答案】14或63.6或134 【解析】【解答】解：设射线PB旋转的时间为t秒， ∵射线QC绕Q点每秒旋转，射线QC先转42秒，射线PB才开始转动， ∴射线QC还需旋转138秒到达QD， ∴． ①如图，当， ，， ∵， ， ∵， ， ， 解得． ②如图，当时， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得． ③如图，当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒． 故答案为：14或63.6或134． 【分析】设射线PB旋转的时间为t秒，由题意得0＜t≤138，分三种情况： ①当时，根据路程、速度、时间三者的关系得，，由二直线平行同位角相等得， 由二直线平行，内错角相等得，则∠CQC'=∠BPB'，据此建立方程求解可得t的值； ②当时，由路程、速度、时间三者的关系得，， 由二直线平行，内错角相等得，有二直线平行，同旁内角互补得， 从而代入计算可得t的值； ③当时，根据路程、速度、时间三者的关系得， 由二直线平行，内错角相等得， 由二直线平行同位角相等得，据此建立方程，可求出t的值，综上即可得出答案. 16．【答案】50；83 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm. ∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动 又∵两点之间线段最短 ∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值 ∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm 故答案为50. （2）如图所示，过点B作直线FG∥MN. ∵MN∥FG，MN∥DE ∴FG∥ED. ∴∠FBA=∠BAN=35° ∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7° ∴∠D=∠C-∠CBF=83° 故答案为：83. 【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解； （2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解. 17．【答案】（1）解：点B到直线的最短路径，即过点B作直线的垂线， 如图所示，过点B作延长线，交于点D， ∴垂线段是点B到直线的最短路径． （2）解：如图所示，， ∴是所求直线． （3）解：如图所示， ∴即为所求图形． （4） 【解析】【解答】解：（4），理由如下， 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】（1） 过点B作延长线，交于点D， 则垂线段的长是点B到直线的最短路径； （2）如图，取格点E，画直线CE，则CE即为所求； （3）根据平移的性质分别确定点A、B、C向左平移格，再向下平移格后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可. 18．【答案】（1）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF， ∴DE=AB.∵AE=2，DB=14，∴DE=AB==6. ∴AD=AE+DE=8. （2）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF，∴DF=AC=5，CF=AD=8. ∴四边形 DBCF 的周长=DB+BC+CF-DF=14+4+8+5=31. 【解析】【分析】（1）因为AE=2，DB=14，所以可知AB+DE的和为12，根据平移的性质对应边相等得到AB=DE=6，进而可得AD为AE与DE的和. （2）因为AC与DF为对应边相等，所以DF=5，又因为平移时图形上所有点平移的方向距离一样，所以CF=AD=8，最后四条边相加可求得周长. 本题解题的关键是掌握平称的性质及线段之间的关系. 19．【答案】解：， ， ，， 平分， ， . 【解析】【分析】先根据同旁内角互补证明，则，，再根据角平分线的定义得到∠BAD的度数，进而即可得到∠B的度数。 20．【答案】（1）证明：∵∠2=∠3 ∴ ∴∠C=∠DGF ∵∠C=∠1 ∴∠DGF=∠1 ∴ （2）解：∵与是对顶角 ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵与是对顶角 ∴ 【解析】【分析】（1）首先根据内错角相等推出两直线，再利用平行线的性质进一步得到同位角∠C=∠DGF，然后等量代换出∠DGF=∠1，再一次利用内错角相等得到两直线； （2）先根据对顶角相等将∠3放入中，然后利用三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，，最后再利用对顶角相等即可求出 21．【答案】（1）证明. （两直线平行，内错角相等） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行) （2）解： 【解析】【分析】 (1)先根据AB//DG，得到，再根据，得到，故可证明； (2) 先由题意求出，得到，根据平行线的性质即可得到的度数. 22．【答案】（1）解：如图1，， 理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）①如图2，平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ②和之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 综上得，和之间的数量关系为或． 【解析】【分析】（1）由平分，得到，根据，得到 ，结合内错角相等，两直线平行，即可证得； ①由平分，平分，得到，再由，得到，，得到； ②当点G在点F的左侧时，由平分，且平分，求得，再由，得到和，得到，进而得到答案. 23．【答案】（1）110 （2）解：，理由如下： 如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E， ∵AB//CD， ∴AB//PE//CD， ∴α=∠APE，β=∠CPE， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β. （3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，. 【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD， ∴PE//AB//CD， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， ∵∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∴∠APE=50°，∠CPE=60°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°， 故答案为：110. （3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E， ∵AB//CD， ∴AB//PE//CD， ∴α=∠APE，β=∠CPE， ∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β， 即； 如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E， ∵AB//CD， ∴AB//PE//CD， ∴α=∠APE，β=∠CPE， ∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α， 即， 综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，. 【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可； （2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可； （3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可. 24．【答案】（1） （2）解：如图所示， ∵小明把三角尺角的顶点放在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴. （3）解：如图所示， 根据（1）可知，即， 已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即， 设，则，， ∵平分交直线于点，平分交直线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【解析】【解答】（1）解：，理由如下， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可； （2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得； （3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得． （1）解：，理由如下， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示， ∵小明把三角尺角的顶点放在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴； （3）解：如图所示， 根据（1）可知，即， 已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即， 设，则，， ∵平分交直线于点，平分交直线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $