精品解析：安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高一上学期12月校内拉练（月考）数学试题

马鞍山中加双语学校2025—2026学年高一校内拉练考试 数学试卷 说明：本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动.用皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（本卷共计58分） 一、单选题：8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 8 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 命题“，使得”是假命题 C. 是的充要条件 D. 是集合中只有一个元素的充要条件 10. 设正实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为4 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的值是__________. 13. 已知，，则的取值范围是__________. 14. 已知实数a，b满足，则______. 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，求的值； （2）求值：． 16. 已知集合， （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 17. 已知幂函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 18. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①不恒为零；②对任意，都有；③当时，；④. （1）证明：为奇函数； （2）证明：在上单调递减； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，，，； （1）当时，求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2025—2026学年高一校内拉练考试 数学试卷 说明：本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动.用皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（本卷共计58分） 一、单选题：8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式的性质化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】， 又，则， 故选：D． 2. 已知是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由且，得，反之，不成立，如取满足，而且不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件． 故选：B 3. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算出的值，再根据对数函数的单调性可知，从而判断a，b，c的大小关系. 【详解】由题意，，，， 所以， 故选：C. 4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合一次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题意. 故选：B 6. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项. 【详解】因为， 所以，， 若，则，排除C， 若，则，排除AB. 故选：D 7. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出点坐标，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为10. 故选：B 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求得为偶函数，再结合复合函数的单调性可求得复合函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而对于不等式恒成立，可得得，即，从而对分情况讨论即可求解. 【详解】由题意可知函数，所以函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 对于函数，当时，，可得其在区间上单调递增， 又因为为增函数，由复合函数定义及偶函数的性质可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，则得，即， 当时，成立， 当时，由，可得， 因为，当且仅当，即，即时取等号， 所以，得，故A正确. 故选：A. 二、多选题：3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 命题“，使得”是假命题 C. 是的充要条件 D. 是集合中只有一个元素的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】取即知A错误；对于，可求得的范围，可知B正确；由子集概念与集合运算性质可知C正确；取即可知D错误； 【详解】解：对于A项：因为时，，所以命题“，”是假命题，故A错误； 对于B项：因为，，所以命题“，使得”是假命题，故B正确； 对于C项：，即是的充要条件，故C正确； 对于D项：因为当时，即，所以，所以，所以D错误； 故选：BC. 10. 设正实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为4 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式、指数运算性质及“1”的代换求各项代数式的最值. 【详解】由，则，可得，当且仅当取等号，A对； 由，当且仅当取等号，即最小值为4，B错； 由，当时有最小值为2，C对； 由， 当且仅当时取等号，故的最小值为，D对. 故选：ACD 11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，有， 当时，，所以， 由于是定义在上的奇函数，所以. ， 由此画出的图象如下图所示， 由图可知的值域为，A选项正确. 当时，令，解得， 所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确. 关于的方程的根为，所以C选项错误. 当时，，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛： 奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方程根的性质. 函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常重要的辅助手段. 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知实数a，b满足，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，结合已知条件即可得解. 【详解】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，求的值； （2）求值：． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算化简计算即得. （2）利用对数运算法则求解即得. 【详解】（1）由，得. （2）. 16. 已知集合， （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，解对数不等式求集合B，再应用集合交运算求结果； （2）由包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，， 所以； 【小问2详解】 由，若，则满足题设； 若，则，即； 综上，. 17. 已知幂函数是偶函数. （1）求的解析式； （2）设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，求出的值，再代入检验即可； （2）首先得到当时的解析式，再根据奇函数的性质求出时的解析式，即可得解. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以， 解得或， 当时，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意； 综上可得； 【小问2详解】 由（1）可知当时，， 设，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，， 综上可得. 18. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①不恒为零；②对任意，都有；③当时，；④. （1）证明：为奇函数； （2）证明：在上单调递减； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 令，则， 令，则，可得， 所以为奇函数. （2） 令，则，且， 所以，故在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义证明结论； （2）应用函数单调性的定义证明结论； （3）根据已知及函数的单调性、奇函数性质，将问题化为在上恒成立，应用换元法，及指数函数、二次函数的性质求左侧最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则， 所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 由，则时最大值， 所以，故实数的取值范围. 19. 已知函数，，，； （1）当时，求函数的值域； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出的取值范围，再对勾函数的单调性求出函数的值域； （2）令，依题意可得在上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解； （3）依题意可得对任意，恒成立，即，令，，分、、、四种情况讨论，分别求出的最值，从而得到不等式，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，且在上单调递增， 又在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以 【小问2详解】 令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以当时， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，在上的最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，， ①，即时，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ④，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以 综上可得，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $