精品解析：山西省临汾第一中学校2025-2026学年高二上学期数学周测试题（十三）

临汾一中2025-2026学年度第一学期高二年级周测试题（十三） 数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 记为正项等比数列的前项和．若，，则（ ） A. 18 B. 10 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，， 由等比数列的性质可知：成等比数列， 即成等比数列，所以，解得：， 故选：C 2. 设等差数列前项和为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据下标和的性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】在等差数列中， 又，即，解得. 故选：A 3. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 4. 直线被圆截得的弦长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 5. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算求解即可； 【详解】由题有，则 . 故选：A. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 8. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出，，判断AB；利用等差数列的基本性质和作差法判断C；由，结合等差数列性质及数列的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，由， 得，解得，由，得数列单调递增，则， 因此使的最小正整数n的值为22，D正确. 故选：ACD 10. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ） A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 11. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 【答案】CD 【解析】 【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下： 对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，， 所以. 故答案为： 13. 在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】通过求出部分项数值，发现奇数项的规律，进而求值即可. 【详解】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. 14. 已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式、两点间距离公式及三角形面积公式表示出三角形面积，进而表示出三角形面积和，结合基本不等式计算即可. 【详解】设点，则. 直线的方程：，即；直线的方程：，即. ， 点到直线的距离：， . ，点到直线的距离：， . 所以. 设，，则，. ，当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用右焦点、离心率求出、值，进而得到值，代入椭圆标准方程即可. （2）判断出点与椭圆的位置关系，利用即可求出面积. 【小问1详解】 设的半焦距为．由的右焦点为，得． 由的离心率为，得，所以． 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设． 由题意可知直线的方程为，即， 与联立，得，解得． 因为，所以点在椭圆内. 所以，即的面积为． 16. （1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组计算即可. （2）利用为等差数列求出表达式，利用求出表达式，进而求出的通项公式. 【详解】（1）设的公差为． 由题意知，解得， 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 又，得， 所以，也符合该式． 所以，. 17. 如图，菱形与矩形所在的平面垂直，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接，因为侧面是菱形，，所以是正三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 又平面,所以平面． 因为平面，所以． 因为在矩形中，，且，则得， 因为，所以，所以， 因为，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，故可取． 设直线与平面所成的角为， 则． 18. 如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）若轴，求四边形的面积； （2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）证明:设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明出，分析可知，求出、，即可得出，结合三角形的面积公式可得出答案； （2）设，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出，同理有，进而可知、是方程的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立； （3）分析可知点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，分析可知，点在以为直径的圆上，又可知线段为该圆的直径，即可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 19. 已知点在抛物线上，的焦点为． （1）点在上，且满足，求． （2）设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上求出抛物线方程，再利用抛物线定义和向量关系求出. （2）（ⅰ）求出过点且斜率为的直线方程，再联立抛物线方程求出交点的坐标，最后根据与关于轴对称求出的坐标. （ⅱ）先求出直线的方程，联立抛物线方程求出的横坐标，再根据与关于轴对称得到的横坐标，进而求出数列的通项公式，最后根据等差数列的前项和公式求出. 【小问1详解】 因为点在上，所以，所以，的方程为，，准线方程为． 设． 由，得， 所以，得. 所以，根据抛物线定义可知，． 【小问2详解】 （ⅰ）过点且斜率为-1的直线为． 由解得或所以， 因为与关于轴对称，所以，即． （ⅱ）已知，，则直线的方程为， 由，得， 因为，所以，即， 解得（舍去，因为异于点）或，所以横坐标为. 为关于轴的对称点，所以，即，又，所以是首项为6，公差为-1的等差数列，所以． 当时，， 则； 当时，， 则 ． 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾一中2025-2026学年度第一学期高二年级周测试题（十三） 数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 记为正项等比数列的前项和．若，，则（ ） A. 18 B. 10 C. 14 D. 12 2. 设等差数列前项和为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 4. 直线被圆截得的弦长为（　　） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 10. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ） A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 11. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为_____． 13. 在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则_____． 14. 已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于两点，求的面积． 16. （1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 17. 如图，菱形与矩形所在的平面垂直，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）若轴，求四边形的面积； （2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 19. 已知点在抛物线上，的焦点为． （1）点在上，且满足，求． （2）设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $