1.4 二次根式 （课件 +学案) 2026年中考数学一轮复习

【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】 第一章 数与式 1.4 二次根式 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 1．二次根式的相关概念 （1）二次根式：形如的式子叫作二次根式（即一个数的算术平方根叫作二次根式）． （2）最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 2．二次根式的性质： （1）具有双重非负性，一是，二是． （2） ． （3）． （4） ． （5） ． 3．二次根式的运算 （1）加减法运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是合并同类二次根式． （2）二次根式的乘法法则：． （3）二次根式的除法法则：． （4）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用． 注意：运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式． 4．方法技巧 （1）记清公式，如． （2）在运用分母有理化法计算时要考虑分母的有理化因式不能为0． （3）性质公式逆用：如性质． 逆用：；；． 从而使根式的分子分母出现“公因式”，便于约分。 （4）善于挖掘隐含条件，会用二次根式被开方数非负这一性质。 ■考点一 二次根式有意义的条件► ◇典例1：(2025·四川省绵阳市·中考)若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． ◆变式训练 1．(2025·宁夏银川市第十八中学·三模)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 2．(2025·黑龙江·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴的值可以是 ．（答案不唯一） ■考点二 二次根式的性质及化简► ◇典例2：(2025·广西·一模)化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． ◆变式训练 1．(2025·江西吉安·二模)若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 2．实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． ■考点三 最简二次根式► ◇典例3：(2025·云南省丽江·三模)下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． ◆变式训练 1．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．(2025·宁夏银川市阅海第二中学·模拟)最简二次根式能与进行合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，先根据二次根式的性质化简，进而根据同类二次根式，列出方程，解出m即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． ■考点四 二次根式的运算► ◇典例4：(2025·安徽·押题)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方、负分数次幂、合并同类项、二次根式的乘法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据积的乘方、负分数次幂、合并同类项、二次根式的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，故该选项不符合题意；     B． ，故该选项正确，符合题意；     C． 与不是同类项，不能进行加减运算，故该选项错误，不符合题意；     D． ，原计算错误，故该选项不符合题意． 故选B． ◆变式训练 1．(2025·南京·中考)计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 2．(2025·甘肃·模拟)计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． ■考点五 二次根式的化简求值 ► ◇典例5：(2025·黑龙江省大庆市·三模)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ， ； 当时，原式． ◆变式训练 1．(2025·云南省楚雄彝族自治州禄丰市·一模)若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可． 【详解】， 当时，原式， 故选：B． 2．(2025·甘肃省定西市·模拟)化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． ■考点六 二次根式的应用► ◇典例6：(2025·河北省邯郸市·四模)已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． ◆变式训练 1．(2025·吉林省长春市·三模)如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积，先根据正方形的面积公式和已知条件，求出和，从而求出，然后根据阴影部分的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积的面积的面积 ． 故答案为：12． 2．(2025·河北省邯郸市广平县·三模)现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． A 基础达标练 1．(2026·江苏省徐州市·模拟)如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解： 有意义， ， ． 因此，的取值范围是， 故选：B． 2．(2025·山东省东营市·中考)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 3．(2025·湖南·三模)估计的值应在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的化简与求值与根式的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 化简运算，再根据根式的大小估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 5．(2025·陕西省西安市·模拟)下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式性质解答即可． 本题考查了算术平方根，立方根，二次根式性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B. ，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6．(2025·宁夏银川市·三模)实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 7．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 8．(2025九·四川省广元市·学业水平监测)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 代入， 原式． B 强化提升练 9．(2025·甘肃省定西市·模拟)观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．(2025·江苏省宿迁市·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】 第一章 数与式 1.4 二次根式 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 1．二次根式的相关概念 （1）二次根式：形如的式子叫作二次根式（即一个数的算术平方根叫作二次根式）． （2）最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含________； ②被开方数中不含________的因数或因式． 2．二次根式的性质： （1）具有________，一是，二是． （2） ． （3）． （4） ． （5） ． 3．二次根式的运算 （1）加减法运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是________． （2）二次根式的乘法法则：． （3）二次根式的除法法则：． （4）运算顺序：先算乘方，再算________，最后算________，如果有________，就先算________里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用． 注意：运算结果中的二次根式，一般都要化成________或整式． 4．方法技巧 （1）记清公式，如． （2）在运用分母有理化法计算时要考虑分母的有理化因式不能为0． （3）性质公式逆用：如性质． 逆用：；；． 从而使根式的分子分母出现“公因式”，便于约分。 （4）善于挖掘隐含条件，会用二次根式被开方数非负这一性质。 ■考点一 二次根式有意义的条件► ◇典例1：(2025·四川省绵阳市·中考)若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． ◆变式训练 1．(2025·宁夏银川市第十八中学·三模)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 2．(2025·黑龙江·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． ■考点二 二次根式的性质及化简► ◇典例2：(2025·广西·一模)化简： ． ◆变式训练 1．(2025·江西吉安·二模)若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． ■考点三 最简二次根式► ◇典例3：(2025·云南省丽江·三模)下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◆变式训练 1．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．(2025·宁夏银川市阅海第二中学·模拟)最简二次根式能与进行合并，则 ． ■考点四 二次根式的运算► ◇典例4：(2025·安徽·押题)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 1．(2025·南京·中考)计算的结果是 ． 2．(2025·甘肃·模拟)计算下列各题： (1)； (2)． ■考点五 二次根式的化简求值 ► ◇典例5：(2025·黑龙江省大庆市·三模)先化简，再求值：，其中． ◆变式训练 1．(2025·云南省楚雄彝族自治州禄丰市·一模)若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 2．(2025·甘肃省定西市·模拟)化简求值：，其中， ■考点六 二次根式的应用► ◇典例6：(2025·河北省邯郸市·四模)已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． ◆变式训练 1．(2025·吉林省长春市·三模)如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ． 2．(2025·河北省邯郸市广平县·三模)现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． A 基础达标练 1．(2026·江苏省徐州市·模拟)如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．(2025·山东省东营市·中考)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(2025·湖南·三模)估计的值应在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 4．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(2025·陕西省西安市·模拟)下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(2025·宁夏银川市·三模)实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 7．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)计算：． 8．(2025九·四川省广元市·学业水平监测)先化简，再求值：，其中． B 强化提升练 9．(2025·甘肃省定西市·模拟)观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 10．(2025·江苏省宿迁市·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一轮复习 1.4 二次根式 数与式 第1章 “—” 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 1．二次根式的相关概念 （1）二次根式：形如的式子叫作二次根式（即一个数的算术平方根叫作二次根式）． （2）最简二次根式需满足两个条件： ①被开方数不含________； ②被开方数中不含____________的因数或因式． 分母 开得尽方 2．二次根式的性质： （1）具有_____________，一是，二是． （2） ． （3）． （4） ． （5） ． 双重非负性 3．二次根式的运算 （1）加减法运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是__________________． （2）二次根式的乘法法则：． （3）二次根式的除法法则：． 合并同类二次根式 （4）运算顺序：先算乘方，再算________，最后算________，如果有________，就先算________里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用． 注意：运算结果中的二次根式，一般都要化成_____________或整式． 乘除 加减 括号 括号 最简二次根式 4．方法技巧 （1）记清公式，如． （2）在运用分母有理化法计算时要考虑分母的有理化因式不能为0． （3）性质公式逆用：如性质． 逆用：；；． 从而使根式的分子分母出现“公因式”，便于约分。 （4）善于挖掘隐含条件，会用二次根式被开方数非负这一性质。 ■考点一 二次根式有意义的条件► ◇典例1：(2025·四川省绵阳市·中考)若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． A ◆变式训练 1．(2025·宁夏银川市第十八中学·三模)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 2．(2025·黑龙江·一模)若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 且 （答案不唯一） ■考点二 二次根式的性质及化简► ◇典例2：(2025·广西·一模)化简： ． ◆变式训练 1．(2025·江西吉安·二模)若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． C 或 ■考点三 最简二次根式► ◇典例3：(2025·云南省丽江·三模)下列二次根式：，是最简二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B ◆变式训练 1．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．(2025·宁夏银川市阅海第二中学·模拟)最简二次根式能与进行合并，则 ． A ■考点四 二次根式的运算► ◇典例4：(2025·安徽·押题)下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． B ◆变式训练 1．(2025·南京·中考)计算的结果是 ． 2 2．(2025·甘肃·模拟)计算下列各题： (1)；(2)． 解：（1） ； （2）原式 ． ■考点五 二次根式的化简求值 ► ◇典例5：(2025·黑龙江省大庆市·三模)先化简，再求值：，其中． 解： ， ， ， ； 当时，原式． ◆变式训练 1．(2025·云南省楚雄彝族自治州禄丰市·一模)若，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． B 2．(2025·甘肃省定西市·模拟)化简求值：，其中， 解： ， 当，时，原式． ■考点六 二次根式的应用► ◇典例6：(2025·河北省邯郸市·四模)已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． A ◆变式训练 1．(2025·吉林省长春市·三模)如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ． 12 2．(2025·河北省邯郸市广平县·三模)现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为______，C的边长为______； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 2 解：（2）∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． A 基础达标练 1．(2026·江苏省徐州市·模拟)如果有意义，那么的取值范围是(     ) A． B． C． D． B 2．(2025·山东省东营市·中考)下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． C 3．(2025·湖南·三模)估计的值应在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 A 4．(24-25九下·广东韶关浈江区行之实验学校·二模)若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． D 5．(2025·陕西省西安市·模拟)下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． D 6．(2025·宁夏银川市·三模)实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2 7．(25-26九上·湖南衡阳县·模拟)计算：． 解：原式 ． 8．(2025九·四川省广元市·学业水平监测)先化简，再求值：，其中． 解：, , , , ， 代入，原式． B 强化提升练 9．(2025·甘肃省定西市·模拟)观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 10．(2025·江苏省宿迁市·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； D 解：（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中， 画出所构造的图形） $