第16章 整式的乘法 数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律 课件　 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦整式乘法的实际应用，核心内容为月历数字规律探究与和为定值两数积规律。课堂从月历观察切入，引导学生发现数量关系，通过整式运算证明规律，再应用于长方形面积等问题，构建“观察-猜想-证明-应用”的学习支架。 其亮点在于以生活情境（月历、围长方形）培养数学眼光，通过“观察-猜想-证明”发展推理意识与运算能力，用代数式表示规律及解决问题体现符号意识与模型意识。实例如月历规律字母证明、和为定值积公式推导，分层练习覆盖不同应用。助力学生提升探究与应用能力，为教师提供结构化活动设计与分层教学资源。

第十六章 整式的乘法 数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律 1．发现月历中4个数交叉相乘再相减的规律． 2．掌握和为定值的两数积的变化规律；能运用整式运算证明规律． 3．会用规律解决实际问题． 观察：月历中藏着很多数学奥秘，大家观察蓝色方框里的4个数，它们之间有什么关系？ 活动1：请同学们计算蓝色方框4个数交叉相乘再相减的结果，再选择2-3个类似方框重复操作，记录结果，你发现了什么规律？ 6×14-7×13=84-91=-7 16×24-17×23=384-391=-7 20×28-21×27=560-567=-7 猜想：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是-7。 4 证明：设左上角数为x，其余数为x+1、x+7、x+8 则x(x+8)-(x+1)(x+7) =x2+8x-(x2+7x+x+7) =x2+8x-x2-8x-7 =-7 即：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是-7。 你还能发现其他规律吗？ 活动2：计算下列两个数的积(每组中两个数的和为定值)，你能发现结果有什么规律吗？你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？ （1）30×30，35×25，43×17，52×8； （2）50×50，53×47，74×26，91×9． 解：（1）30×30=900 35×25=875 43×17=731 52×8=416 （2）50×50=2500 53×47=2491 74×26=1924 91×9=819 猜想：和为定值的两个数，差越小，积越大 证明：设这两个数的和为S，差为d， 则较大的数为，较小的数为 这两数的积为：== 因为两数和S是定值，所以S2也是定值， 分母4是个固定的正数， 积的大小由“分子S2-d2”决定：d越小，S2-d2越大，积就越大；d越大，S2-d2越小，积就越小。 当两数差d=0时，即两数相等为，积=，此时积达到最大值。 所以，和为定值的两个数，差越小，积越大。 应用：利用你发现的规律解决下面的问题：10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？ 解：因为绳子长10m，即长方形的周长为10m。 所以这个长方形的长+宽==5（m） 因为和为定值的两个数，差越小积越大，当两数相等时积最大， 即长和宽相等时，长方形的面积最大为： （m2） 此时，长方形的两条邻边的长度相等。 结论：周长为定值的长方形，当且仅当它是正方形时，面积最大。 【知识技能类练习】必做题： 1．两个数的积为625，且它们的和为定值，这个定值最小是（ ） A．40 B．50 C．60 D．70 B 【知识技能类练习】必做题： 2．图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若代表对应被遮住的数字，则代数式的值为（    ）  A． B． C．48 D．50 C 【知识技能类练习】必做题： 3．用长的绳子围成长方形，试改变长方形一边的长，观察长方形的面积怎样变化．设长方形一边的长为，面积为． (1)补全下表； 一边的长 4 3 2.5 2 x 相邻的一边长           面积           1 4 2 6 2.5 6.25 3 6 5-x x(5-x) 【知识技能类练习】必做题： (2)试用含x的式子表示S，并写出x的取值范围； (3)x取______时，S最大，为_____； (4)由上可得长方形的周长一定时，怎样围长方形才能使它的面积最大？ 解：（2）由（1）可得：， ∵， ∴x的取值范围为； 2.5 6.25 （4）由（3）可知：当长方形的一边长为2.5时，面积取得最大值，此时长方形变为正方形； 答：长方形的周长一定时，围成正方形才能使它的面积最大． 【知识技能类练习】选做题： 4．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年11月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7． 【知识技能类练习】选做题： (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 解：（1）框住了两块，一块有数字，另一块有数字， ， ， 结果是7，符合规律； 【知识技能类练习】选做题： (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． （2）证明：设左上角的数字为n，则其后面的数为，下面左下角的数为，右下角的数为 ； ∴在日历上，将每个方框部分中的4个位置上数字交叉相乘，再相减，结果都是7． 【综合拓展类练习】 5．阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 【综合拓展类练习】 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： 解：（1） ， 【综合拓展类练习】 (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 大 4 18 （2）， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是1． 数学活动 和为定值的两数积规律 月历中的奥秘 【知识技能类作业】必做题： 1．用长为20m的篱笆围一个矩形菜园，菜园的面积最大是（ ）m² A．20 B．25 C．30 D．35 B 【知识技能类作业】必做题： 2．如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如 ）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（    ） A．18 B．13 C．7 D．3 C 【知识技能类作业】必做题： 3．用长为16cm的铁丝围成一个正方形时，面积是_________cm²；若围成一个长方形（非正方形），面积最大为_________cm² 16 15 【知识技能类作业】选做题： 4．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． 【知识技能类作业】选做题： (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 22 解：（2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 【综合拓展类作业】 5．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 【综合拓展类作业】 解：（1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、， 七个数的和是； （2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于，理由如下： 由（1）得，， 解得， 此时最大的数，而日历中没有， 故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． $