第16章 数学活动 月历中的奥秘（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

数学活动 月历中的奥秘 第 16 章 整式的乘法 人教版八年级(上) 1. 通过月历中的数字规律，理解交叉相乘再相减的规律；和为定值的两数积的规律及其应用.(重点) 2. 利用整式运算证明月历中的规律；理解和为定值的两数积的规律，并应用于实际问题.(难点) 3. 培养观察能力、归纳能力和代数推理能力，通过探究活动，提升数学思维和问题解决能力. 素养目标 (1) 方框中的 9 个数的和与方框正中心的数有什么关系？ 【知识链接】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31     9 个数的和是方框正中心的数 9 倍 情境导入 3 (2) 对于框中的 4 个数，又能得出什么结论？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31     ② 4 个数的和是 4 的倍数. ① 4 个位置上的数交叉相加和相等. 情境导入 情境探究：月历是我们身边接触比较多的一个工具，月历中的数字排列是否有规律？如何通过数学方法发现这些规律？观察下图某月的月历，思考下面的问题. 活动探究一： 月历中的奥秘 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新知探究 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 讨论1：选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中 4 个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论？ 结果为 7 或－7. 活动探究一： 月历中的奥秘 如：6×14－7×13＝－7； 7×13－6×14＝7 16×24－17×23＝－7； 17×23－16×24＝7 新知探究 讨论2：请再选几个类似的部分，试一试，与同桌讨论，看看是否符合这个规律. 依然符合这个规律. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 活动探究一： 月历中的奥秘 新知探究 讨论3：换一个月的月历试试，前面的规律还成立吗？ 成立. 活动探究一： 月历中的奥秘 如：6×14－7×13＝－7； 7×13－6×14＝7 新知探究 讨论4：请根据整式的乘法，对以上规律加以证明. 故猜想的结论成立. 证明：设四个数字中最小的数为 x， 其余三个数字从小到大依次为： x + 1，x + 7，x + 8， 斜交叉相乘，再相减，列式为： x(x + 8) - (x + 1)(x + 7) = x² + 8x - (x² + 8x + 7) = -7 活动探究一： 月历中的奥秘 新知探究 讨论5：你还能发现其他规律吗 ? 与你的同桌讨论，并尝试证明. ① 横行上相邻两个数字相差 1，设中间数字为 x，则其左边数字为 x - 1，右边数字为 x + 1. ② 竖列上相邻两个数字相差 7，设中间数字为 y，则其上方数字为 y - 7，下方数字为 y + 7 等. 活动探究一： 月历中的奥秘 新知探究 拓展：(1) 如果告诉你一竖列上连续三个数的和为 72，你能知道是哪几天吗? 解 设一竖列上相邻三个数的中间的一个数为 x， 则上面的一个数为 x - 7，下面一个数为 x + 7. 由题意，得 (x - 7) + x + (x + 7) = 72， 答：这三天分别是 17 号，24 号，31 号 . 解得 x = 24 ， 所以 x - 7 = 24 - 7 = 17， x + 7 = 24 + 7 = 31 . 新知探究 所以 y+1= 8+1 = 9 ，y+7 = 8+7 = 15，y + 8 = 8+8 = 16. (2) 如果用一个正方形圈出四个数，且这四个数的和为 48 ，这里圈出的四天你知道分别是几号吗? 解：设圈出的四个数中最小的数为 y，则另三个数分别为 y + 1，y + 7，y + 8. 由题意，得 y + (y + 1) + (y + 7) + (y + 8) = 48， 解得 y = 8. 答 ：这四天分别是 8 号，9 号，15 号，16 号 . 新知探究 问题情境：用 10 m 长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少 ? 活动探究二：和为定值的两数积的规律 长 宽 思考：此时长方形的长和宽有什么关系 ? 周长一定，求面积的最大值. 长＋宽＝5 m ，和保持不变. 当堂反馈 规律探索：计算下列式子的积，你能发现积有什么规律? 两数和一定 求两数的乘积最大值 ① 30×30 = ______，35×25 = ______； 43×17 = ______，52× 8 = ______； ② 50×50 = ______，53×47 = ______； 74×26 = ______，91× 9 = _______ . 两数和为定值，两数越接近，这两个数的积越大. 900 875 731 416 2500 1924 2491 819 活动探究二：和为定值的两数积的规律 新知探究 举例验证：再举出一些数来计算，所得的规律还成立吗？ 验证猜想：你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？ 两数之积为 (30－a)(30－a)＝900－a² . 证明：若两数和为 60，设其中一数为 30－a ，则另一数为 30－a. 因为 a² ≧ 0，所以 a 越大，900－a² 越小. 规律仍然成立 活动探究二：和为定值的两数积的规律 新知探究 拓展应用：现在你能利用发现的规律解决问题情境中的提问吗? 长方形的最大面积是 6.25 m²，此时长方形的长和 宽相等. 长＋宽＝5 m ，和保持不变. 当长、宽相等时，乘积达到最大， 所以面积的最大值为 2.5×2.5 = 6.25 m2. 活动探究二：和为定值的两数积的规律 当堂反馈 月历中的规律： 横排，竖列，斜对角，相邻数 整式的乘法的应用 和为定值的两数积的规律： 两数和一定时，两数越接近， 积越大！ 课堂小结 1.小琪同学在某月的月历上圈出了三个数 a ，b ，c ，并求出了它们的和为 30 ，则这三个数在月历中的排位位置不可能是 ( ) D A B C D a b c a b c a b c a b c 当堂反馈 2.已知在月历中竖列上三个数的和是 45 ，则这三个数中最小的数是 _______ . 3.某年 12 月份的月历如图所示，现用一长方形在月历中任意框出 4 个数，请用一个等式表示 a,b,c,d 之间的关系：____________ · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31     a c b d 8 a +d=b+ c 当堂反馈 4.请尝试用字母表示数，推导并证明： 两数和为定值，两数越接近，这两个数的积越大. 证明：设有两个数 A , B ，且 A＞B，A+B=m，A-B= n . 由 A+B=m，A-B= n . 可得 A = A×B= . 而两个数的和 m 为定值， 所以两数之差 n 越小，两个数的乘积越大，当 n = 0 时，乘积达到最大，为 . 当堂反馈 $