精品解析：天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测数学试卷

南开大学附中25-26学年上学明第二次阶段检测 高二数学学科试卷 一､单选题 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 2. 设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 6. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3 9. 如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题 11. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____. 13. 若圆与圆相交于两点，且，则实数__________． 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为_____． 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 三､解答题 16. 已知数列满足：，.若， （1）求证：为等差数列. （2）求数列的通项公式 17. 在各项为正的等差数列中，首项，数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点. 20. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中25-26学年上学明第二次阶段检测 高二数学学科试卷 一､单选题 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，令，求得的值，即可得到答案. 【详解】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项. 故选：C. 2. 设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 3. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 5. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以， ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 6. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 7. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得. 故选：A. 8. 若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 9. 如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解. 【详解】连接，如图， 由题意可知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由，，知为的中点，则，, ,， 设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：C 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 二､填空题 11. 已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 12. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为，所以，即， 因，则得，解得或， 因为，所以，所以不满足条件， 所以. 故答案为：1. 13. 若圆与圆相交于两点，且，则实数__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由两个圆方程得到公共弦直线方程，由垂径定理得到等式，解方程即可得到答案. 【详解】，圆心，半径 ∴直线：， 圆心到直线距离， 由垂径定理可得，∴，即， ∴或，经验证均满足题意. 故答案为：或 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线定理，转化线段之比，再利用已知线段以及抛物线焦半径公式可求出点，从而可得方程求解，最后可求得离心率. 【详解】 利用角平分线定理： 因为是的角平分线，所以有， 设，根据抛物线的定义可得， 由图可知与之比等于点横坐标与之比， 则有，解得，根据，交点在第一象限， 所以，即把点代入椭圆方程可得： ， 又因为， 所以联立上面两式可得：， 解得， 所以， 即离心率， 故答案为： 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 三､解答题 16. 已知数列满足：，.若， （1）求证：为等差数列. （2）求数列的通项公式 【答案】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 17. 在各项为正的等差数列中，首项，数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）由(1)得， 设， 则， 两式相减得， ， 又， ． 【解析】 【分析】(1)根据数列为等差数列，可设出公差为d，结合等差数列通项公式及，即可求得公差d，进而求得数列的通项公式． (2)根据的通项公式，可得数列的通项公式，则为等差与等比的乘积，利用错位相减法可求得前n项和，则可证明结论． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， ， ， 由解得， ； 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 19. 已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点. 【答案】（1）； （2）设（）， 因为，， 可得直线与方程为，． 由题设，所以，，，中点坐标， 于是圆的方程为． 因为，所以圆的方程可化为． 当时，，因此经过两个定点和． 【解析】 【分析】（1）根据离心率求得的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得的值，进而求得双曲线方程.（2）设出点的坐标，根据点斜式求得和的方程，进而求得两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆的方程.令求得两个定点的坐标. 【详解】（1）设：， 因为离心率为2，所以，． 所以的渐近线为， 由，得． 于是，， 故的方程为． （2）略 【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的渐近线，考查直线的点斜式方程和圆的标准方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明如下： 由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 【解析】 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【小问1详解】 由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $