精品解析：陕西省西安交通大学附属中学航天学校（西安航天菁英学校）2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

交大附中航天学校2025-2026学年第一学期第二次诊断初三数学试题 本试题共4页，25道大题．考试时长120分钟，试卷满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，其投影属于（　　） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的知识，根据由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，其投影属于中心投影． 故选：B 2. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是 故选：B． 3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】大量反复试验下频率稳定值即概率．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．关键是算出摸到白球的频率． 【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在， ∴口袋中白色球的个数可能是个， 故选：A． 4. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得． 故选：C． 6. 如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．由得到，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 7. 已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两条直线关于y轴对称，则它们的对应点关于y轴对称，点关于y轴对称的点的坐标为，利用对称性求出直线关于y轴对称的直线的解析式，与直线比较后建立方程求解。 【详解】直线关于y轴对称的直线的解析式为：， ∵直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称， ∴，， 即，， 故选：C. 8. 如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 9. 如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 10. 抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. 3 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 五边形五边形，且它们的相似比为．若五边形的面积为6，则五边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可解答. 【详解】解：∵五边形五边形，它们的相似比为， ∴ ∵五边形的面积为6， ∴五边形的面积为 故答案为：. 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， ． 故答案为：． 13. 如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 即， 解得：， 的半径为 故答案为：5． 14. 将同样大小的正方形按下列规律摆放，重叠部分涂上阴影，则下面图案中，第1个图案有3个正方形，第2个图案有7个正方形…则第100个图案中有_____个正方形． 【答案】399 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的规律问题，解题的关键是能够根据所给的图形找出规律． 根据所给图形得出第n个图形有个正方形，继而求出第100个图案中的正方形的个数即可． 【详解】解：第1个图形有3个正方形，， 第2个图形有7个正方形，， 第3个图形有11个正方形，， …， 依此类推，第n个图形有个正方形， 则第100个图案中有个正方形． 故答案为：399． 15. 如图，A、B是双曲线y上的点，点C在x轴上，B是线段AC的中点，S△OAC＝6．则k的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】首先设A（a，），C（b，0），根据中点坐标公式得B（.），再根据反比例函数定义得•k，求出a、b关系，根据S△OAC＝6，列出算式，求出k的值． 【详解】解：设A（a，），C（b，0）， ∴B（.）， ∴•k， ∴b＝3a， ∵S△OAC＝6， ∴b•6， ∴•3a•6， ∴k＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数k的几何意义列出算式是解题的关键． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零次幂、负整数指数幂的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值及负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算特殊角的三角函数值及零次幂、绝对值和化简二次根式，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程； （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ∴ ∴或 解得： 【小问2详解】 ∴ ∴或 解得： 19. 如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； （2）以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为3，位似图形对应点的坐标比等于：，本题在第一象限所以只取位似图形对应点的坐标比等于3，求出坐标即可画出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 【详解】略． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装着写有“数独”卡片的概率是___________； （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有4种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有1种可能，即概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道”卡片盲盒的结果数为2． 所以他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道” 卡片盲盒的概率为． 22. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点E，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，即可根据正切的定义求出，进而求出． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 在中，，， ，． 在中，， ， 在中，， ， ． 即的长度约为． 23. 如图，是的直径，点均在上，连接，过点A作的切线，交的延长线于点M，已知． （1）求证：点D是劣弧的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ， ， ， 点D是劣弧的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出，根据等边对等角可得出，等量代换可得出，即可得出． （2）连接，交于点E，由直径所对的圆周角等于90度，由平行线的性质得出，又圆切线的定义得出，由三角形内角和定理可得出，由正切的定义得出，再证明，由相似三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点E， ∵是的直径， ， ， 是的切线， ， ∵， ， 在中，， ∴ ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆心角，弦的关系，直径所对的圆周角等于90度，圆切线的定义，相似三角形的判定以及性质，根据正切的定义求出线段长，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 24. 项目式探究：如何击球使羽毛球过网 驱动任务：学校羽毛球队的同学准备参加市比赛，为增强训练效果，提高成绩，体育老师邀请学校科学小组的同学们帮助他们研究在固定位置击球时，要使羽毛球恰好过网，应如何击球？ 操作步骤： 第一步：如图1是小亮与小红一次击打羽毛球的线路，小亮在地面点的正上方点处击球，羽毛球的飞行高度（米）与距离点的水平距离（米）近似满足二次函数关系； 第二步：记录仪显示：击球点到点的垂直距离为米，羽毛球在距离小亮水平距离1米的位置达到最高点，最高点距地面的高度为米； 第三步：如图2，在离点水平距离3米的位置有一球网米，点在地面上； 第四步：小红站在球网右侧某位置，小亮发球过网后，羽毛球飞行到离地面米处被小红接球成功． （1）确定轨迹：根据图1求抛物线的函数表达式； （2）确定方案：若击球轨迹和最高点距的水平距离不变，只改变击球点的高度，要使羽毛球能恰好经过网上端点，求击球点距地面的高度为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的建模．顶点式应用及函数参数与实际场景的对应关系． （1）根据题意得：二次函数的顶点坐标为，过点，可设函数表达式为，再把代入，即可求解； （2）根据题意可设函数表达式为，代入点，求出函数解析式，再代入算出击球点距地面高度． 【小问1详解】 解：根据题意得：二次函数的顶点坐标为，过点， ∴可设函数表达式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意可设函数表达式为， 又因为球经过， ∴， 解得：， ∴函数表达式为， 当时，， 即击球点距地面的高度为米． 25. 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及了对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中航天学校2025-2026学年第一学期第二次诊断初三数学试题 本试题共4页，25道大题．考试时长120分钟，试卷满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，其投影属于（　　） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 2. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 4. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与直线（b为常数）关于y轴对称，则的值依次为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 9. 如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 10. 抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. 3 B. C. 3 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 五边形五边形，且它们的相似比为．若五边形的面积为6，则五边形的面积为_______． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 13. 如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为__________． 14. 将同样大小的正方形按下列规律摆放，重叠部分涂上阴影，则下面图案中，第1个图案有3个正方形，第2个图案有7个正方形…则第100个图案中有_____个正方形． 15. 如图，A、B是双曲线y上的点，点C在x轴上，B是线段AC的中点，S△OAC＝6．则k的值为_____． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 19. 如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； （2）以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 20. 如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装着写有“数独”卡片的概率是___________； （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率． 22. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．） 23. 如图，是的直径，点均在上，连接，过点A作的切线，交的延长线于点M，已知． （1）求证：点D是劣弧的中点； （2）若，，求的长． 24. 项目式探究：如何击球使羽毛球过网 驱动任务：学校羽毛球队的同学准备参加市比赛，为增强训练效果，提高成绩，体育老师邀请学校科学小组的同学们帮助他们研究在固定位置击球时，要使羽毛球恰好过网，应如何击球？ 操作步骤： 第一步：如图1是小亮与小红一次击打羽毛球的线路，小亮在地面点的正上方点处击球，羽毛球的飞行高度（米）与距离点的水平距离（米）近似满足二次函数关系； 第二步：记录仪显示：击球点到点的垂直距离为米，羽毛球在距离小亮水平距离1米的位置达到最高点，最高点距地面的高度为米； 第三步：如图2，在离点水平距离3米的位置有一球网米，点在地面上； 第四步：小红站在球网右侧某位置，小亮发球过网后，羽毛球飞行到离地面米处被小红接球成功． （1）确定轨迹：根据图1求抛物线的函数表达式； （2）确定方案：若击球轨迹和最高点距的水平距离不变，只改变击球点的高度，要使羽毛球能恰好经过网上端点，求击球点距地面的高度为多少米？ 25. 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点是线段上一动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $