精品解析：重庆市渝北中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

渝北中学教育集团2025-2026学年上期初三第四学月质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较．正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．比较各数大小，负数小于零，零小于正数，因此最大． 【详解】解：∵， ∴ 最大的数是2． 故选：D． 2. 下列立体图形在，左视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形逐项进行判断即可. 【详解】A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意； B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意； D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，熟知左视图是从物体的左面看得到的视图是解题的关键. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A、和不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，与位似，点O为位似中心，若，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定等等，先由题意得到，再根据位似图形的性质可证明，得到，最后根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为12， 故选：C． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．首先根据二次根式的混合运算计算，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ ∴的值应在4和5之间， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 6. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，根据多边形的内角和公式，求出的度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故选A． 7. 用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖． A. 81 B. 91 C. 96 D. 187 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到规律，结合图形每向外增加一环，找出正六边形增加的个数，找出规律，即可解答． 【详解】解：图①铺设一环需1块正六边形瓷砖， 图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，即（块）， 图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，即（块）， 如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，即（块）， 按此规律排列下去， 铺设环需块正六边形瓷砖； 则铺设六环需块正六边形瓷砖． 故选：B． 8. 如图，已知四边形是的内接四边形，且，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角之间的关系，切线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，连接，则有，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再由切线的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，作交于，连接，证明四边形为矩形，得出，，，再证明，得出，再证明、、、四点共圆，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 一列数（n是正整数，其中，均为非零数）满足规律：从第二个数起，每一数都等于与它相邻两数之积，如下列说法： ①若，则； ②若，则； ③已知，若前3个数中任意一个为1，则M化简后的常数项为675或676． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查规律探索，对于说法①，根据题意分别计算出，，，的值，即可判断正误；对于说法②，根据题意可求得，据此即可判断正误；对于说法③，序列呈周期性，分，，三种情况讨论即可． 【详解】根据题意可知，其中为正整数，且． 当，时， 因为，所以． 同理可求得，，． 所以． 所以①正确． 根据题意可知，． 因为，可得，变形得． 当时，． 当时，． 所以②错误． 根据题意可知 ，，，，，，． 上述序列具有周期性，周期为，前项中完整周期数：． 当时，，常数项为676． 当时， ，常数项为675． 当，则， ，常数项为675． 综上所述，常数项为或． 所以③正确． 综上，正确个数为． 故选：B 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 清 风 朗 月 清 清清 清风 清朗 清月 风 风清 风风 风朗 风月 朗 朗清 朗风 朗朗 朗月 月 月清 月风 月朗 月月 共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 13. 若实数、同时满足，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，负整数指数幂，根据已知得，，即可得、的取值范围，由①，②，可得关于的方程，进而可解得，，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵实数、同时满足①， ∴，， ∴，， ∴由得，②， ②①得， 当时，不成立， ∴， ∴， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴． 故答案为：． 14. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____． 【答案】24 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴， ∵点B（0，4），A（2，0）， ∴OB=4，OA=2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBA=90°，AB=BC， ∴∠CBE+∠ABO=90°， ∵∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBE=∠BAO， ∵∠CEB=∠BOA=90°， ∴， ∴OA=BE=2，OB=CE=4， ∴OE=OB+BE=6， ∴C（4，6）， 将点C代入反比例函数解析式可得： k=24， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 15. 如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查结合圆的性质与勾股定理计算． ①利用已知角度关系和三角形内角 和定理，推导出，根据等角对等边得出，结合，直接求出； ②先连接直径所对的圆周角， 利用切线性质和直径的圆周角定理推出角相等，得到，再在中用勾股定理求出，进而得到 的长度． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ②连接，则， ∵切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理， ∴． 故答案为：． 16. 一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是______．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义的含义，整式的加减运算，二元一次方程的正整数解的应用，由是“长久数”，最小的“长久数”可得，，再进一步可得，由题意可得；且是完全平方数，，结合M最大，可得，进一步求解可得答案. 【详解】解：∵是“长久数”， ∴，， ∵“长久数”要最小， ∴，， ∴， ∴，， ∴最小的“长久数”是； ∵等于M的前两位数字之和， ∴， ∵“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数， ∴， ∴ ， ∴ ； ∵，，，， ∴， 此时最大的完全平方数为， ∴ ， ∵最大，且， ∴， ∴当时，，舍去， 当时，，舍去， ∴不符合题意舍去， 当时，而， ∴，即， ∴当时，，舍去， 当时，， ∴， ∴，， ∴的最大值为：. 故答案为：， 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它所有的整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，它所有的整数解的和为． 【解析】 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的整数解，解此题的关键在于熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，在解集中找出整数解，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组：， 解不等式①得 ， 解不等式②得， 不等式组的解集为：， 它所有的整数解为：， 它所有的整数解的和为：． 18. 如图，在矩形中，平分交于点F，连接． （1）尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证，他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空： 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵_____________________ ∴ ∴ ∴_____________________ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴______________________ ∴ 在和中 ∴ ∴． 【答案】（1）如图： （2）证明：四边形是矩形 ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法画图； （2）根据证明三角形全等，再根据全等的性质证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程中书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的混合运算以及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据整式和分式的混合运算法则展开计算，再把化简后的x的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴当时，原式． 20. 为了了解学生掌握环境保护知识的情况，进一步增强学生绿色文明意识、生态保护意识，号召学生积极参与到环境保护的行动中来，某校举行了“保护环境，人人有责”的环保知识大赛．从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行整理、描述和分析．（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩为：． 八年级学生成绩在C组中的数据是：． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 七年级 23.4 25 c 八年级 23.4 b 28 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生的环保知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有1000人，八年级有800人参加了此次环保知识大赛活动，估计两个年级参加该活动的成绩不低于20分的人数是多少？ 【答案】（1）40、23.5、28 （2） 七年级成绩更好，理由如下： 因为七、八年级成绩的平均数相等，而七年级成绩的中位数大于八年级， 所以七年级成绩的高分人数多于八年级， 所以七年级成绩更好； （3）1310人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据八年级在D组人数可求出“D组”所占的百分比，即可求出a的值，根据中位数、众数的意义可求出b、c的值； （2）通过中位数进行分析得出答案； （3）分别求出七、八年级参加该活动的成绩不低于20分的比率，进而根据七、八年级的人数，再求出两个年级参加该活动的成绩不低于20分的人数． 【小问1详解】 解：七年级成绩的众数， 八年级成绩位于A、B组的人数为（人）， 所以八年级成绩的中位数， ∵D组人数为（人）， ∴，即； 故答案为：40、23.5、28； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级参加该活动的成绩不低于20分的人数是1310人． 21. 某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯，每杯成本10元、售价15元．因新年人们对咖啡的需求增加，咖啡豆售价随之上涨，影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量．2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元． （1）2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元？ （2）2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了，2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了，且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的，求的值． 【答案】（1）2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，列出一元一次方程求解即可； （2）利用总利润等于单杯的利润销售量，列出关于a的一元二次方程求解，并取符合实际的值即可． 【小问1详解】 解：设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据题意得： 解得：， 答：2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：的值为． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）； （2） 如图所示函数图象即为所求 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，勾股定理，画函数图象得到，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用勾股定理可得，则可得到，由平行线的性质可得，再解求出和的长，进而确定点P在和上的运动时长，再分点P在和上两种情况分别求出，即可得到，根据题意可得的长，再利用三角形面积公式可得的长，据此可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）求出的交点横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，， ∴当时，点P在线段上运动，当时，点P在线段上运动， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图2所示，当时，则此时有， ∴， ∴； ∵动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立得：，解得（已检验）或（舍去）， 联立得，解得（已检验）或（舍去）， ∴由函数图象可知当时x的取值范围为． 23. 因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） （1）求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； （2）已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）商店B与学校C之间的距离为 （2）小学先到达学校C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人回到学校所用时间，进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，由题意，， 在中，，； 在中，，； 答：商店B与学校C之间的距离为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴，， 作于点，由题意，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴小数回到学校所用时间为：； 小学回到学校所用时间为：； ∵， ∴小学先到达学校C． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求出点P的坐标及线段的最大值，并求出的最小值； （3）如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物线交线段于点N，点M是新抛物线上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 【答案】（1） （2），， （3），过程如下： 由题意，平移后的抛物线的解析式为：， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 作轴，作，且，作，且，连接， 则：轴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴点在射线上， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 作过点作平行于，交轴于点，则， 由图可知，射线 与新抛物线没有交点，故在轴下方不存在点使； 故 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，作，且，作，且，连接，推出，进而得到点在射线上，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，二次函数求最值，二次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 25. 如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2025-2026学年上期初三第四学月质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形在，左视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点O为位似中心，若，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖． A. 81 B. 91 C. 96 D. 187 8. 如图，已知四边形是的内接四边形，且，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 一列数（n是正整数，其中，均为非零数）满足规律：从第二个数起，每一数都等于与它相邻两数之积，如下列说法： ①若，则； ②若，则； ③已知，若前3个数中任意一个为1，则M化简后的常数项为675或676． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 13. 若实数、同时满足，则________． 14. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____． 15. 如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则________，________． 16. 一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是______．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是______． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它所有的整数解的和． 18. 如图，在矩形中，平分交于点F，连接． （1）尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证，他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空： 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵_____________________ ∴ ∴ ∴_____________________ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴______________________ ∴ 在和中 ∴ ∴． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程中书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了了解学生掌握环境保护知识的情况，进一步增强学生绿色文明意识、生态保护意识，号召学生积极参与到环境保护的行动中来，某校举行了“保护环境，人人有责”的环保知识大赛．从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行整理、描述和分析．（满分30分，成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩为：． 八年级学生成绩在C组中的数据是：． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 七年级 23.4 25 c 八年级 23.4 b 28 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生的环保知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有1000人，八年级有800人参加了此次环保知识大赛活动，估计两个年级参加该活动的成绩不低于20分的人数是多少？ 21. 某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯，每杯成本10元、售价15元．因新年人们对咖啡的需求增加，咖啡豆售价随之上涨，影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量．2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元． （1）2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元？ （2）2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了，2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了，且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的，求的值． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） （1）求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； （2）已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求出点P的坐标及线段的最大值，并求出的最小值； （3）如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物线交线段于点N，点M是新抛物线上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 25. 如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $