2025-2026学年湘教版八年级数学上册期末冲刺试卷（湖南省专用）

保密★启用前 2025—2026学年八年级数学上册期末冲刺试卷（湖南专用） （测试范围：八年级上册湘教版2024，第1-5章） （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是假命题的是（    ） A．无理数包括正无理数，0，负无理数 B．同位角相等，两直线平行 C．所有的实数都可用数轴上的点表示 D．两点之间，线段最短 5．如图，在中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 7．如图，在长方形中，，，点是线段上的一个动点，点是点关于直线的对称点，在点的运动过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 8．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24分） 11．如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 12．把多项式分解因式的结果是 ． 13．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 14．如图，厘米，，点M在线段上以3厘米/秒的速度自点C向B运动，同时，点N在射线上以厘米/秒的速度自点C向Q运动，它们运动的时间为t秒（当点M运动停止时，点N也随之停止）．当点M，N运动到某处时，在射线上取一点A，连接，，使得与全等，则的长度为 厘米． 15．比较大小： （填“”“”或“”）． 16．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 17．为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 ． 18．如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 ．（用含m、n的式子表示） 三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程） 19．计算： (1) (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．解方程： (1) (2) 22．对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 23．如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 25．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款吉祥物每个的售价． (2)为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 26．已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2025—2026学年八年级数学上册期末冲刺试卷（湖南专用） （测试范围：八年级上册湘教版2024，第1-5章） （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A C A B D B B 1．D 本题考查了分式，分式的定义是分母中含有字母的式子．选项A、B、C的分母均为常数，不含字母，因此不是分式；选项D的分母含有字母a，因此是分式． 解：选项A：分母2025为常数，不含字母； 选项B：分母π为常数，不含字母；   选项C：分母3为常数，不含字母；   选项D：分母a为字母，含有字母，   故选：D． 2．D 本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． ∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 3．B 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数． 解：， 选故：B． 4．A 该题考查了命题，无理数的定义，平行线的判定，实数与数轴，两点之间，线段最短，根据相关定义解答即可． 解：∵无理数是无限不循环小数，包括正无理数和负无理数，但0是有理数，∴A是假命题；   ∵同位角相等，两直线平行，是平行线判定定理，∴B为真命题；   ∵实数与数轴上的点一一对应，∴C是真命题；   ∵两点之间线段最短是几何公理，∴D是真命题． 故选：A． 5．C 本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 解：∵，是边上的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 6．A 本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 7．B 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的定义，由轴对称的性质得，进而由等腰三角形的定义可得是等腰三角形有两种情况：和，据此即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：由轴对称的性质得，， ∵， ∴是等腰三角形有两种情况：和， ∴使为等腰三角形的点的位置共有个， 故选：． 8．D 本题考查了二次根式的运算，由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的另一边长为， ∵， ∴剪下的正方形的最大面积是， 故选：． 9．B 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 10．B 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可知以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积． 解：如下图所示，过点作， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 同理可得：，， 是直角三角形， ， ， . 故选：B． 11．15 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12． 本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 解：， 故答案为：． 13．或/12或6 本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 14．5或 本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可； 解：由题意可得：，， ①，即，， 即，， 解得：， ∴； ②，即，， 即，， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为5或厘米， 故答案为：5或； 15． 本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 16． 本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 17．155763 本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 18． 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出． 解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图； 平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，则， ∴． 故答案为：． 19．(1) (2)1 本题考查二次根式的混合运算： （1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． （1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 20．， 本题考查分式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再代值计算即可． 解： ． 当时，原式． 21．(1) (2) 本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 整理得， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的解； （2）解：， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 22．(1)② (2)见解析 (3) 本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． （1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 23．(1)证明见解析 (2) 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． （1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 24．(1)见解析 (2)，见解析 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． （1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 25．(1)每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； (2)李老师最多可购买2个A款吉祥物； 本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个，根据总价不超过240元，列出一元一次不等式求解即可． （1）解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元， 根据题意，得， 解得．经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； （2）解：设李老师购买A款吉祥物m个，则购买B款吉祥物个， 根据题意，得， 解得， 因为购买A款吉祥物的个数m为非负整数，所以m的最大值为2， 答：李老师最多可购买2个A款吉祥物． 26．(1) (2)，证明见解析 (3)的长为10或2 （1）根据等边三角形的性质得到、和，进而证得，从而得到； （2）根据等边三角形的性质及平行线的性质，证得为等边三角形，进而证得，从而得到； （3）分两种情况讨论：当点在线段的延长线上或点在线段上时，作交于点，通过证得，进而得出，从而求解即可． （1）解：是等边三角形，点为中点， 、、， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 是等边三角形，， ， ， 为等边三角形， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的长为10或2，理由如下： 当点在线段的延长线上时，作交于点，如图： 同（2）知，为等边三角形， 、， 点为中点， 、， ， ， ， 、， 、， 在和中， ， ， ； 当点在线段的上时，作交于点，如图： 同理可证明、， ， 综上所述，的长为10或2． 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $