精品解析：安徽省池州市东至县部分校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

东至县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷 数 学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A. y是x的二次函数 B. 二次项系数是﹣10 C. 一次项是100 D. 常数项是20000 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数（为常数，且），给出如下结论： 函数图象一定经过第二、三、四象限； 函数图象一定不经过第一象限； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 4. 弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点A与刻度尺上的0刻度重合，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，①；②；③；④．则下列结论正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 7. 如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（ ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 12. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 13. 如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα=_______． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，1）和（-1，6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 16. 如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AC=9． （1）试说明：△ABD∽△ACB； （2）求线段CD的长． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知：由函数的图象知道，当时，，当时，，所以方程有一个根在之间． （1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在之间，求的取值范围． 18. 如图，，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 如图，在矩形中，，E为边上一点，沿将折叠，使点正好落在边上的点处，求的值． 20. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 21. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，已知正方形的边长是2，点P沿运动，到达点D停止． （1）连接，设点运动的距离为x，请用x表示的面积y（直接写出结果）； （2）作于点E． ①如图2，点P在线段上，将沿翻折得到，连接，求的度数； ②连接，若是等腰三角形，则 直接写出结果． 23. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=∠PBA．求点P的坐标 （3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东至县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级12月月考试卷 数 学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A. y是x的二次函数 B. 二次项系数是﹣10 C. 一次项是100 D. 常数项是20000 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 【详解】∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 3. 已知二次函数（为常数，且），给出如下结论： 函数图象一定经过第二、三、四象限； 函数图象一定不经过第一象限； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 【详解】由可知， ∵， ∴开口向下，与轴交点在负半轴， ∵对称轴为直线， ∴顶点在第二或第三象限， 故说法错误，说法正确， 当时，随的增大而增大或减小，此说法错误； 当时，随的增大而减小，此说法正确； 故正确， 故选：． 4. 弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用．根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式，利用销售这种玩偶每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式． 【详解】解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 根据题意得： 故选：C 5. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点A与刻度尺上的0刻度重合，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴两点间的距离，平行线分线段成比例定理等知识，根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理列方程求解即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：设点在数轴上表示的数为， ∵点在数轴上表示的数是，图中的两条线段相互平行， 即 解得： ∴． 故选：D ． 6. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，①；②；③；④．则下列结论正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质得出 由折叠的性质得，，， ∴，故①正确； 由折叠的性质得，，， ∴ 在中，，设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴， 同理在中，，， 由得， ∴， ∴， ∴与不相似，故②不正确； ∵，， ∴，即，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确． 正确的有①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 7. 如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（ ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，，证明，得出，求出，结合题意可得垂直平分，，即可判断③；证明为的中位线，即可判断①；证明，即可判断④；由三角形内角和定理并结合三角形外角的定义及性质即可判断②；作于，则为等腰直角三角形，求出，再由与中线有关的三角形的面积计算即可判断⑤；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴垂直平分，，故③正确； ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 如图，作于， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8. 如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵与位似，点O为位似中心，且， ∴， ∵的面积为16， ∴的面积是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB． 【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3． ∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴sin∠ACD＝sin∠B． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中． 10. 如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 12. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 13. 如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα=_______． 【答案】0.8 【解析】 【详解】试题分析：已知点P的坐标（3，4），就是已知直角三角形的两直角边的长3与4，根据勾股定理就可以求出OP的长5．根据三角函数的定义求sina=． 考点：解直角三角形 14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴∠A=∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF=∠A， ∴∠EDF=∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°， ∴∠CDE=∠BFD． 又∵AE=DE=3， ∴CE=4-3=1， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE= ； 故答案是：． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，1）和（-1，6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）y=x2-4x+1；（2）顶点坐标是（2，-3），对称轴是x=2． 【解析】 【分析】（1）根据题意，把已知点代入函数的解析式，构成方程组，解方程组即可； （2）利用配方法得到函数的顶点式，由此得到顶点坐标和对称轴. 【详解】（1）由题意得，解这个方程组得， 所以所求二次函数的解析式是y=x2-4x+1； （2）y=x2-4x+1=（x-2）2-3，所以顶点坐标是（2，-3），对称轴是x=2． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及利用配方法求函数的顶点式，是基础知识，要熟练掌握． 16. 如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AC=9． （1）试说明：△ABD∽△ACB； （2）求线段CD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）CD=5. 【解析】 【分析】（1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，求出所求即可． 【详解】（1）证明： ∵∠A=∠A，∠ABD=∠C， ∴△ABD∽△ACB； （2）∵△ABD∽△ACB， ∴AB：AC=AD：AB， 即6：9=AD：6， 解得：AD=4， ∴CD=5． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知：由函数的图象知道，当时，，当时，，所以方程有一个根在之间． （1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在之间，求的取值范围． 【答案】（1）方程的另一个根在2和3之间 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用． （1）计算和时，的值，确定其所在范围是； （2）根据题意得到，解得即可． 【小问1详解】 利用函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以方程的另一个根在2和3之间； 【小问2详解】 函数的图象的对称轴为直线， 由题意知且， 解得． 18. 如图，，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （）利用已知条件推导出，再根据相似三角形的性质即可得到； （）先证明，得到，把这种关系代入到可得到，再通过可算出，解题的关键从图形中找到相似三角形并利用它的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在矩形中，，E为边上一点，沿将折叠，使点正好落在边上的点处，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，求正切值，根据矩形的性质和折叠的性质得到是解题的关键．根据矩形和折叠的性质可得，，进而得到，然后根据勾股定理求得，即可求得的正切值，进而求得答案． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， ∵沿将折叠，使点正好落在边上的点处， ∴，， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 20. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）直吊臂的长为10米 （2）上升了5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； 【小问2详解】 解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 21. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【解析】 【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）略 （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 22. 如图，已知正方形的边长是2，点P沿运动，到达点D停止． （1）连接，设点运动的距离为x，请用x表示的面积y（直接写出结果）； （2）作于点E． ①如图2，点P在线段上，将沿翻折得到，连接，求的度数； ②连接，若是等腰三角形，则 直接写出结果． 【答案】（1） （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）分三种情况：点P分别在边上，根据三角形面积公式可得：y与x的关系式子； （2）①如图4，过A作于F，交于G，根据，得，可得；②分三种情况：E与A重合时，；P与C重合时，为对角线的一半，；当时，如图6，根据等腰三角形的性质和三角形全等可得的长，从而得的长． 【小问1详解】 解：分三种情况：①当点P在边上时，如图1，， ； ②当点P在边上时，如图2，， ， ③当点P在边上时，如图3，， ；即； 综上：； 【小问2详解】 解：①如图4，过A作于F，交于G， 由折叠得：， ∵四边形是正方形， ， ， ，即， ， ； ②当P在边上时，如图1，此时E与A重合， ， 当P在边上时，如图5，当时， 过E作于F，交于G，则，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，此时P与C重合； 当点P在边上，如图6，时， 过C作于Q，则， 设，则， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ； 综上所述，的长是2或或． 故答案为：2或或． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 23. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=∠PBA．求点P的坐标 （3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P 或；（3）MN的为定值，定值为5 【解析】 【分析】（1）由函数解析式可确定A(,0），B，再由；列出关于的方程即可求解； （2）作线段BC的垂直平分线交轴于点D，此时DC=DB，构造∠ODB=2∠BCO=∠PBA，将∠BCO=∠PBA条件转化为，然后设P，根据列方程求解即可； （3）由已知可求得，从而可得，进而可得点B、N到直线AM的距离相等，所以∥BN，再证明（ASA）即可得到MN=AB=5． 【详解】解：（1）把代入抛物线，得或， ∵点A在点B的左侧， ∴A(,0），B， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）如图③，作线段BC的垂直平分线交轴于点D，此时DC=DB， ∵DC=DB， ∴∠DCB=∠DBC， ∴∠ODB=∠DCB+∠DBC=2∠BCO， ∵∠BCO=∠PBA， ∴∠PBA=2∠BCO， ∴∠ODB=∠PBA， ∴， 设P，DC=DB=， ∵，， ∴,， ∴， 在中，解得， ∴． ∵， ∴，即，解得， ∴或， ∴点P的坐标为或； （3）MN的为定值，定值为5； ∵，点M到轴的距离为2L， ∴， ∵， ∴， ∵和有同底AM， ∴点B、N到直线AM的距离相等， ∴∥BN， ∴∠MAN=∠ANB，∠AMB=∠MBN，∠ABC=∠MAB， ∵∠ANB=∠MBN， ∴∠MAN=∠AMB， ∵===2，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴MN=AB=5， ∴MN的为定值，定值为5． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用．抓住转化思想，灵活变化求解的思路，第（2）题将半角关系转化为等角求角，第（3）题将等面积得出平行是解题的关键．求点坐标的问题一般是结合方程思想来解题，要认真理清线段之间的关系再进行计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $