山东省德州市武城县二校联考2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题（12月）

《2025-2026学年第一学期第二次教学质量统测九年级数学试题（2025.12）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B B A A D A D 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 2．C 【分析】本题考查中心对称图形，根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项C的图形能够找到一个点，使图形旋转180度，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选C． 3．D 【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位可得，再向上平移3个单位可得， 故选：D 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，然后证明，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】根据题意，求长即可求解． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；根据一元二次方程的解求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点坐标的计算，三角形三边不等式，三角形中位线定理，先计算交点坐标，再确定点B、D、C共线时，就最小，计算即可． 【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点， 时， 解得， ∴，， ∴， ∵D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点， ∴， 根据勾股定理，得 ， ∵E是线段的中点，，O是中点， ∴是三角形的中位线， ∴， 当最小时，取得最小值， 即点B、D、C共线时，最小，此时就最小． 如图，连接交圆于点，    ∴， ∴． 所以线段的最小值为2． 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 9．A 【分析】连接AC，根据题意易得∠ABD=∠ACD=58°，∠ACB=90°，进而问题可求解． 【详解】解：连接AC，如图所示： ∵是的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠ABD=∠ACD=58°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=32°； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆周角，熟练掌握圆周角的相关知识点是解题的关键． 10．D 【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=AH=2，BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤2时，作QD⊥BC于D，如图1；当2＜x≤4时，作QD⊥BC于D，如图2；于是可得0≤x≤2时，函数图象为抛物线的一部分，当2＜x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，即可得到答案． 【详解】解：如图1，作AH⊥BC于H，    ∵AB=AC=4cm， ∴BH=CH ∵∠B=30°， ∴AH=AB=2，BH=AH=2， ∴BC=2BH=4， ∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为2cm/s， ∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需4s， 当0≤x≤2时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=2x，BP=，    在Rt△BPQ中，DQ=BQ=x， ∴y=•x•x=x2． 当2＜x≤4时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=4-2x，BP=x，    在Rt△BDQ中，DQ==（4-2x）， ∴y=（4-2x）=， 综上所述，y= 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 11．/ 【分析】根据面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：根据面积比等于相似比的平方，得：这两个三角形的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中面积比等于相似比的平方是解题的关键． 12．， 【分析】先利用已知正方形的面积求出大小三角形的边长，设出一条直角边，利用勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：大小正方形的面积分别为和4， 大小正方形的边长分别为和2， 设短直角边为，则长直角边为，由勾股定理得： ， 解得，（舍）， ， 故两条直角边分别为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理和一元二次方程的应用，解题关键在于找出各边关系列出方程． 13． 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 此时有， 解得：， 紫砂壶的壶口半径r的长为， 故答案为：． 14．24 【分析】根据阴影部分的面积求出正三角形的高，然后根据正三角形外接圆半径=高可以得出⊙O的半径，再根据正六边形的边长等于外接圆半径，可求出周长． 【详解】解：连接DO并延长，交BF于点G． ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴阴影部分为正三角形， 设正三角形边长是a，则，， 则阴影部分面积是， 即：， 解得， 则， 因而半径， ∴ ∴正六边形的周长． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了正多边形的计算，得出阴影部分三角形的边长是解题关键． 15．②④/④② 【分析】根据二次函数图像和系数的关系即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知： ①抛物线开口向上，故；对称轴为直线，即，故；抛物线与轴的交点分别在原点两侧，则，故，则，故①错误； ②将代入抛物线解析式可得：，整理得：，故②正确； ③根据不等式的性质将其整理为，因为抛物线开口向上，故当时，抛物线有最小值，为，即抛物线上任意一点的纵坐标均，即，故③错误； ④对称轴为直线，即，当时，，即，故，故④正确； ⑤对称轴为直线，即，故，故⑤错误； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，灵活的应用图象中给出的数据，把握住特殊点的作用是这类题的解题关键点． 16．(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， ， ，， ，． （2）解：， ， ， ，， ． 17．（1）见解析;(2) ，，；(3) 【分析】（1）利用位似图形的性质得出变化后图形即可； （2）利用已知图形得出对应点坐标； （3）利用各点变化规律，进而得出答案． 【详解】 (1)如图所示：四边形TA′B′C′即为所求； (2)A′(3,5),B′(5,5),C′(7,3)； 故答案为(3,5),(5,5),(7,3)； (3)在(1)中,∵A(2,3),B(3,3),C(4,2)， A′(2×2−1=3,2×3−1=5),B′(2×3−1=5,2×3−1=5),C′(2×4−1=7,2×2−1=3)； ∴D(a,b)为线段AC上任一点， 则变化后点D的对应点D′的坐标为(2a−1,2b−1). 故答案为(2a−1,2b−1). 18．(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． （1）先得出点A，点C，点E的坐标，再待定系数法求出解析式即可； （2）求出当时，得出y的值，然后计算棚顶比较即可得到答案． 【详解】（1）解： 由题意知，，，， 设抛物线解析式为， 把A、B、E代入解析式得 ， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）解：此船能通过，理由： 船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米 则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：， 当时，代入， 解， ∴此船能通过桥洞． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是边上的高，得，再因为另外一组角是公共角，对应相等，即可作答． （2）先根据勾股定理求出的值，再由等面积法求出的值，在中根据勾股定理建立等式，代数计算即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴在中，． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 与相切； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 21．(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，列代数式，中心投影，关键是判定，推出，判定，推出，得到关于的方程． （1）判定，推出，得到，求出； （2）判定，推出，判定，推出，而，得到，求出，得到，求出． 【详解】（1）解：， ， ， ，，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，由旋转的性质得，，故，即可求证； （2）点作交于点，证明，得出＝ ，根据旋转的性质以及等角对等边得出＝ ，等量代换得出＝，证明，得出，由＝，即可得证； （3）由，设，则，则，根据，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接， 是直径， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）证明：过点作交于点， ， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． （3）由旋转的性质得：，， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， 当时，有最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等知识点，难度较大． 23.(14分) (1) 解:把点(3,6)代入. 中，得6=9a-6a+3, ∴a=1 ∴顶点坐标为(1,2) 3 分 (2)解：抛物线的对称轴为x=1. 当a>0时, ∵当0≤x≤3时, y的最大值是 ∴当x=3时, ∴把(3, )代入 3中，得 当a<0 时, ∵当0≤x≤3 时, y的最大值是 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 ∴当x=1时, 综上所述，a的值为 ∴把 代入 中，得 或 9分 (3)解：抛物线的对称轴为x=1 当a>0时, 14 分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第一学期第二次教学质量统测九年级 数学试题（2025.12) 考试范围：21.22.23.24.27章：考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题 卡规定的位置上。 2.第丨卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.第11卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，不 能写在试卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、 胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效， 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤。 第丨卷（选择题共40分） 一、单选题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把 正确的选项选出来.每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分. 1.一元二次方程2x2-5x-3=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（) A.2,5,3B.5,2,3 C.-5,2,-3D.2,-5,-3 2.巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了 更多年轻人的身影.下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是() 3.抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析 试卷第1 式为() A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x+1)2-3 c.y=2(x-1)2-3 D.y=2(x-1)2+3 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D.若AC=3,AB=4,则 BD的长为() A B D A.2 B. 20 15 D. 5 5 C. 4 5.道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料.图 中的管道中心线AB的长为（单位：m)（） 20 页，共5页 A.40x 日.80m G.1600x 3200元 O D. 3 3 3 3 6.已知x=m是一元二次方程x2+3x-7=0的一个根，则+31-5的值为() B A.2B.12 0.-2 D.-12 1 7.如图，抛物线y= 二x2-1与x轴交于A,B两点，D是以，点C(0,4)为圆心，1为半径 A.32 B.58°0.64°D.16 的圆上的动，点，E是线段AD的中点，连接OE,则线段OE最小值是() 10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm,∠B=30°，点P从点B出发，以√3cm/s的速 度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿B+A→C运动到点 C停止.若△BPQ的面积为y运动时间为×(s),则下列图象中能大致反映y与×之间关 系的是（) A.2 8.3V2 C. 2 D.3 2 8.已知点A(-1,3),B(3,3),若抛物线y=ax2与线段AB只有一个公共点，则a的取 B 值范围是() A0ca≤兮B0as3 o.jsac3 0.sas3 1 9.如图，若AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，∠ABD=58,则∠BCD的度数为 () 试卷第2页，共5页 第11卷（非选择题110分） 二、填空题：本大题共5小题，共计20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分。 11.已知两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积之比 为 12.如图为《勾股定理》章前图中的图案，它由四个全等的直角三角形拼合而成.若图中 大、小正方形面积分别为62二和4，则直角三角形两条直角边长分别为」 ICM 2002 Bc面园 13.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图.如图 3,⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A,B两点在⊙O上，直线/过点O,且1⊥AB于点 D,交⊙O于点C.若AB=12,CD=2,则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 B 壶嘴 壶把 壶口 图1 图2 图3 14.如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙0，图中阴影部分的面积为12V5,正六边形的 周长为 试卷第3 E A B 知图，三次函款y=Q+bx+c(a≠0)的图象经过点0)，对称轴为直线 x=-1,下列5个结论：①abc>0:②a+2b+4c=0:③a-b≥m(mL-b):④ 3b+2c>0:⑤2a-b>0,其中正确的结论为 (注：只填写正确结论的序 号) X三一 三、解答题：本大题共8小题，共记90分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演 算步骤 16.(8分)解方程： (1)(x+8)(x+1)=-12 (2)(2x-3)=5(2x-3) 页，共5页 17.(10分)如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为 T(1,1),A(2,3),B(3,3),C(4,2) (1)以点T(1,1)为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放 大后点A,B,C的对应点分别为A',B',C'画出四边形TA'B'C': (2)写出点A',B',C的坐标： A(),B'(),C(): (3)在(1)中，若D(☑，b)为线段AC上任一点，则变化后，点D的对应，点D'的坐标为 (). 18.(10分)被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构 成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代 桥梁.据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下 试卷第4 的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉. 4.6米 1米 B 7.2米 图1 图2 (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标 系（如图2)，求该抛物线的解析式： (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在 河中航行（如图2).水面到棚顶的高度为2.5米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过 桥洞？请说明理由. 19.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. A D B (1)求证：△ACD∽△ABC: (2)若AC=3,BC=4,求BD的长. 页，共5页 20.(12分)如图，在VABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于 D(不与点B,C重合)，连接AD,然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE.如 点D,G,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于，点F.(12分) 图① 0· E D D 图① 图② (1)求证：EF与⊙O相切： (1)求证：CE与⊙O相切. (2)当DB=BF=5时，求阴影部分的面积. (2)如图②，连接DE,与AC相交于点F.求证：点D分线段BC所成的比CD:DB 21.如图，平直的公路旁有一灯杆AB,在灯光下，小明在D处测得自己的影长 与点F分线段DF所成的比DF:FE始终相等. DH=2m,在F处测得自己的影长FG=3m.小明身高1.5m. (3)如图②，连接DE,与AC相交于点F.当△ABC确定时，线段CF的长存在最大 A 值.当AB=3V0,BC=6时，请直接写出CF长的最大值为 23.(14分) E C 已知，二次函数y=ax2-2ax+3(a+0). (1)若该图象过点(3,6)，求函数的顶点坐标： FH D B (1)若测出BD=am,求灯杆AB的长：（用含a的代数式表示） (2)当0≤x≤3时，y的最大值是0≤x≤3，求a的值： (2)若测出H=1m,求灯杆AB的长 (3)当a>0时，若A(my1),B(m+1y2),C(m+3y3)在函数图象上，且y2<y1<y3,求m 的取值范围， 22.(14分)已知：⊙O的内接等腰三角形ABC,AB=AC.在BC边上任取一点 试卷第5页，共5页