江苏省兴化中学、泗洪中学、高邮中学、兴化市楚水实验学校四校联考2025-2026学年高三上学期1月调研测试数学试题

高三数学调研测试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设虚数 ，则 是（     ） A. B. C.2 D.4 2. 设集合 ， 则 （     ） A. B. C. D. 3. 一组数据1，2，3，4的上四分位数是（     ） A. B. C.1 D.3 4.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（     ） A.20 B.60 C.125 D.243 5. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量 ， 在 的投影向量相等，则 的值是（     ） A.0 B...3 6. 某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为 ，10年后的质量为 ，则下列各数中与 最接近的是（     ） A.70% B.65% C.60% D.55% 7. 已知 为双曲线 上一点，若点 到双曲线 的两条渐近线距离之积为4，则双曲线的焦距的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，，则下列结论不正确的是（     ） A. B. 外接圆的半径为 C. 若 ，则该三角形有两解 D. 取值范围为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设函数，则函数（     ） A.最小正周期为 B.最大值为3 C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增 10.已知正四棱锥的所有棱长均为4，以四棱锥的侧面为底面，作一个正四面体（与在平面的异侧），得到一个新的几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（     ） A. B.新几何体六个顶点在同一个球面上 C.平面 D.异面直线与的公垂线段长为 11.已知三次函数有三个不同的零点，，，函数也有三个零点，，，则（     ） A. 若，则且 B. 若，，，，则 C. 若，则对称中心为 D. 设曲线在点处的切线斜率为，若，则的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，，则______ 13. 已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是________。 14. 已知棱长为3的正方体位于平面的同侧，且顶点在平面上，若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是__________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.正方形ABCD是圆柱的轴截面，已知，点是的中点，点为弦的中点。 （1） 求证：平面； （2） 求二面角的余弦值。 16. 记内角，，所对的边分别为，，，已知，。 （1）求； （2）若边边一点，，且，的面积 17.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位。 （1）移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大？ （2）若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求的数学期望与方差。 18. 已知椭圆 的短轴长为 ，一个焦点为。 （1）求椭圆E的方程和离心率； （2）设直线l：与椭圆E交于两点A、B。 ①过点B作直线的垂线，垂足为D，求证：直线AD过定点； ②点P为线段AB的中点，直线OP（O为坐标原点）与椭圆E交于两点M，N，求四边形AMBN的面积取值范围。 19. 设曲线 。 （1）求证：C关于直线对称； （2）求证：C是某个函数的图象； （3）试求所有实数k与m，使得直线在C的上方。 答案 选择题：A D B D C C A C A D A C D BC  填空题： ，  18，   15、（1） 证明： 取AE的中点N，连结DN，FN．     在中，M，N分别是EB，EA的中点，所以，且．     在正方形ABCD中，，且，     又点O₁是CD的中点，所以O₁，且₁D．     所以₁D，且₁D，     所以四边形MNDO₁是平行四边形，                    ………3分     所以O₁．又平面ADE，O₁M⊄平面ADE，     所以O₁平面ADE．                       ………6分 (2)解：因为AB是圆O的直径，E是AB的中点，且，所以，且．     以O为坐标原点，以OE，OB，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示     的空间直角坐标系．     依题意，O（0，0，0），O₁（0， 0，4），B（0，2，0），E（2，0，0），M（1，1，0），     A(0，，0)，D(0，，4)．                    ………7分     所以 ，，．     设是平面O₁MD的法向量，     则 即 取， 得，，     所以是平面O₁MD的一个法向量． ………………………………9分     设是平面O₁ME的法向量，     则 即 取， 得，，     所以是平面O₁ME的一个法向量． ………………………………11分     所以 ，．     设二面角₁的大小为θ，     据图可知， ，， 所以二面角₁的余弦值为。13分 ① …2分 因为，所以为钝角，且，② ①平方得，，所以 代入上式得 …………………5分 所以 …………………7分 （2） 由 （1） 的，所以 …………………9分 在直角中， …………………11分 在中，由正弦定理得 因为 所以 所以，所以 …………………13分 的面积 15分 17.解（1）设随机变量为次移动后的坐标值，可取值为：，，，， ·· ·6分 所以质点最终所在的位置的坐标为的概率最大…………………7分 （2）设随机变量为次移动后的坐标值，质点次移动中向右移动的次数为， 则 …………………9分 …………………11分 则的期望为： 则的方差为； …14分 所以移动 次后，质点最终所在位置的坐标的数学期望为，方差为……………15分 18.解（1） 短轴长为 焦点为， 在椭圆中 椭圆方程为 ，离心率为 A分 （2） ①设 、、 其中 ，，，且 分 直线 根据对称性得，直线 过定点在 轴上 令 ，得 8分 直线 横过定点 .9分 ②设 不妨设 ，且 ， 关于原点对称 由①得，弦长 ， 10分 直线 ，与椭圆方程联立得 ， .12分 设 ， 到直线 的距离为 ，， ， 分布在直线 两侧 所以四边形 面积取值范围为 ..17分 19. 解 （1） 证明：任取C上的点， 有， 则，2分 这表明点 关于直线的对称点仍在上， 因此关于直线对称；4分 （2） 证明：任取上的点 ， 则有，即。考虑相应三次函数，则是的零点。 下面证明：是的唯一零点…… 6分 ①当时，在上单调递增且值域为，故有且只有一个零点；……8分 ②当时，。令，得，其中 。 故在与内单调递增，在内单调递减。 于是 因此有且只有一个零点。 综上，是的唯一零点。 所以根据函数的定义，是某个函数的图像；………………………………………10分 （3） 直线在的上方的充要条件是对上的任一点，都有 ， 再由（2）得， ………………………………………………………………12分 即。 由的任意性，得 得系数，故 。………… ··14分 于是上述不等式化为。 再由的任意性，得，即。 当时，（*）显然恒成立； 当时，（*） 对应得判别式 故（*）仍恒成立。 所以，的取值范围是。…… 17分 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学调研测试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设虚数iz=1+i,则|z是() A.√2 B.2√2 C.2 D.4 2.设集合A={x1log2x<1},B={×|-1<×≤2则AUB=() A.（-0,2) B.(-∞，2] C.(0,2) D.(-1,2] 3.一组数据1,2,3,4的上四分位数是( A c.1 D.3 4.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的 种数是() A.20 B.60 C.125 D.243 5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(a,1),B(1,-b),C(2,2), 若向量OA,OB在0C的投影向量相 等，则a+b的值是( A.0 B.-2 C.-2 D.3 6.某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为mo,10年后的质量为m',则下列各数 中与风最接近的是() mo A.70% B.65% C.60% D.55% 7已知P为双值戏C:苦茶=e>Q6>0上-度。者点P到双线c的两来清面战面高之限为 则双曲线的焦距的取值范围是() A.[8,+∞) B.[4,+∞） C.(0,8] D.(0,4] 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别a,b,c,sinA=2 sinBsinC,则下列结论不正确的是（) AA≤号 B.△ABC外接圆的半径为bc/a C若分2，则该三角形有两解 +名取位范用为[22可] D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 第1页共4页 9.设函数f(x)=sin2x+2cosx,则函数fx)（) A.最小正周期为2元 B.最大值为3 C.图象关于直线下=3弧对称 D.在区间0,2上单调递增 10.已知正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为4，以四棱锥的侧面ABC为底面，作一个正四面体 F-ABC(D与F在平面ABC的异侧)，得到一个新的几何体，则下列关于该新几何体的说法正 确的是() A.AF⊥DE B.新几何体六个顶点在同一个球面上 C.AF∥平面BCDE D,异面直线BF与DE的公垂线段长为46 11.已知三次函数f(x)=ax3+br2+cx+d有三个不同的零点，x2,3(1<x2<x3),函数g(x)=f(x)-1 也有三个零点，2,43（乌<2<马），则( A.若a>0,则x1<且x3>43 B。若，3为2x2=名+为，则2=-0 C.若f(x)=x3-3x2+2,则g(x)对称中心为(1，-1) D.设曲线y=(x)在点(x,f(x1)处的切线斜率为k=1,2,3),若k2=-2,则k+4k,的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2a引a+片则n2a 13.已知M(x1,y1),N(x2,y2)是圆( ):(x-3)}2t(0-42=4上的两个不同的点，若MW=22,则 x++2+y2的最大值是 14.已知棱长为3的正方体ABCD-A1BCD1位于平面a的同侧，且顶点A在平面a上，若顶点B,D 到平面a的距离分别为√2，√5，则顶点A到平面α的距离是 第2页共4页 文发 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.正方形ABCD是圆柱O1O的轴截面，已知AB=4,点E是B的中点，点M为弦BE的中点. (1)求证：O1M/平面ADE: (2)求二面角D-0M-E的余弦值. 16.记△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3b,c0sB+5c0sC=0. (1)求c0sC; (2)若D边AB边一点，BC⊥CD,且CD=√2I,求△ABC的面积 17.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位. (1)移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大？ (2)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为X,求X的数学期望与方差. -6-5-4-3-2-101234567.8 第3页共4页 18.已知椭圆：+y2 a产+=1(a>b>0)的短轴长为3W2,一个焦点为F(2,0). (1)求椭圆E的方程和离心率： (2)设直线1：kx-y+1=0与椭圆E交于两点A、B. ①过点B作直线y=2的垂线，垂足为D,求证：直线AD过定点： ②点P为线段AB的中点，直线OP(O为坐标原点)与椭圆E交于两点M,N,求四边形AMBN 的面积取值范围. 19.设曲线C:x3-y-y3=2. (1)求证：C关于直线y=-x对称； (2)求证：C是某个函数的图象； (3)试求所有实数k与m,使得直线y=kx+m在C的上方. 第4页共4。页 答案 ADBDCCAC AD ACD BC g185 15、(1)证明：取AE的中点N,连结DN,FN. 在△AEB中，M,N分别是EB,EA的中点， 所以MN∥AB,且AB=2MN. 在正方形ABCD中，AB∥CD,且AB=CD, 又点O1是CD的中点，所以OD∥AB,且AB=2OD. 所以MN∥O1D,且MN=OD, 所以四边形MNDO是平行四边形， ……3分 所以OM∥DN.又DNC平面ADE,OM☑平面ADE, 所以O1M∥平面ADE. ………………6分 (2)解：因为AB是圆O的直径，E是AB的中点，且AB=4,所以OE⊥OB,且OE=OA=OB=2. 以0为坐标原点，以0E,OB,O01所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系0-xyz 依题意，0(0,0,0)，0(0,0,4)，B(0,2,0),E(2,0,0),M(1,1,0), A(0,-2,0),D(0,-2,4). 7分 所以2M=(1,1,-4),D0=(0,2,0),0,E=(2,0,-4 设%=(x,片·Z)是平面01MD的法向量， 则0M=0,即+y-4名=0取x1=4,得y=0,21=1, 4·D0=0,2y=0, 所以乃=(4,0,1)是平面01MD的一个法向量.…9分 设乃2=(x2,2,2)是平面01ME的法向量， 则07=0即+片-4=0，取22，得y2=2,22=l, h·0E=0,2x-4%2=0, 所以2=(2,2，)是平面0ME的一个法向量.… 11分 所以cos(i,n2)= 3·九 行 4x2+0x2+1x1=3▣ V42+02+12.√22+22+1217 设二面角D-01M-E的大小为B, 据图可知， os6=os()-3, 17 所以二面角D-O1M-E的余弦值为W万 13分 17 ① …2分 因为c0sB+5c0sC=0,所以C为钝角，且oog2B=25cos2C,② ①平方得，sin2C=9in2B,所以8+cos2C=9cos2B 代人上式得coxC=员 5分 所以cosC= 万 ………7分 14 ②由①的sB=-5osC-55,所以如8= …………9分 14 14 在直角△BCD中，a=BDcos B=5万 …11分 在△ACD中，由正弦定理得_AD sin∠CD sin∠ADC 因为sin乙4cD=stm(乙ACB-=-eos乙aCs月 14 sin LADC-sin(B+)0sB 14 所以A0-4c= 所以BD=3b-6=4b=14,所以b-5 …3分 5 5 △A8c作面y=acn8×5万x15x区-255 15分 14 4 17.解(1)设随机变量X为4次移动后的坐标值，X可取值为： -4,-2,0,2,4 rx-0=-名 x==c月 PX-0)-C 旧 Pox-2-c8-日 .6分 所以质点最终所在的位置的坐标为0的概率最大 .7分 (2)设随机变量X为n次移动后的坐标值，质点n次移动中向右移动的次数为Y, 则-Ba,》 9分 X=Y-（n-Y)=2Y-n11分 则x的期望为：E(X)=E(2Y-n)=2E(Y)-n=n-n=0 则x的方卷为：B心)=D0-川=20们=x得-}。 …14分 所以移动n次后，质点最终所在位置的坐标x的数学期望为0，方差为n15分 18.解(1)短轴长为2√2焦点为(-2,0)b=√2，c=2 在椭圆中a2=b2+c2=6 椭圆方程大名。+之1，离心率为巴品6 A分 463 (2)①设.Ax1.y小、B(x2,y2.D6x2.3) e-y+1-0 若+516以++6-30 其中5+x2=一 6k 3R+小x5=3k2+△=12(6k+0,且2c52=名+名6分 3 直线AD:y=-3x-x)+3 x1一62 根据对称性得，直线AD过定点在y轴上 y=-2(←x)+2=25-+)+2x-3x x1-x2 X-X1 令x=0,得 8分 -名+233头 =-五-×3+2x=2 X1-x2 -x2 ∴直线AD横过定点{0,32) 9分 ②设M(a,yhN(xy)不妨设x4>0,且M,N关于原点对称 由@得，弦长AB=+kk-=+,店=+F25y6打 3k2+11 3k2+1 2 1 +2=kx+x)+2三32+P32+1327 10分 直线CP:y=- 1 3k1 与箱圆方程联立得B+✉8X,戈大 .12分 设M,N到直线AB的距离为4，山，4-色一为4=s-+ Vk2+1 Vk2+1 M,N分布在直线AB两侧 d+4,=区-当++色，-y+ √e+12+1 Vk2+1 √k2+1 ……15分 2 -,+4+,,-4+_2,+23+2」 2+12+1吸2+13k2+ si-. V+e25v6R+1.20k+n. 7 2 3k2+13k2+1 46+1.18*=246-48-3双+244倒) 24 Γ3k23k2+】3k2+1 所以四边形AMBN面积取值范围为[2√6,4W) .17分 19.解(1)证明：任取C上的点P(x0,yo).有x03-o%-y03a1, 则(-o)’-(--x0)-(-x3=1, 2分 这表明点P关于直线y=-x的对称点.P(-。-)仍在C上， 因此C关于直线y=-x对称： 4分 (2)证明：任取c上的点P(xo,yo),则有3-。-3=1.即+x。+0-x)=0.考虑相应三 次函数fy)=y+y+(I-x),则yo是(y)的零点. 下面证明：yo是f(y)的唯一零点… 6分 ①当xo≥0时，f(y)在R上单调递增且值域为R,故(y)有且只有一个零点；…8分 @当<0时，了0)=3y2+0:令f0)=0,得=士1.其中n=号 故f(y)在(-∞，-y)与((y1,+∞)内单调递增，在(y1,y)内单调递减. f(0y)小=f0)=y3+xy+1-x)=y3+(-3y)y+(1-(-3y2)3)=27y-2y3+1 于是 2n+0 因此(y)有且只有一个零点. 综上，yo是f(y)的唯一零点. 所以根据函数的定义，C是某个函数的图像；……I0分 (3)直线y=kx+m在C的上方的充要条件是对C上的任一点P(x,y),都有kx+m>y,再由(2)， 得.f(kX+m)>0,…12分 即K3-1)x2+k(3an+I)x2+m3am+1)x+(m3+1)>0 由x的任意性，得x3得系数3-1=0，故k=1.… ··14分 于是上述不等式化为(3m+1)x2+m(3m+1)+(m3+1)>0(*). 再由x的任意性，得3m+1≥0，即m之- 当m=-。时，()显然恒成立： 3 当m>-时，() 对应得判别式1=(m(3m+10)》2-43m+(m2+1)=(3m+1m+1m=1)2+1)+2)<0 故(*)仍恒成立. 所以k1,m的取值范围是（写o小 17分