精品解析：湖南省邵阳市新邵广益世才学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023学年初三10月月考（数学）试卷 （测试范围：反比例函数、一元二次方程 时间：120分钟，满分120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 已知一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，3 B. 1， C. ，3 D. ， 2. 用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是（ ） A. x-7=0,6x-1=0 B. 6x=0,x-7=0 C. 6x+1=0,x-7=0 D. 6x=7,x-7=7-x 3. 已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. 3 5. 一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程2x2+4x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则实数c可能的取值为（　　） A. ﹣5 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣8 7. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数的图象与性质，下列结论中不正确的是（ ） A. 该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 当时，该函数的图象在第二、四象限 C. 该函数的图象与直线有且只有两个交点 D. 当时，函数值随的增大而减小 9. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点在第一象限，轴，轴且对角线的交点与原点重合．在边从小于到大于的变化过程中，若矩形的周长始终保持不变，则经过动点的反比例函数中的值的变化情况是（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 不变 D. 一直增大 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 12. 一元二次方程的解是________． 13. 已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m+n＝4，试写出一个满足条件的反比例函数的解析式_____． 14. 某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程_____． 15. 已知x=1是关于一元二次方程的一个根，则的值是__________． 16. 已知反比例函数图像上有一点，请写出这个反比例函数的函数表达式：______． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____. 18. 如图,A,B两点在反比例函数的图象上,C、D两点在反比例函数的图象上,AC⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点F,AC=2,BD=3,EF= ,则k −k=___. 三、解答题（19--25题，每题8分，26题10分，共66分） 19. 求解下列一元二次方程． （1） （2） 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于第四象限的一点，求这个反比例函数的解析式． 21. 码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图像如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）装载完毕后，由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少卸货多少吨？ 22. 如图，，是一次函数图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 23. 已知反比例函数（）的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时自变量x的取值范围． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）求与的值．（用含k的式子表示） （3）①若，，可由结合，求解k的取值范围．请求出k的取值范围． ②，，求k的取值范围． 25. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 26. 阅读材料：各类方程的解法： 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年初三10月月考（数学）试卷 （测试范围：反比例函数、一元二次方程 时间：120分钟，满分120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 已知一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，3 B. 1， C. ，3 D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】找出一元二次方程的一次项系数，常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，3， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是（ ） A. x-7=0,6x-1=0 B. 6x=0,x-7=0 C. 6x+1=0,x-7=0 D. 6x=7,x-7=7-x 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再提公因式就可以求出结论. 【详解】移项，得 6x(x-7)+(x-7)=0， 提公因式，得，（6x+1）（x−7）＝0， ∴6x+1＝0或x−7＝0 故选C. 【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式及“十字”相乘法分解因式的方法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用分解因式的方法是关键． 3. 已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 则一次函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 4. 设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若，是一元二次方程的两根，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 5. 一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数图象经过的象限得出的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】A、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在一、三象限，故本选项符合题意； B、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在二、四象限，故本选项不符合题意； C、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在一、三象限，故本选项不符合题意； D、由一次函数图象得，所以，所以反比例函数图象应在一、三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程2x2+4x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则实数c可能的取值为（　　） A. ﹣5 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣8 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况，有两个不相等的实根，即△＞0． 【详解】解：依题意，关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，即 △＝b2﹣4ac＝42+8c＞0，得c＞﹣2 根据选项，只有C选项符合， 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0  时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 7. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 8. 关于反比例函数的图象与性质，下列结论中不正确的是（ ） A. 该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 当时，该函数的图象在第二、四象限 C. 该函数的图象与直线有且只有两个交点 D. 当时，函数值随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可． 【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确，故不符合要求； 当时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求； 联立方程得，，即，整理得，， ∴， ∴该函数的图象与直线有且只有两个交点，C正确，故不符合要求； 当时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值随的增大而减小，D错误，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数判断函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，其中， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， ∵在反比例函数上， ∴在第二象限， 又∵， ∴， 又∵在第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当，在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大． 10. 如图，矩形的顶点在第一象限，轴，轴且对角线的交点与原点重合．在边从小于到大于的变化过程中，若矩形的周长始终保持不变，则经过动点的反比例函数中的值的变化情况是（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 不变 D. 一直增大 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形中，，，由矩形的周长始终保持不变可得为定值，由矩形对角线的交点与原点重合可得，再转化为关于a的二次函数，利用二次函数图象与性质，的值的变化情况即可确定，从而得到答案． 【详解】解：设矩形中，，， 矩形的周长始终保持不变， 为定值， 为定值， 设（定值），则， 矩形对角线的交点与原点重合， ， 而，其中，且， ∴当时，k随a的增大而增大；当时，k随a的增大而减小； 当时，最大， 在边从小于到大于的变化过程中，的值先增大后减小， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义及不等式的性质，二次函数的图象与性质，有一定难度，根据题意得出，转化为二次函数图象与性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得到答案． 【详解】依题意得且 解得 故答案是． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程．一般形式为．易错点在于这个条件容易被忽略． 12. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 13. 已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m+n＝4，试写出一个满足条件的反比例函数的解析式_____． 【答案】y＝（答案不唯一） 【解析】 【分析】将点P（m，n）代入函数解析式y＝（k≠0）即可用m，n表示出k的值，再根据m+n＝4，可设出m的值，求得n的值，从而求出k的值，求出函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0）， ∵函数经过点P（m，n）， ∴k＝mn， ∵m+n＝4， ∴可设m＝1， 则n＝3，k＝1×3＝3． 故函数的解析式可为y＝（答案不唯一）， 故答案为y＝（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征找出反比例函数解析式是解题的关键；本题属开放性题目，答案不唯一． 14. 某县2014年的GDP是250亿元，要使2016年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程_____． 【答案】250（1+x）2＝360 【解析】 【分析】根据题意有，2016年的GDP＝2014年的GDP×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：2015年的GDP为250×（1+x）， 2014年的GDP为250×（1+x）（1+x）＝250×（1+x）2， 即所列的方程为250（1+x）2＝360， 故答案是：250（1+x）2＝360． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键. 15. 已知x=1是关于一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到k-1≠0，根据方程的解的定义知，把x=1代入已知方程可以列出关于k的方程，通过解方程和k的取值范围可以求得k的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根是x=1， ∴k-1+2=0，且k-1≠0， 解得k=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义．解题关键在于一元二次方程的二次项系数不为零，解题时，往往忽略此点． 16. 已知反比例函数图像上有一点，请写出这个反比例函数的函数表达式：______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入反比例函数的一般形式中，通过计算求出的值． 本题考查了反比例函数表达式，将已知点代入表达式是解题关键． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得，解得， 所以反比例函数的表达式为． 故答案为:． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围. 【详解】解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则. 故答案为. 【点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解. 18. 如图,A,B两点在反比例函数的图象上,C、D两点在反比例函数的图象上,AC⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点F,AC=2,BD=3,EF= ,则k −k=___. 【答案】4 【解析】 【分析】由反比例函数的性质可知S =S =-，S =S =，结合S =S +S 和S =S +S 可求得k −k的值． 【详解】连接OA、OC、OD、OB,如图： 由反比例函数的性质可知S =S =-，S =S =， ∵S =S +S， ∴ AC⋅OE=×2OE=OE= (k −k)①， ∵S =S +S， ∴BD⋅OF=×3(EF−OE)= ×3(−OE)=5−OE= (k −k)②， 由①②两式解得OE=2， 则k −k=4. 故答案为4. 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线. 三、解答题（19--25题，每题8分，26题10分，共66分） 19. 求解下列一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， 即， ∴或， 解得：或． 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于第四象限的一点，求这个反比例函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，求出a的值，进而即可求解． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式：． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图象上点的坐标特征以及待定系数法是关键． 21. 码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图像如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）装载完毕后，由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少卸货多少吨？ 【答案】（1） （2）平均每天至少要卸80吨货物 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 依题意得：，， ∴y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 答：平均每天至少要卸80吨货物． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． 22. 如图，，是一次函数图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出一次函数的表达式是，然后求出点的坐标是，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， 故反比例函数的表达式是． 【小问2详解】 解：当时，，故点的坐标是， 根据题意，得， 解得， 故一次函数的表达式是， 在中，令， 解得， 则点的坐标是， ． 23. 已知反比例函数（）的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时自变量x的取值范围． 【答案】（1）， 补充其函数图象如下： （2）或 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）当时，，当时，由，可求，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 【小问2详解】 解：由图象得 当时，， ， 当时， ， 解得：， ，且时，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）求与的值．（用含k的式子表示） （3）①若，，可由结合，求解k的取值范围．请求出k的取值范围． ②，，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，根据一元二次方程根的判断式的意义可得结论； （2）根据根与系数的关系可得，，然后对所求式子变形，整体代入即可； （3）①根据根与系数的关系可得，，解不等式组可得k的取值范围； ②根据已知求出，，可得；再由得到，解不等式组可得k的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系得：，， ∴； ； 【小问3详解】 ①∵，， ∴，， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴，即 ∴，即， ∴， ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判断式的意义，根与系数的关系，分式的加法，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 25. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由： ∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根， ∴x1+x2=1，x1x2= ， ∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9× =2﹣ ， 若2﹣ =﹣成立， 解上述方程得，k= ∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0， ∴k＜0，∵k= ∴矛盾， ∴不存在这样k的值； 【解析】 【分析】由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2= ，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）= 中，进而可求k的值． 【详解】略 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系. 26. 阅读材料：各类方程的解法： 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长． 【答案】（1）；；（2）x=3；（3）15 【解析】 【分析】（1）首先提出2x，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=27，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】（1） ∴或或 故答案为：-3，； （2）=x， 方程的两边平方，得2x+3=x2， 即x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0， ∴x-3=0或x+1=0， ∴x1=3，x2=-1， 当x=-1时，， 所以-1不是原方程的解． 所以方程=x的解是x=3； （3）因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A=∠D=90°，AB=CD=8m， 设AP=xm，则PD=（21-x）m， 因为BP+CP=27， BP=，CP=， ∴， ∴， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 解得或6（不合题意，舍去此时AP<PD） 经检验，x=15是方程的解． 答：AP的长为15m． 【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $