2026年中考数学二轮专题复习课件（内蒙古）

该初中数学中考复习课件聚焦选填压轴题核心考点，严格对接中考说明要求，通过分析近三年中考真题，梳理出规律探究、新定义、多结论判断等六大常考题型，明确各题型考查权重，为中考备考提供精准方向。 课件以“真题典例+跟踪训练+素养提升”为特色，如2025年扬州规律探究题培养抽象能力，河南新定义题强化推理意识，结合几何直观破解最值问题，帮助学生掌握压轴题解题技巧，教师可依此开展专题突破，提升复习效率与学生应试能力。

专题二　函数图象信息题、 动点问题与函数图象 类型1 由函数性质判断函数图象 典例1　[2024·青岛]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则过点M(c，2a－b)和点N(b2－4ac，a－b＋c)的直线一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练1】 1．[呼和浩特中考]在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和 函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( ) 2．[2025·杭州二模]反比例函数y＝ (k≠0)的图象在第二、 四象限，则二次函数y＝kx2＋4x的大致图象是( ) 类型2 实际问题中的函数图象 典例2　[2025·新疆]一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是( ) A．两车出发2 h后相遇 B．A，B两地相距280 km C．快车比慢车早 h到达目的地 D．快车的速度为80 km/h，慢车的速度为60 km/h 【跟踪训练2】 1．[2025·青海]如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是( ) A．乙车先到达B地 B．A，B两地相距300 km C．甲车的平均速度为100 km/h D．在8：30时，乙车追上甲车 2．[2024·凉山州]匀速地向如图所示的容器内 注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器 内水面高度h随时间t变化的大致图象是( ) 3．[2025·常州]小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道 上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书 馆的距离分别为300米、1 800米．若小华、小丽各自从自己家 同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书 馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小 丽仍然以v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以 v1米/分 钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小 丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y(米)与行进时间x (分钟)之间的函数图象可能是( ) 类型3 动点问题与函数图象 典例3　[2025·兰州]如图，在正方形ABCD中，AB＝2 cm，对角 线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以 cm/s 的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1 cm/s的速度运 动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x(s)， △CPQ的面积为y(cm2)，则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的 函数关系分别是( ) A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【跟踪训练3】 1．[2025·广元]如图1，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t(s)之间的对应关系如图2所示，下列说法错误的是( ) A．AB＝4 B．∠ACB＝90° C．当0≤t≤2时，y＝ t2 D．△EFD的周长为9＋5 2．[2025·南通]如图，在等边三角形ABC的三边 上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF.若AB＝4， AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大 致为( ) 类型4 二次函数图象与字母系数的关系 典例4　[2025·宜宾]如图，O是坐标原点，已知二 次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，C 两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝－2，其中 A(2，0)，B(0，c)，且－3<c<－2.以下结论：①abc>0　② <b <1　③△ACD是钝角三角形　④若方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两 根为x1，x2(x1<x2)，则－2<x1<4－2 ，6<x2<4＋2 .其中正确 结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：∵抛物线开口向上， ∴a>0. ∵对称轴为直线x＝－ ＝－2， ∴b>0. ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c<0，∴abc<0，故①错误； ∵对称轴为直线x＝－ ＝－2， ∴4a＝b. ∵A(2，0)在抛物线上， ∴4a＋2b＋c＝0， ∴b＋2b＋c＝0，∴c＝－3b. ∵－3<c<－2，∴－3<－3b<－2， ∴ <b<1，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将x＝－2代入得y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c， 将4a＝b，c＝－3b代入得，y＝－4b， ∴ED＝4b. ∵ <b<1，对称轴为直线x＝－2，A(2，0)， ∴AE＝4， ∴∠CAD<45°. 【跟踪训练4】 1．[2024·齐齐哈尔]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(x1，0)，其中2<x1<3.结合图象给出下列结论： ①ab>0　②a－b＝－2 ③当x>1时，y随x的增大而减小 ④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0) 的另一个根是－ ⑤b的取值范围为1<b< . 其中正确结论的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．[2025·济南]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(－1，n)，且经过(1，0)，(0，m)两点，3＜m＜4.有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＋1＝0 (a≠0)有两个不相等的实数根　②当x＞－1时，y的值随x值的增大而减小　 ③－ ＜a＜－1　④4a－2b＋c＞0 ⑤对于任意实数t，总有(t＋1)(at－a＋b)≤0. 以上结论正确的有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．[2025·资阳]如图，在平面直角坐标系中，O为 坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴相交 于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线x＝－1.给 出以下4个结论：①abc＜0　②对于任意实数m，am2＋bm＋c＋a的 值不小于2　③若P是对称轴上的一点，则OP＋AP的最小值为2　 ④若点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，满足x1＜x2且x1＋x2＋2 ＞0，则一定有y1＜y2.其中，所有正确结论的序号为_______． ②③④ eq \f(k,x) eq \f(3,2) eq \f(5,4) eq \r(2) eq \f(1,2) eq \r(3) eq \f(2,3) eq \r(7) eq \r(7) eq \f(b,2a) eq \f(b,2a) eq \f(2,3) ∴tan∠CAD＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(4b,4)＝b<1， eq \f(2,3) ∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD<45°， ∴∠ADC>90°， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵eq \f(2,3)<b<1，∴当b＝eq \f(2,3)时，a＝eq \f(1,4)b＝eq \f(1,6)，c＝－3b＝－2， ∴方程ax2＋(b－2)x＋c＝0转化为 eq \f(1,6)x2－eq \f(4,3)x－2＝0， 解得x＝4±2eq \r(7). ∴当b＝1时，a＝eq \f(1,4)b＝eq \f(1,4)，c＝－3b＝－3， ∴方程ax2＋(b－2)x＋c＝0转化为 eq \f(1,4)x2－x－3＝0，解得x＝－2或6. ∵方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)， ∴－2<x1<4－2eq \r(7)，6<x2<4＋2eq \r(7)，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． eq \f(4,3) eq \f(2,a) eq \f(4,3) eq \r(2) $专题九二次函数的综合题 高分 突破 类型1 特殊三角形的存在性问题 典例1 [2025·青海]在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx 一3(a≠0)与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(1,0)，点C(2, 5)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围 (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的 点P坐标；若不存在，请说明理由， 解：(1)将B(1,0),C(2,5)代入 y=ax2+bx一3(a≠0)，得 a十b-3=0, a=1, 4a十2b-3=5,解得6=2， 解得 ∴.抛物线的解析式为y=x2+2x一3； (2)①令y=0,则x2+2x一3=0， 解得x=一3或x=1, ∴.点A的坐标为（一3,0）； ②-3<x<1; 。 (3)存在.设点P的坐标为(0，t), .A(-3,0),C(2,5), ∴.AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+(t-0)2=9+t2 ,CP2=(0-2)2+(t-5)2=t2-10t+29, .'△ACP是以AC为直角边的直角三角形， .分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2, .9+t2=50+t2-10t+29,解得t=7, ∴.P1(0,7）； 当CP为斜边时，则CP2=AC2+AP2, '.t2-10t+29=50+9+t2, 解得t=一3， ∴.P2(0,-3). 综上所述，点P的坐标为(0,7)，(0，一3). 【跟踪训练1】 [2024·齐齐哈尔]综合与探究：如图，在平面直角坐标系中， 已知直线y=x一2与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点 的抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴的另一个交点为点B(一1， O),点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x 轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E,点F. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形： 请直接写出点D的坐标； (3)当EF=AC时，求点P的坐标； (4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线 对称轴的垂线，垂足为M,连接NA,MP,则NA+MP的最小值为 解：(1)，直线y=1x一2与x轴交于点A,与y轴交于点C, 2 .当y=0时，x=4,即A(4,0). 当x=0时，y=一2，即C(0,一2). .B(-1,0), ∴.设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x一4)(a≠0)，专题五　统计图表的综合题 类型1 统计图（表）的分析 典例1　[2025·江西]某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量(方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升)，并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分(以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好)． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 表1　甜度、整体口感评分统计表 数据应用 (1)在表1中，m＝_______，n＝_______； 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎； (2)结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数； (3)补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响； (4)调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3∶7，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 解：(1)方案A整体口感的平均数为 ＝2.4， 即m＝2.4. 方案C整体口感得分从小到大排列：2，2，3，3，5，5，5，8， 8，9，则中位数为 ＝5，即n＝5； 由表1得方案B的平均数和中位数都最大，方案B最受欢迎． 故答案为：2.4，5； (2)由图1可得最喜欢方案C的有3人，则300位嘉宾在三个方案 中最喜爱方案C的人数为300× ＝90人． 答：估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数为90人； (3)补全图2如下： 由图2得随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低； (4)方案A综合得分： 2．1×0.3＋2.4×0.7＝2.31； 方案B综合得分： 6．5×0.3＋7.1×0.7＝6.92； 方案C综合得分： 8．5×0.3＋5×0.7＝6.05； 由6.92>6.5，则推断该店将会推出方案B. 【跟踪训练1】 1．[2025·兰州]豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子(直径大于3毫米)粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类(0≤x<2)，B类(2≤x<4)，C类(4≤x<6)，D类(6≤x<8)，E类(8≤x<10)． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动中随机抽取了_____个豌豆荚，图中a＝_____， b＝_____； (2)所调查豆子粒数的中位数落在_____类中；(填字母) (3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查 了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌 豆荚多的规律？请说明理由． 解：(1)由题意，得14÷14%＝100(个)， a＝100×40%＝40， b＝100－5－14－40－6＝35， 故答案为：100，40，35； (2)由题意，得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数， ∵5＋14＋40＝59， ∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中； 故答案为：C； (3)不能，理由是： 样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性． 2．[2025·威海]为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x(单位：分)分为三个等级：优秀(90≤x<100)，良好(80≤x<90)，一般(70≤x<80)；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； (2)请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价； (3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占的百分比． 解：(1)∵阳光中学的优秀率为30%， ∴阳光中学参赛人数为30÷30%＝100(人)， ∴阳光中学良好的人数为100－20－30＝50(人)， ∴阳光中学的优良率a＝(50＋30)÷100×100%＝80%； 补全统计图如下： (2)从中位数看，阳光中学的中位数大于区市的中位数， ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； 从优良率看，阳光中学的优良率大于区市的优良率， ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； (3)设知识测试成绩占的百分比为x，则实践创新成绩占的百分比为(1－x)， 根据题意，得80x＋90(1－x)＝87， 解得x＝0.3＝30%，1－x＝0.7＝70%， ∴知识测试成绩占的百分比为30%，实践创新成绩占的百分比为70%. 类型2 统计图（表）与概率的综合 典例2　[2025·宜宾]某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查(社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项)．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． (1)本次共调查了_____名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是______，并补全条形统计图； (2)若七年级新生共有600人，估计有_____人喜欢乒乓球运动； (3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲、乙两人的概率． 解：(1)调查的学生数：5÷5%＝100(人)， 喜爱舞蹈的人数：100－35－25－15－10－5＝10(人)， 补全条形统计图如图1： 故答案为：100，10； (2)600× ＝150(人)， ∴估计有150人喜欢乒乓球运动． 故答案为：150； (3)画树状图如图2： 由树状图可知一共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两人的结果有2种， ∴同时选中甲、乙两人的概率是 【跟踪训练2】 [2025·遂宁]DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型 设计水平调查报告 调查 主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查 目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识. 调查 对象 某校学生模 具设计成绩 调查 方式 抽样 调查 数据 收集 与表 示　 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分 制，用x表示)，并整理，将其分成如下四组： A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90， D：90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84， 84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89， 89，89. 数据 分析 与应 用　 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； (2)请补全频数分布直方图； (3)请估计全校1 200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； (4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率. 解：(1)∵10÷20%＝50(人)， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， ∴B组学生人数为50×30%＝15(人)， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， 故答案为：50，83.5，144°； (2)补全频数分布直方图如图1： (3)1 200× ＝720， 答：估计全校1 200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； (4)画树状图如图2： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰 为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为 eq \f(2＋1＋1＋3＋1＋2＋2＋3＋1＋8,10) eq \f(5＋5,2) eq \f(3,10) eq \f(25,100) eq \f(2,12)＝eq \f(1,6). ∴中位数＝eq \f(83＋84,2)＝83.5分． C组对应圆心角的度数为360°×eq \f(20,50)＝144°， eq \f(20＋10,50) eq \f(2,12)＝eq \f(1,6). $专题四　实际应用题 类型1 方程（组）的实际应用 典例1　[2025·深圳]某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ (2)设篮球有m个，则足球有(10－m)个， 2m≥10－m，解得m≥ ， 设购买的总费用是w元， w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500. ∵10>0，∴w随着m的减小而减小． ∵m≥ 且m为整数， ∴当m最小值为4时，w最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少为540元． 【跟踪训练1】 1．[2025·济南]随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50 000元购买甲型健身器材的数量和用56 000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 解：(1)设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格 为(x＋300)元， 根据题意，得 解得x＝2 500， 经检验，x＝2 500是原方程的根． 此时x＋300＝2 800， 答：甲型健身器材价格为2 500元，乙型健身器材的价格为 2 800元； (2)根据题意，设甲型健身器材买了a台，则购买乙型健身器材 数量为(20－a)台，且a≤3(20－a)，即a≤15，且a为正整数． 设采购费用为w元， 根据题意，得w＝2 800(20－a)＋2 500a＝－300a＋56 000， 由k＝－300＜0，得w随a的增大而减小， 故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝－300×15＋ 56 000＝51 500(元)， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用 最低，最低费用为51 500元． 2．[2023·宜昌]为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)． ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计)，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为(80－4m)包，(4m＋8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元．求m的值． 解：(1)设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为2x元， 依题意得10x＋12×2x＝136， 解得x＝4，则2x＝8. ∴豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； (2)①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元， 依题意，得 ∴豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意，得[3m＋(40－m)×7]×(80－4m)＋ [3x(40－m)＋7m]×(4m＋8)＝17 280， 解得m＝19或m＝10. 类型2 不等式（组）的实际应用 典例2　[2025·德阳]中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A，B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 解：(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元； (2)设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为(40－a)袋，总费用为w元． 解得10≤a≤15. ∵a为正整数， ∴a＝10，11，12，13，14，15. 由题意，得w＝(40－a)×20＋30a＝10a＋800. ∵10>0， ∴w随a的增大而增大， ∴a＝10时，w有最小值， 最小值为10×10＋800＝900(元)． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 【跟踪训练2】 1．[2025·云南]请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍 请完成下列任务 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元 任务二 给出最节省费用的购买方案 解：任务一：设每个篮球x元，每个排球y元， 答：每个篮球150元，每个排球100元； 任务二：设购买篮球a个，则购买排球(60－a)个，总的费用 为w元， 根据题意，得 ∴20≤a<60且a为整数， ∴w＝150a＋100(60－a)＝50a＋6 000. ∵50>0，∴w随a的增大而增大， ∴当a＝20时，w有最小值，为7 000元，此时60－a＝40， 答：购买篮球20个，排球40个，最节省费用． 2．[2025·眉山]国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下： (1)若要从这两种食品中摄入1 280 kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？ 解：(1)设选用A，B两种食品分别为x份和y份， ∵这两种食品中摄入1 280 kcal能量和62 g蛋白质， ∴选用A，B两种食品分别为3份和2份； (2)设选用A种食品a份， 依题意， ＝6－a， 即选用B种食品(6－a)份， 则12a＋13(6－a)≥76，12a＋78－13a≥76，解得a≤2. 设能量为b，则b＝240a＋280(6－a)＝－40a＋1 680. ∵－40<0，∴b随a的增大而减小， ∴当a＝2时能量最低，此时，6－2＝4， ∴应选用A，B两种食品分别为2份和4份． 类型3 函数的实际应用 典例3　[2024·滨州]春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 40 50 售出电影票数量y(张) 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润(利润＝票房收入－运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b， 由表格，得 即y与x之间的函数关系式是y＝－4x＋324(30≤x≤80且x 是整数)； (2)由题意，得 w＝x(－4x＋324)－2 000＝－4x2＋324x－2 000， 即w与x之间的函数关系式是w＝－4x2＋324x－2 000(30≤x≤80 且x是整数)； (3)由(2)知，w＝－4x2＋324x－2 000＝－4(x－ )2＋4 561. ∵30≤x≤80且x是整数， ∴当x＝40或41时，w取得最大值，此时w＝4 560， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大， 最大利润是4 560元． 【跟踪训练3】 1．[2024·南充]2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价)．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？(利润＝售价－进价) 解：(1)设每件A类特产的售价为a元，则每件B类特产的售价为(132－a)元． 根据题意，得3a＋5(132－a)＝540， 解得a＝60， 则每件B类特产的售价为 132－60＝72(元)． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件； (2)由题意，得y＝10x＋60. ∵A类特产进价50元/件， 售价为60元/件，且每件售价不低于进价， ∴0≤x≤10， ∴y＝10x＋60(0≤x≤10)； (3)w＝(60－50－x)(10x＋60)＋100×(72－60) ＝－10x2＋40x＋1 800 ＝－10(x－2)2＋1 840. ∵－10<0， ∴当x＝2时，w有最大值1 840. 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1 840元． 2．[2023·黄石]某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内 生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件． 设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函 数解析式是z＝ 其中x是正整数． 当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13. (1)求m，n的值； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x＋20. ①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围． 解：(1)把x＝16时，z＝14；x＝20时， z＝13代入z＝mx＋n，得 (2)①设第x个生产周期获得的利润为w万元，由(1)知，当12<x≤20时， ∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405， ∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元； ②当0<x≤12时，z＝15， ∴w＝(15－10)(5x＋20)＝25x＋100， 则w与x的函数图象如图所示： 由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元， ∴当x＝13，15时，w＝403.75， 当x＝12，16时，w＝400， ∴a的取值范围为400<a≤403.75. 解：(1)设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＝6y，,2y－x＝40))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋30＝140，,2y－x＝40)) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋30＝140，,5x＝6y))(三个方程组任选一个即可) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝50，)) 答：每个篮球60元，每个足球50元； eq \f(10,3) eq \f(10,3) eq \f(50 000,x)＝eq \f(56 000,x＋300)， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋30b＝270，,30a＋20b＝230，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝7，)) ∵m≤eq \f(1,2)(40－m)，∴m≤eq \f(40,3)，∴m＝10. 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝100，,3x＋2y＝120，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝30，)) 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（40－a）×20＋30a≤950，,a≥10，)) 根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,2x＋5y＝800，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝150，,y＝100，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60－a≤2a，,a<60，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(240x＋280y＝1 280，,12x＋13y＝62，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，)) eq \f(300－50a,50) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝164，,50k＋b＝124，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝324，)) eq \f(81,2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(15，0<x≤12，,mx＋n，12<x≤20，))) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16m＋n＝14，,20m＋n＝13，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,4)，,n＝18；)) z＝－eq \f(1,4)x＋18， ∴w＝(z－10)y＝(－eq \f(1,4)x＋18－10)(5x＋20)＝－eq \f(5,4)x2＋35x＋160 ＝－eq \f(5,4)(x－14)2＋405， ∵－eq \f(5,4)<0，12<x≤20， ∴w＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25x＋100，0<x≤12，,－\f(5,4)（x－14）2＋405，12<x≤20，)) $专题三　解直角三角形的应用 类型1 方向角问题 典例1　[2025·连云港]如图，港口B位于岛A的 北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC ＝6 km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B，D， C三点在一条直线上，DC＝ BD. (1)求岛A与港口B之间的距离； (2)求tanC.(参考数据： 【跟踪训练1】 1．[2025·重庆]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无 人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平 面内，A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方 向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D 处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于 C的北偏西30°方向上．(参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.65) (1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)． 解：(1)如图1所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意，得∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中， AE＝AD·cos∠DAE＝20·cos30°＝10 (千米)， DE＝AD·sin∠DAE＝20·sin30°＝10(千米)． ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD，∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，BF＝AE＝10 千米， ∴DF＝DE＋EF＝20(千米)， 答：BD的长度约为26.5千米； (2)如图2所示，当运动到N时，此时满足MN＝20千米．过点M作MT⊥CD于T， 由题意，得∠BCF＝90°－30°＝60°， ∴CD＝DF＋CF＝30(千米)． 设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝(20－x)千米， 2．[2025·烟台]【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置 信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气 预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前 到达码头A.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈ 0.25) (2)在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE·tan14°≈15×0.25＝3.75， ∴AC＝AE＋ED＋DC＝3.75＋15＋5＝23.75， 23．75÷10＝2.375(小时)， ∵14：30与17：30之间间隔3小时，3>2.375， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 类型2 俯角、仰角问题 典例2　[2025·青岛]学校综合实践小组测量博学 楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内， 点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测 得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼 底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角 为42°，求博学楼DE的高度．(参考数据： 解：过点E作EF⊥AB于点F，由题意得，∠1＝∠2＝22°，∠3＝42°，BC＝15 m，AB＝19 m. ∵∠BDE＝∠EFB＝∠ABC＝90°， ∴四边形FBDE是矩形， ∴FB＝DE，EF＝BD. 在Rt△AFE中， ∴设AF＝2x，EF＝5x， 则CD＝BD－BC＝EF－BC＝5x－15，BF＝ED＝AB－AF＝19－2x. ∴DE＝19－2×5＝9 m， 答：博学楼DE的高度为9米． 【跟踪训练2】 1．[2025·成都]在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校 园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处， 在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在 D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离．(结 果精确到0.1米，参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45， tan63.4°≈2.00， ≈1.73) 解：由题意，得∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°， CD＝60米， 在Rt△ACD中，AC＝CD·tan63.4°≈120(米)． 在Rt△ABC中， 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米． 2．[2025·泸州]如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中BC＝18 m．从A，B之间的E点(A，E，B在同一水平线上)测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°. (1)求∠CDE的度数； (2)求建筑物AD的高度(计算过程和结果中 的数据不取近似值)． 解：(1)如图所示，过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC＝90°， 由题意，得∠DCH＝30°，∠AED＝75°，∠DAE＝90°， ∴∠CDH＝180°－∠DCH－∠DHC＝60°， ∠ADE＝180°－∠AED－∠DAE＝15°， ∴∠CDE＝∠CDH－∠ADE＝45°； (2)如图所示，过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD＝∠ETC＝90°， ∴∠DET＝90°－∠EDT＝45°， ∴∠CET＝180°－∠AED－∠DET－∠BEC＝30°. 类型3 坡度问题 典例3　[2024·巴中]某兴趣小组开展了测量电 线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度 i＝1∶ ，BE＝6 m，在B处测得电线塔CD顶部D 的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角 为60°. (1)求点B离水平地面的高度AB； (2)求电线塔CD的高度(结果保留根号)． (2)作BF⊥CD于点F， 则四边形ABFC是矩形， AB＝CF＝3 m，BF＝AC， 设DF＝x m. 【跟踪训练3】 1．[2025·德州]暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200 m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296 m，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度(结果取整数)； (2)求缆车的行驶路线BC的长(结果取整数)．(参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 解：(1)过点B作BE⊥AD交AD于点E， 在Rt△ABE中， AB＝200 m，∠α＝16°， ∴BE＝AB·sinα≈200×0.28＝56(m)． 答：小明一家垂直上升的高度为56米； (2)过点B作BF⊥CD于点F， 在四边形BEDF中，∠BED＝∠D＝∠BFD＝90°， ∴四边形BEDF为长方形， ∴DF＝BE＝56 m，∴CF＝CD－DF＝296－56＝240 m. 2．[2025·济南二模]数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的AB是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为31°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8 m，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了3 m到达点E处(BE∥MN)，发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度为8 m 任务1 求点B到一楼地面MN的距离 任务2 求照明灯C到一楼地面MN的距离(结果精确到0.1 m) (参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， ≈1.73) 类型4 其他问题 典例4　[2025·湖南]如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD>AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l. (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？(结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04) 解：(1)∵EG⊥AB，AB⊥BD，EN⊥BD， ∴四边形BNEG是矩形，∴EN＝BG. 在Rt△AEG中， AE＝13分米，EG＝12分米， ∴BG＝AB－AG＝14(分米)， ∴EN＝14分米， 答：该连衣裙MN的长度为14分米； (2)如图所示，过点E作EH⊥AB于H，延长EN交BD于T， ∵AB⊥BD，EH⊥AB，ET⊥BD， ∴四边形BTEH是矩形， ∴ET＝BH. 在Rt△AEH中，AE＝13分米， ∠HAE＝76.1°，cos76.1°≈0.24， ∴AH＝AE·cos∠HAE＝13×cos76.1°≈13×0.24＝3.12(分米)． ∵AB＝19分米， ∴BH＝AB－AH＝15.88(分米)， ∴ET＝15.88分米． ∵EN＝14分米， ∴NT＝ET－EN＝15.88－14＝1.88≈2(分米)． 答：此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 【跟踪训练4】 1．[2025·济南]某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21 m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11 m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3 m(点B，C，F，E在同一条直线上)． (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．(结果精确到0.01 m． 参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈ 0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839) 解：(1)在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∴AC＝AB·sinB＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503(m)， ∴AC－DF＝13.503－11＝2.503≈2.50(m)， 答：两滑梯高度差为2.50 m； (2)在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∴BC＝AB·cosB＝AB·cos40°≈21×0.766＝16.086(m)． 在Rt△EFD中， ∠DFE＝90°，∠DEF＝32°， ∴BE＝BC＋CF＋EF＝16.086＋3＋17.6＝36.686≈36.69 m. 答：BE长为36.69 m. 2．[2025·青海]数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°. 环节二：数学抽象 如图，已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8 m，BE＝DF＝0.3 m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6 m，求OE的长度．(结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【模型求解】 【问题总结】 交叉点O距顶端A的长度，即OA为_____m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律． 解：数学抽象：如图，过O作OH⊥EF于H， ∵∠AEF＝∠CFE＝65°， ∴OE＝OF. ∵EF＝0.6 m， ∴EH＝FH＝0.3 m， 问题总结： ∵AB＝CD＝1.8 m，BE＝DF＝0.3 m， ∴OA＝1.8－0.3－0.7＝0.8 m. 故答案为：0.8. eq \f(5,2) sin37°≈eq \f(3,5)，cos37°≈eq \f(4,5)，tan37°≈eq \f(3,4)) 解：(1)如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD，∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA，∴eq \f(BM,CA)＝eq \f(BD,CD). ∵DC＝eq \f(5,2)BD，AC＝6 km，∴eq \f(BM,6)＝eq \f(2,5)，得BM＝eq \f(12,5). 在Rt△ABM中， 由sin∠BAD＝sin37°＝eq \f(BM,AB)＝eq \f(\f(12,5),AB)≈eq \f(3,5)，得AB≈4. 答：岛A与港口B之间的距离为4 km； (2)在Rt△ABM中， AM＝AB·cos37°≈4×eq \f(4,5)＝eq \f(16,5). ∵△BDM∽△CDA， ∴eq \f(DM,AD)＝eq \f(BD,CD)＝eq \f(2,5)， ∴AD＝eq \f(5,7)AM＝eq \f(16,5)×eq \f(5,7)＝eq \f(16,7)， 在Rt△ADC中，tanC＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(\f(16,7),6)＝eq \f(8,21). eq \r(3) eq \r(2) eq \r(5) eq \r(7) eq \r(3) ∴BD＝eq \r(DF2＋BF2)＝eq \r(202＋（10\r(3)）2)＝10eq \r(7)≈26.5(千米)， eq \r(3) 在Rt△FBC中，BC＝eq \f(BF,sin∠BCF)＝eq \f(10\r(3),sin60°)＝20(千米)， CF＝eq \f(BF,tan∠BCF)＝eq \f(10\r(3),tan60°)＝10(千米)， 在Rt△CMT中， CT＝CM·cos∠MCT＝(20－x)·cos60°＝(10－eq \f(1,2)x)千米， MT＝CM·sin∠MCT＝(20－x)·sin60°＝(10eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)x)千米， ∴TN＝CD－DN－CT＝30－2x－(10－eq \f(1,2)x)＝(20－eq \f(3,2)x)千米， 在Rt△MNT中， 由勾股定理，得MN2＝MT2＋NT2， ∴202＝(10eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)x)2＋(20－eq \f(3,2)x)2， ∴x＝15－5eq \r(5)或x＝15＋5eq \r(5)(此时大于BC的长，舍去)， ∴BM＝15－5eq \r(5)≈3.8(千米)， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE＝x， 由题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°， CD＝10×eq \f(1,2)＝5， ∴∠C＝90°－∠EBC＝37°，ED＝BE＝x， ∴EC＝ED＋DC＝x＋5， 在Rt△BCE中， EC＝eq \f(BE,tanC)＝eq \f(x,tan37°)≈eq \f(x,0.75)＝eq \f(4,3)x， ∴eq \f(4,3)x＝x＋5， 解得x＝15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； sin22°≈eq \f(3,8)，cos22°≈ eq \f(15,16)，tan22°≈eq \f(2,5)，sin42°≈eq \f(27,40)，cos42°≈eq \f(3,4)，tan42°≈eq \f(9,10)) ∵tan∠2＝eq \f(AF,EF)，∴eq \f(AF,EF)＝eq \f(2,5)， 在Rt△ECD中，∵tan∠3＝eq \f(ED,CD)， ∴eq \f(9,10)＝eq \f(19－2x,5x－15)，解得x＝5， eq \r(3) AB＝eq \f(AC,tan30°)＝120eq \r(3)≈207.6(米)． 在Rt△BCE中，CE＝eq \f(BC,sin∠BEC)＝eq \f(18,sin30°)＝36(m)， 在Rt△CTE中，CT＝CE·sin∠CET＝36·sin30°＝18(m)， ET＝CE·cos∠CET＝36·cos30°＝18eq \r(3)(m)， 在Rt△DET中， DT＝eq \f(ET,tan∠EDT)＝eq \f(18\r(3),tan45°)＝18eq \r(3)(m)， ∴CD＝DT＋CT＝(18＋18eq \r(3))m， 在Rt△DCH中， DH＝CD·sin∠DCH＝(18＋18eq \r(3))·sin30°＝(9＋9eq \r(3))m. ∵CH⊥AD，AD⊥AB，BC⊥AB，∴四边形ABCH是矩形， ∴AH＝BC＝18 m，∴AD＝AH＋DH＝(27＋9eq \r(3))m. 答：建筑物AD的高度为(27＋9eq \r(3))m. eq \r(3) 解：(1)∵斜坡BE的坡度i＝1∶eq \r(3)， ∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3). ∵tan∠BEA＝eq \f(AB,AE)＝eq \f(\r(3),3)， ∴∠BEA＝30°. ∵BE＝6 m， ∴AB＝eq \f(1,2)BE＝3(m)， ∴点B离水平地面的高度AB为3 m； 在Rt△DBF中，tan∠DBF＝eq \f(DF,BF)，∴BF＝eq \f(DF,tan∠DBF)＝x m. 在Rt△ABE中，AE＝eq \r(BE2－AB2)＝3eq \r(3)(m)， 在Rt△DCE中， DC＝DF＋CF＝(x＋3)m，tan∠DEC＝eq \f(DC,EC)， ∴EC＝eq \f(x＋3,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)(x＋3) m， ∴BF＝AE＋EC，∴3eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)(x＋3)＝x， 解得x＝6eq \r(3)＋6， ∴CD＝6eq \r(3)＋6＋3＝(6eq \r(3)＋9) m， 答：电线塔CD的高度为(6eq \r(3)＋9) m. 在Rt△BCF中，sinβ＝eq \f(CF,BC)， 即eq \f(240,BC)＝sin37°，∴BC≈eq \f(240,0.60)＝400 m， ∴缆车的行驶路线BC的长为400 m. eq \r(3) 解：任务1：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为1∶eq \r(3)， ∴设BR＝x m，则AR＝eq \r(3)x m. ∵AB＝8 m， ∴在Rt△ABR中，AR2＋BR2＝AB2， 即(eq \r(3)x)2＋x2＝82， 解得x＝4，∴BR＝4 m， 答：点B到一楼地面MN的距离为4 m； 任务2：如图，连接CE并延长交AN于点V，过点D作DU⊥CV于点U，交BR于点T， 由题意，得∠CDU＝31°， AD＝UV＝1.8 m，BE＝TU＝3 m，AR＝DT， 在Rt△ABR中，AR＝4eq \r(3)(m)， ∴DU＝DT＋TU＝(4eq \r(3)＋3)m. ∴在Rt△CDU中， CU＝DU·tan∠CDU＝(4eq \r(3)＋3)×0.6＝(eq \f(9＋12\r(3),5))m. CV＝CU＋UV＝eq \f(9＋12\r(3),5)＋1.8≈7.8(m)． 答：照明灯C到一楼地面MN的距离为7.8 m. ∴AG＝eq \r(AE2－EG2)＝eq \r(132－122)＝5(分米)， ∴EF＝eq \f(DF,tan∠DEF)＝eq \f(DF,tan32°)≈eq \f(11,0.625)＝17.6(m)， ∴cos65°≈0.42＝eq \f(EH,OE)， ∴OE＝eq \f(0.3,0.42)≈0.7 m； $专题十　新型题的解决策略 类型1 几何图中的新定义 典例1　[2024·泸州]定义：在平面直角坐标系中，将一个图 形先向上平移a(a>0)个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转 θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a，θ)变换．如点A(2， 0)按照ρ(1，90°)变换后得到点A′的坐标为(－1，2)，则点 B( ，－1)按照ρ(2，105°)变换后得到点B′的坐标为 ____________． 【跟踪训练1】 [2025·深圳]综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC.求： ①AD与BC的位置关系为_____； ②AC2_____(填“>”“<”或“＝”)AD·BC； 【方法应用】①如图4，若AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转 至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是“双等四 边形”； ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB＝ ，AB＝5，在 平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为“伴随三角形”的 “双等四边形”，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明 理由． 解：【问题解决】①平行；②＝； 【方法应用】①∵△ADE为△ABC旋转得到， ∴AB＝AD， 令∠B＝α，则∠ADB＝α， ∠BAD＝180°－2α， ∴∠ADE＝∠B＝α. 由旋转得，DE＝BC，AE＝AC， 又∵AC＝BC，∴EA＝ED， ∴∠DAE＝∠ADE＝α， ∴∠E＝180°－2α， ∴∠E＝∠BAD， ∴四边形ABDE为“双等四边形”； ②作AH⊥BC于点H，如图1， ∵cosB＝ ，AB＝5， ∴BH＝3，AH＝4. 设CH＝x，则AC＝BC＝x＋3. 在Rt△AHC中，CH2＋AH2＝AC2， 即x2＋42＝(x＋3)2， c．若∠D＝∠ACB，DA＝DC时，如图3， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB＝∠ABC， ∴△CAB∽△DAC， 类型2 函数中的新定义 典例2　[2022·大庆]函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实 数，[x]表示不超过x的最大整数．定义{x}＝x－[x]，则下列说 法正确的个数为( ) ①[－4.1]＝－4 ②{3.5}＝0.5 ③高斯函数y＝[x]中，当y＝－3时，x的取值范围是－3≤x<－2 ④函数y＝{x}中，当2.5<x≤3.5时，0≤y<1 A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练2】 1．[2025·乐山]在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数y＝x－1关于点(0，0)的“对称函数”．小乐同学给 出了如下的解题步骤： 第一步：在函数y＝x－1的图象上取两点(1，0)和(0，－1)； 第二步：分别求出这两个点关于点(0，0)的对称点___和___； 第三步：函数y＝x－1关于点(0，0)的“对称函数”为___； (2)是否存在点P，使得函数y＝ ＋1关于点P的“对称函数”就 是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明 理由； (3)函数C1：y＝ax2－2ax＋2a(a＞0)关于点(2，2)的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域(包括边界)记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若a＝ ，求W内的“整点”个数； ②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围． 解：(1)(－1，0)，(0，1)；y＝x＋1； (2)∵函数y＝ ＋1是由反比例函数y＝ 向上平移一个单位长度 得到的， 而反比例函数y＝ 关于原点(0，0)中心对称， ∴函数y＝ ＋1的图象关于点(0，1)中心对称， ∴存在点P(0，1)，使得函数y＝ ＋1关于点P的“对称函数” 就是它本身； (3)将C1化成顶点式y＝ax2－2ax＋2a＝a(x－1)2＋a，其顶点为(1，a)． ∵C1，C2关于点(2，2)对称， ∴C2的顶点为(3，4－a)， ∴C2的解析式为y＝－a(x－3)2＋4－a. ②∵C2的顶点为(3，4－a)， ∴C2的解析式为y＝－a(x－3)2＋4－a＝－ax2＋6ax＋4－10a. ∵函数C1与C2的图象关于点(2，2)成中心对称， ∴点(2，2)必为区域W内的“整点”． 当区域W内恰有9个“整点”时，其他8个“整点”是4对关于点(2，2)对称的点，即(1，1)和(3，3)，(2，1)和(2，3)，(1，2)和(3，2)，(0，1)和(4，3)， 此时，当C2过(0，1)时，满足题意，即4－10a＝1， 解得a＝ . 当区域W内恰有13个“整点”时，其他12个“整点”是6对关于点(2，2)对称的点，在前面9个“整点”的基础上增加了(0，2)，(4，2)，(3，1)及(1，3)4个“整点”， 当C2过(0，2)时，满足题意，即4－10a＝2， 2．[2025·长沙]我们约定：当x1，y1，x2，y2满足(x1＋y2)2＋(x2＋y1)2＝0，且x1＋y1≠0时，称点(x1，y1)与点(x2，y2)为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的 打“√”，错误的打“×”)： ①函数y＝ (k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”； (　　) ②函数y＝－2x＋1一定不是“对偶函数”；(　　) ③函数y＝x2＋x－1的图象上至少存在两对“对偶点”；(　　) (2)若关于x的一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(b1，b2都是常数，且b1·b2<0)均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数y＝2ax2－1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 解：(1)∵(x1＋y2)2＋(x2＋y1)2＝0，且(x1＋y2)2≥0，(x2＋y1)2≥0， ∴(x1＋y2)2＝0，(x2＋y1)2＝0， ∴x1＝－y2，x2＝－y1. ①函数y＝ (k是非零常数)的图象上，x1y1＝x2y2， 满足x1＝－y2，x2＝－y1，故①正确； ②设(n，－2n＋1)和(2n－1，－n)是y＝－2x＋1图象上一对“对偶点”， ∴－n＝－2(2n－1)＋1， 解得n＝1， 此时n＋(－2n＋1)＝0，不符合“对偶点”定义， ∴函数y＝－2x＋1一定不是“对偶函数”， 故②正确； ③设(t，t2＋t－1)和(－t2－t＋1，－t)是函数y＝x2＋x－1的 图象上的“对偶点”， ∴(－t2－t＋1)2＋(－t2－t＋1)－1＝－t， 变形整理，得(t＋1)(t－1)(t2＋2t－1)＝0， 解得t1＝－1，t2＝1，t3＝ －1，t4＝－ －1， 当t1＝－1或t2＝1时，(1，1)和(－1，－1)是一对“对偶点”， 符合题意； 当t3＝ －1，t4＝－ －1时，t＋(t2＋t－1)＝0，不符合 “对偶点”定义； ∴函数y＝x2＋x－1的图象上只有一对“对偶点”， 故③错误； 故答案为：①(√)；②(√)；③(×)； (2)由题意可得x2＝－y1，y2＝－x1，点(x1，y1)与点(－y1， －x1)且x1≠－y1是一对“对偶点”，由于y＝k1x＋b1是“对 偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有 两式相减可得k1＝1， 同理可得k2＝1. ∴两个一次函数为y＝x＋b1，y＝x＋b2，由于b1，b2都是常 数，且b1·b2<0， ∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图所示． 求得其面积之和S＝ (b12＋b22)； 类型3 圆中的新定义 典例3　[2025·北京]在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角) (1)如图，⊙O的半径为1. ①在点A1( ，0)，A2( ，0)，A3(2，0)中， 点_____是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度 小于90°，该点与⊙O的关联角度为_____°； ②点B(1，m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为_____； (2)已知点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α.若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 解：(1)①根据定义可得，当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN，当A在⊙O内部时，M，N为经过A点的做任意一条弦的两个端点，使得⊙O的关联角度为180°，当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图1，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3(2，0)，⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙O的切线， ∴sin∠MA3O＝ ∴∠MA3O＝30°，∴∠MA3N＝60°， 即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60； ②根据题意可得B为⊙O外一点， ∵BD<1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2，当OB＝2时， 如图2，取点G(1，0)，则∠OGB＝90°， (2)由(1)可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近， ∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠OMA＝∠ONA＝90°， ∴四边形OMAN是矩形，如图3， ∵OM＝ON， ∴四边形OMAN是正方形， ②当EF和半径为t的圆相切时，如图5， ∴t＝3(不包含临界值)， ∴ ≤t<3； ③当E在半径为t的圆上，如图6， t2＝(t－1)2＋32，解得t＝5(不包含临界值)， ∴t>5时，E，F都在⊙T内部， 此时α＝180°； 【跟踪训练3】 1．[2022·上海]定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边 各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦 圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最 大时，这个圆的半径为_______． 解析：如图，当等弦圆O最大时，则⊙O经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， ∵CD＝CK＝EQ，∠ACB＝90°， ∴∠COD＝∠COK＝90°，DK过圆心O，CF⊥AB. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝2， ∴AC＝BC＝ ， AF＝BF＝CF＝ AB＝1. 2．[2025·长春]数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆． 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B.如图1，以AB为直径作⊙O，再过A，B两点作⊙O′(O′与O不重合)，连接O′A，O′B.在△O′AB中，有O′A＋O′B>AB(▲)． ∵O′A＝O′B， ∴2O′A>AB， 即⊙O′的直径大于⊙O的直径， ∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为______． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.⊙O是以AB为直径的圆．请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由； 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图3，在矩形ABCD中，AB＝1 cm，BC＝2 cm. (1)用圆规和无刻度的直尺在图3中作矩形ABCD的最小覆盖圆：(不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点) (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为_____cm； (3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为_____cm. 解：【探究一】三角形的任意两边之和大于第三边； 【探究二】点C在⊙O上． ∵∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴OC＝OA＝OB，∴点C在⊙O上； 【拓展应用】(1)如图1，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆； (2)∵矩形ABCD，AB＝1 cm， BC＝2 cm， ∴在Rt△ABC中， (3)作AD的垂直平分线LJ，交AD于L，交BC于J， ∴四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形， ∴AL＝DL＝BJ＝CJ＝1 cm. ∵用两个等圆完全覆盖矩形ABCD， ∴两圆一定过L，J， 连接AJ，BL，CL，DJ，交点分别为Q，K， 同理可得，这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL或CL或DJ， 如图3，作AB的垂直平分线交AB，CD于V，W， 同法作⊙Q，⊙K，此时不是直径最小的等圆； 综上所述，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD， 则这样的两个等圆的最小直径为 cm. 故答案为： . 类型4 反比例函数中的新定义 典例4　[成都中考]设双曲线y＝ (k>0)与直线y＝x交于 A，B两点(点A在第三象限)，将双曲线在第一象限的一 支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第 三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲 线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中 阴影部分)为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线 y＝ (k>0)的眸径为6时，k的值为___． 【跟踪训练4】 1．定义：如图，反比例函数y＝ (x>0)图象上的点A与反比例 函数y＝ (x<0)图象上的点B关于原点O对应(AB经过原点O)， 且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝ (x<0)是反比例函数y＝ (x>0)的“位似反比例函数”，其中O为位似中心． (1)反比例函数y＝ (x<0)____(填“是”或“不是”)反比例函 数y＝ (x>0)的“位似反比例函数”； (2)若反比例函数y＝ (x>0)的图象过点A(1，4)，它的“位似反 比例函数”为y＝ (x<0)． ①求m的值； ②若点A2 026在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，其对应点B2 026在 “位似反比例函数”y＝ (x<0)的图象上，求证：BB2 026＝2AA2 026. 解：(1)是； (2)①∵点A的坐标为(1，4)， OB＝2OA，且AB过点O， ∴点B的坐标为(－2，－8)， ∴m＝(－2)×(－8)＝16； ②证明：如图， ∵点A2 026在反比例函数y＝ (x>0)的图象上， 其对应点B2 026在“位似反比例函数”y＝ (x<0)的图象上， 整理，得a2＋a＋5＝0. ∵Δ＝12－4×1×5＝－19<0，∴此方程无解， ∴不存在a的值，使得k＝－2， ∴点(－2，1)不在函数 的“均值函数”图象上； ∴b－3＝3－a，∴AP＝BP，CP＝DP， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∴BC＝AD. 类型5 二次函数中的新定义 典例5　[2025·江西]问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m，m)为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点(1，1)为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1： (1)对一次函数y＝kx＋b(k≠0)进行探究后，得出下列结论： ①y＝x＋2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y＝－3x＋2是“不动点函数”，且不动点是( ，0)； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是______；(填写正确结论的序号) (2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： (3)对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2－2bx＋c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式； 探究3： (4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12－x)件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 解：(1)③； (2)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)是“不动点函数”， ∴代入点(m，m)，得m＝mk＋b， 整理，得(1－k)m＝b， 当1－k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数； 当1－k＝0即k＝1时，b＝0； (3)由抛物线y＝x2－2bx＋c＝(x－b)2＋c－b2，得顶点坐标为(b，c－b2)． ∵抛物线y＝x2－2bx＋c的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴b＝c－b2，即b＋b2＝c； (4)该函数是“不动点函数”．理由如下： 根据题意，得y＝(x－6)(12－x)＝－x2＋18x－72， ∴x＝－x2＋18x－72， 整理，得x2－17x＋72＝0， 解得x1＝8，x2＝9， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【跟踪训练5】 1．[菏泽中考]定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的特征数，下面给出特征数为[m，1－m，2－m]的二次函数的一 些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴 ②当m＝2时， 函数图象过原点　③当m>0时，函数有最小值　④如果m<0，当 x> 时，y随x的增大而减小，其中所有正确结论的序号是_______． ①②③ 2．[2024·四川]【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a(x－b)2＋c和y＝－a(x－p)2＋q(a≠0)的图象分别为抛物线C和C1. 定义：若抛物线C1的顶点Q(p，q)在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P(b，c)在C1上． 【理解与运用】 (1)若二次函数y＝－ (x－2)2＋m和y＝－ (x－n)2＋ 的图象都是 抛物线y＝ x2的伴随抛物线，则m＝_____，n＝_____； 【思考与探究】 (2)设函数y＝x2－2kx＋4k＋5的图象为抛物线C2. ①若函数y＝－x2＋dx＋e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛 物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)(x1<x2)，请 直接写出x1的取值范围． 解：(1)2；±1； (2)①y＝x2－2kx＋4k＋5＝x2－2kx＋k2－k2＋4k＋5＝(x－k)2－k2＋4k＋5， ∴顶点坐标为(k，－k2＋4k＋5)． ∵函数y＝－x2＋dx＋e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴－k2＋4k＋5＝－k2＋dk＋e， 整理，得4k＋5＝dk＋e，∴d＝4，e＝5； ②∵C2与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)， 由①得，函数y＝－x2＋4x＋5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴顶点坐标(k，－k2＋4k＋5)在y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9图象上滑动， 抛物线C0的顶点为(2，9)． 当－x2＋4x＋5＝0时，解得x＝－1或x＝5， 抛物线C0与x轴交于(－1，0)，(5，0)两个点， 当C2的顶点在(－1，0)下方时，抛物线C2与x轴有两个交点，x1<－1. ∵若C2是C0的伴随抛物线，则C0也是C2的伴随抛物线， ∴(2，9)在C2上， 当C2的顶点在(5，0)下方时，2<x1<5. 综上所述，2<x1<5或x1<－1. eq \r(3) (－eq \r(2)，eq \r(2)) eq \f(3,5) eq \f(3,5) 解得x＝eq \f(7,6)，∴CH＝eq \f(7,6)，BC＝AC＝eq \f(25,6)，cos∠ACB＝eq \f(7,25). a．若∠ACB＝∠D＝∠CAD，CA＝CD时，CD＝AC＝eq \f(25,6)； b．若∠ACB＝∠D＝∠ACD，AD＝AC时， ∴AD＝AC＝eq \f(25,6)， 作AM⊥CD于点M，∴CM＝DM， ∴eq \f(CM,AC)＝cos∠ACM＝cos∠ACB＝eq \f(7,25)， ∴CM＝eq \f(7,25)×eq \f(25,6)＝eq \f(7,6)，∴CD＝2CM＝eq \f(7,3)； ∴eq \f(CD,BC)＝eq \f(AC,AB)，∴eq \f(CD,\f(25,6))＝eq \f(\f(25,6),5)，∴CD＝eq \f(125,36). 综上所述，满足条件时，CD＝eq \f(25,6)或eq \f(7,3)或eq \f(125,36). eq \f(1,x) eq \f(1,2) eq \f(1,x) eq \f(1,x) eq \f(1,x) eq \f(1,x) eq \f(1,x) ①如图，当a＝eq \f(1,2)时， C1：y1＝eq \f(1,2)(x－1)2＋eq \f(1,2)，C2：y2＝－eq \f(1,2)(x－3)2＋eq \f(7,2)， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)（x－1）2＋\f(1,2)，,y＝－\f(1,2)（x－3）2＋\f(7,2)，)) 解得x＝2±eq \r(2)， 当x＝1时，y1＝eq \f(1,2)，y2＝eq \f(3,2)，有整点(1，1)， 当x＝2时，y1＝1，y2＝3，有整点(2，1)，(2，2)，(2，3)， 当x＝3时，y1＝eq \f(5,2)，y2＝eq \f(7,2)，有整点(3，3)， 故当a＝eq \f(1,2)时，W内的“整点”个数有5个； eq \f(3,10) 解得a＝eq \f(1,5)， ∴a的取值范围是eq \f(1,5)≤a≤eq \f(3,10). eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \r(2) eq \r(2) eq \r(2) eq \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝k1x1＋b1，,－x1＝－k1y1＋b1，)) eq \f(1,2) (3)由题意可得a≠0，且x1≠－y1时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝2ax12－1①，,－x1＝2a（－y1）2－1②，)) 以上两式相减，得x1－y1＝eq \f(1,2a)， 从而得y1＝x1－eq \f(1,2a)， 代入①整理可得2ax12－x1＋eq \f(1,2a)－1＝0， 此关于x1的一元二次方程必有实数根， 当Δ＝1－8a(eq \f(1,2a)－1)＝－3＋8a＝0时， x1＝－y1＝eq \f(2,3)(不符合题意)． 从而必有Δ＝－3＋8a>0，解得a>eq \f(3,8). eq \f(1,2) eq \f(4,3) eq \f(OM,OA3)＝eq \f(1,2)， ∴m≥BG＝eq \r(OB2－OG2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)， ∴m的最小值为eq \r(3)， 故答案为：eq \r(3)； ∴OA＝eq \r(2)OM＝eq \r(2)r， 当∠MAN≥90°时，r<OA≤eq \r(2)r. ∵点E(1，3)，F(4，3)，T(t，0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t))， ∴EF上距离T最近的点在t<TA≤eq \r(2)t的圆环内， ①当EF和eq \r(2)t的圆相切时，如图4， ∴TA＝3＝eq \r(2)t，解得t＝eq \f(3\r(2),2)； eq \f(3\r(2),2) ④当E在半径为eq \r(2)t的圆上，如图7， 设⊙T的半径为r，则t＝－r， ∴32＋(r＋1)2＝(eq \r(2)r)2， 解得r＝1＋eq \r(11)， ∴t≤－1－eq \r(11)时， 此时90°≤α≤180°， 综上所述，eq \f(3\r(2),2)≤t<3或t>5或t≤－1－eq \r(11). 2－eq \r(2) eq \f(1,2) eq \r(2) 设⊙O的半径为r， ∴CD＝eq \r(r2＋r2)＝eq \r(2)r＝EQ， OF＝1－r，OE＝r. ∵CF⊥AB，∴EF＝QF＝eq \f(\r(2),2)r，∴r2＝(1－r)2＋(eq \f(\r(2),2)r)2， 整理，得r2－4r＋2＝0， 解得r1＝2＋eq \r(2)，r2＝2－eq \r(2). ∵OC<CF，∴r＝2＋eq \r(2)不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为2－eq \r(2). AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(5)， ∴矩形ABCD的最小覆盖圆直径为eq \r(5) cm. 故答案为：eq \r(5)； ∴最小直径为eq \r(12＋12)＝eq \r(2)(cm)． eq \r(2) eq \r(2) eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(3,2) eq \f(k,x) eq \f(m,x) eq \f(m,x) eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(m,x) eq \f(k,x) eq \f(m,x) eq \f(8,x) eq \f(2,x) eq \f(k,x) eq \f(m,x) ∴eq \f(OA,OB)＝eq \f(OA2 026,OB2 026)＝eq \f(1,2). ∵∠AOA2 026＝∠BOB2 026，∴△AOA2 026∽△BOB2 026， ∴eq \f(AA2 026,BB2 026)＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(1,2)，即BB2 026＝2AA2 026. 2．定义：已知反比例函数y＝eq \f(a,x)(a≠0)和y＝eq \f(b,x)(b≠0)，当k＝eq \f(a＋b,2)且a＋b≠0时，称y＝eq \f(k,x)为这两个函数的“均值函数”．回答下列问题： (1)已知反比例函数y＝eq \f(2,x)和y＝eq \f(6,x)，则它们的“均值函数”是； (2)判断：点(－2，1)是否在反比例函数y＝eq \f(a2,x)和y＝eq \f(a＋1,x)的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知b>a>0，反比例函数y＝eq \f(a,x)和y＝eq \f(b,x)的“均值函数”为y＝eq \f(3,x)，点P(m，n)在y＝eq \f(3,x)的第一象限图象上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与y＝eq \f(a,x)和y＝eq \f(b,x)的图象交于点B，A，C，D.求证：BC＝AD. 解：(1)y＝eq \f(4,x)； (2)不在，理由如下： 根据题意，得k＝eq \f(a2＋a＋1,2)， 若y＝eq \f(k,x)经过点(－2，1)， ∴k＝－2，∴eq \f(a2＋a＋1,2)＝－2， y＝eq \f(a2,x)和y＝eq \f(a＋1,x) (3)证明：∵点P(m，n)在y＝eq \f(3,x)的图象上， ∴P(m，eq \f(3,m))或P(eq \f(3,n)，n)， ∵AB⊥x轴，∴A(m，eq \f(b,m))，B(m，eq \f(a,m))， ∴AP＝eq \f(b,m)－eq \f(3,m)＝eq \f(b－3,m)，BP＝eq \f(3,m)－eq \f(a,m)＝eq \f(3－a,m). ∵CD⊥y轴，∴C(eq \f(a,n)，n)，D(eq \f(b,n)，n)， ∴CP＝eq \f(3,n)－eq \f(a,n)＝eq \f(3－a,n)，DP＝eq \f(b,n)－eq \f(3,n)＝eq \f(b－3,n). ∵y＝eq \f(a,x)和y＝eq \f(b,x)的“均值函数”为y＝eq \f(3,x)， ∴eq \f(a＋b,2)＝3， eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $专题七　圆的综合题 类型1 与圆的性质有关的证明及计算 典例1　[2025·连云港]已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外 接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆(保 留作图痕迹，不写作法)； (2)如图2，若⊙O的半径为R，求证：R＝ (3)如图3，延长AD交⊙O于点E，过点E的切线交OC的延长线于 点F.若BC＝7，AD＝3 ，∠ACB＝60°，求CF的长． 解：(1)如图1所示，⊙O即为所求作的△ABC的外接圆； (2)证明：如图2，作⊙O的直径AM， 连接BM， ∴∠ABM＝90°，AM＝2R. ∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°. ∵∠ACB＝∠AMB， ∴△ABM∽△ADC， (3)如图3，连接OE， ∵EF为⊙O的切线，∴∠OEF＝90°. ∵∠ACB＝60°，∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠EOC＝60°，∠F＝30°. ∵OE＝OC， ∴△OEC是等边三角形，∠OEC＝∠OCE＝60°， ∴∠CEF＝30°，∠CEF＝∠F， ∴CE＝CF＝R. 【跟踪训练1】 1．[2024·成都]如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O， 交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. (1)求证：BC·DF＝BF·CE； (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝ ，AF＝4 ，求CF的长和⊙O 的直径． 解：(1)∵BD是⊙O的直径， ∴∠BFD＝90°＝∠C. 又∵∠CEB＝∠FDB， ∴△EBC∽△DBF， ∴BC·DF＝BF·CE； (2)由(1)可知，△EBC∽△DBF， ∴∠EBC＝∠DBF， ∴∠EBC－∠FBE＝∠DBF－∠FBE， ∴∠CBF＝∠EBA. ∵∠A＝∠CBF， ∴∠A＝∠EBA，∴AE＝BE. ∵∠A＝∠CBF， ∴90°－∠A＝90°－∠CBF， ∴∠ABC＝∠CFB. 2．[2025·宁夏]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD， 连接BD. (1)求证：∠CBD＝∠BDC； (2)延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE.求证： 证明：(1)∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BDC； (2)∵BE＝AD， ∴AB＋AD＝AB＋BE＝AE. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EBC＝∠ADC. 由(1)知∠CBD＝∠BDC， ∴BC＝CD. 在△EBC和△ADC中， ∴△EBC≌△ADC(SAS)， ∴EC＝AC，∠BCE＝∠DCA. ∵∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA， ∴∠ACE＝∠BCD. 又∵∠BAC＝∠BDC，∠BDC＝∠CBD， ∴∠BAC＝∠CBD，即∠EAC＝∠CBD， ∴△EAC∽△DBC， 3．[2025·河北]如图1，图2，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF 所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2， 点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线 段OB于点M，记为 . (1)如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； (2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； (3)当∠EOF＝150°时，求 的长． 解：(1)∵正方形ABCD的边长为5， ∴AD＝CD＝5. ∵AE＝3，∴ED＝DF＝2. ∵OE＝OF＝2，∴ED＝DF＝OE＝OF， ∴四边形EOFD是菱形． ∵∠EDF＝90°， ∴四边形EOFD是正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMF＝ ∠EOF＝45°； (2)∵四边形OEMF为菱形， ∴EM＝MF＝OE＝OF. ∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上， ∴OE＝OM＝EM＝2， ∴△OEM是等边三角形． 如图1所示，连接EF交BD于点G， 类型2 与切线性质有关的证明及计算 典例2　[2025·成都]如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连 接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在 上取点E，使 ，连接BE，交AC于点F. (1)求证：BE∥CD； (2)若sinD＝ ，BD＝1，求半圆O的半径及 EF的长． 解：(1)连接OC，OE. ∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD. ∴∠EOC＝∠BOC. 又∵OE＝OB， ∴OC⊥BE，∴BE∥CD； (2)设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r， ∵BD＝1，∴OD＝r＋1. ∵OC⊥CD， ∴r＝2，即半圆O的半径为2， ∴AB＝2r＝4. 连接AE， 则∠AEB＝90°. 【跟踪训练2】 1．[2025·湖北]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD＝FG； (2)若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 解：(1)∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线， 即DF⊥GF， ∴AB∥GF， ∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝90°－45°＝45°， 即△DFG是等腰直角三角形， ∴FD＝FG； (2)∵DF⊥AB， ∴AE＝BE＝ AB＝6. ∵∠BAC＝45°， ∴∠ADE＝90°－45°＝45°， 即△ADE是等腰直角三角形， ∴EA＝ED＝6， 由(1)得FD＝FG＝10， ∴EF＝DF－DE＝10－6＝4. 如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE＋EF＝x＋4＝OA， ∴在Rt△AOE中， OA2＝AE2＋OE2， ∴(x＋4)2＝62＋x2， 2．[2025·德阳]在⊙O中直径AB与弦CD交于点E， 连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD 的延长线与BF的延长线相交于点G. (1)若∠AFB＝70°，求∠G的度数； (2)连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M. ①证明：DM⊥AC； ②若CD·AF＝16，求⊙O的直径． 解：(1)∵AB是⊙O的直径，BG是⊙O的切线， ∴∠ABF＝90°. ∵∠AFB＝70°， ∴∠BAF＝20°. ∴∠ADC＝2∠BAF＝40°， ∴∠GDF＝∠ADC＝40°， ∴∠G＝∠AFB－∠GDF＝70°－40°＝30°； (2)①∵ ∴∠ADC＝2∠BAD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠ADC＝2∠ADO， ∴∠ODC＝∠ODA. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠OCD＝∠OAD. 又∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠CAD＝∠ACD. 又∵MD＝MD， ∴△CMD≌△AMD(AAS)， ∴∠AMD＝∠CMD＝ ＝90°， ∴DM⊥AC； ②连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ABF. 又∵∠BAD＝∠BAD， ∴△ABD∽△AFB， ∴ ，∴AB2＝AD·AF， 由①知，∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD，∴AB2＝CD·AF. ∵CD·AF＝16，∴AB＝4. 3．[2025·凉山州]如图1，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B，理由如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＋∠B＝90°. ∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥AB， ∴∠PAB＝90°， ∴∠CAB＋∠PAC＝90°， ∴∠PAC＝∠B. (1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由； (2)小明进一步探究发现：如图3，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC·PB.请你替小明证一证； (3)拓展应用：如图4，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长． 解：(1)如图所示，连接OA，OC， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°， ∴∠CAO＋∠PAC＝90°， ∴2∠CAO＋2∠PAC＝180°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠AOC＋∠OAC＋∠OCA＝180°， ∴∠AOC＋2∠OAC＝180°， ∴∠AOC＝2∠PAC. 又∵∠AOC＝2∠B， ∴∠PAC＝∠B； (2)证明：由(1)可得∠PAC＝∠B， 又∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA， ∴PA2＝PB·PC； (3)∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°. ∵⊙O的半径为1，∴OA＝OB＝OC＝1. 在Rt△BOC中，由勾股定理， ∵∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°. 又∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°. ∵BC的延长线与过点A的切线相交于P， ∴PA⊥OA， ∴∠PAO＝90°，∴∠CAO＋∠PAC＝90°. ∵∠OAC＝60°，∴∠PAC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC＋∠BAC＝45°＋30°＝75°. ∵∠ABC＝ ∠AOC＝30°， ∴∠P＝180°－∠ABP－∠BAP＝75°， ∴∠ACP＝180°－∠P－∠PAC＝75°， ∴∠P＝∠ACP，∴AP＝AC＝1. 设PC＝x， 则PB＝PC＋BC＝x＋ ， 类型3 与切线判定有关的证明及计算 典例3　[2025·苏州]如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)若AB＝ ，sin∠AED＝ ，求BE的长． 解：(1)证明：∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC， ∵∠C＝∠BAD，∴∠BAD＝∠DBC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠DBA＝90°， ∴∠DBC＋∠DBA＝90°， 即∠CBA＝90°， ∴AB⊥BC， ∴BC为⊙O的切线； 【跟踪训练3】 1．[2025·遂宁]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连 接AC，BC，延长AB至点D，连接CD，使∠BCD＝∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)点E是 的中点，连接BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O 于点H，交AB于点G，连接BH，若BD＝2，CD＝4，求BF·BH的值． 解：(1)证明：连接OC， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， 即∠1＋∠2＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠1. ∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠1， ∴∠BCD＋∠2＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线； ∵∠CEB＝∠A， ∴△CEB∽△FAB， 即BE·BF＝AB·BC. ∵EH⊥AB，∴AB垂直平分EH， ∴BE＝BH， ∴BE·BF＝BH·BF＝AB·BC， 2．[2025·泸州]如图，AB，CD是⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB＝EC，连接DE交AB于点G. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若AF＝10，sinF＝ ，求EG的长． 解：(1)证明：如图1所示， 连接OE， ∵BE是⊙O的切线， ∴OB⊥BE，即∠OBE＝90°. 在△OEC和△OEB中， ∴△OEC≌△OEB(SSS)， ∴∠OCE＝∠OBE＝90°， ∴OC⊥CE. ∵OC是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； (2)如图2所示，过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M， 设OA＝OC＝r， 则OF＝OA＋AF＝r＋10， 由(1)可得∠OCF＝90°， 在Rt△OCF中， ∴3OC＝OF，∴3r＝r＋10， ∴r＝5，∴OA＝OC＝5， ∴AB＝CD＝2OA＝10，OF＝15， ∴BF＝OF＋OB＝20. 3．[2025·云南]如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF. (1)若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数； (2)求证：直线CF是⊙O的切线； (3)探究、发现与证明：已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC·CE＋bAB·AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC·CE＋bAB·AE成立；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵CE＝CB，且∠CBE＝60°， ∴△CBE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°； (2)如图1，连接CO并延长交⊙O于点M，连接EM， ∵CM是⊙O的直径， ∴∠CEM＝90°，即∠AEC＋∠AEM＝90°. ∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF， ∴∠ACF＋∠ACM＝90°， ∴∠MCF＝90°， ∴OC⊥CF. ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CF是⊙O的切线； (3)存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC·CE＋bAB·AE成立． 理由如下： 如图2，设AC与BE相交于点N， ∵AC平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC. ∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC， ∴CE＝CB. ∵∠AEB＝∠BCA， ∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB， ∴BC2＝AC·CN①， AE·AB＝AC·AN②， ①＋②，得BC2＋AE·AB＝AC·CN＋AC·AN＝AC(CN＋AN)＝AC2. ∵CE＝CB， ∴AC2＝BC·CE＋AB·AE， ∴a＝1，b＝1. eq \f(AC·AB,2AD)； eq \r(3) ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AM,AC)，即eq \f(AB,AD)＝eq \f(2R,AC)，∴R＝eq \f(AB·AC,2AD)； 在Rt△ADC中，AD＝3eq \r(3)， ∠ACB＝60°，tan60°＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(3\r(3),CD)， ∴CD＝3，BD＝BC－CD＝7－3＝4， 在Rt△ACD中，AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(（3\r(3)）2＋32)＝6， 在Rt△ABD中，AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(42＋（3\r(3)）2)＝eq \r(43)， 代入R＝eq \f(AB·AC,2AD)，得R＝eq \f(\r(129),3)， 即CF＝eq \f(\r(129),3). eq \r(5) eq \r(5) ∴eq \f(EC,DF)＝eq \f(CB,FB)， ∵tan∠BFC＝eq \r(5)， ∴tan∠BFC＝tan∠ABC＝eq \r(5)， ∴eq \f(CB,CF)＝eq \f(AC,BC)＝eq \r(5). 设CF＝x，那么CB＝eq \r(5)x， ∵AF＝4eq \r(5)，∴eq \f(x＋4\r(5),\r(5)x)＝eq \r(5)，∴x＝eq \r(5)， ∴CF＝eq \r(5)，CB＝eq \r(5)x＝eq \r(5)×eq \r(5)＝5. 设EF＝y， 那么AE＝AF－EF＝4eq \r(5)－y＝BE， 在Rt△CEB中，CE＝EF＋CF＝y＋eq \r(5)，CB＝5，BE＝4eq \r(5)－y， ∴(y＋eq \r(5))2＋52＝(4eq \r(5)－y)2， ∴y＝eq \r(5)， ∴EF＝eq \r(5). 在Rt△CFB中，CF＝eq \r(5)，BC＝5， ∴BF＝eq \r(CF2＋BC2)＝eq \r(（\r(5)）2＋52)＝eq \r(30). ∵BC·DF＝BF·CE， ∴5DF＝eq \r(30)×2eq \r(5)，∴DF＝2eq \r(6). ∴BD＝eq \r(DF2＋BF2)＝eq \r(（2\r(6)）2＋（\r(30)）2)＝3eq \r(6)， ∴⊙O的直径是3eq \r(6). eq \f(AC,AB＋AD)＝eq \f(BC,BD). eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AD，,∠EBC＝∠ADC，,BC＝DC，)) ∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(AE,BD)，∴eq \f(AC,AE)＝eq \f(BC,BD)，即eq \f(AC,AB＋AD)＝eq \f(BC,BD). eq \o(EMF,\s\up15(︵)) eq \o(EMF,\s\up15(︵)) eq \f(1,2) ∴EF⊥BD，∴∠MEG＝eq \f(1,2)∠MEO＝30°， ∴MG＝OG＝eq \f(1,2)EM＝1， ∴EG＝eq \r(EM2－MG2)＝eq \r(3). ∵∠EDG＝45°， ∴△EGD是等腰直角三角形， ∴EG＝DG＝eq \r(3)， ∴ED＝eq \r(EG2＋DG2)＝eq \r(6)； (3)如图2所示，当eq \o(EMF,\s\up15(︵))是劣弧时， ∵∠EOF＝150°，半径OE＝2， ∴eq \o(EMF,\s\up15(︵))＝eq \f(150π×2,180)＝eq \f(5π,3)； 如图3所示，当eq \o(EMF,\s\up15(︵))是优弧时， ∵∠EOF＝150°，半径OE＝2， ∴360°－150°＝210°， ∴eq \o(EMF,\s\up15(︵))＝eq \f(210π×2,180)＝eq \f(7π,3). 综上所述，eq \o(EMF,\s\up15(︵))的长为eq \f(5π,3)或eq \f(7π,3). eq \o(EC,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵)) eq \o(AC,\s\up15(︵)) eq \f(2,3) ∵eq \o(EC,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵))， ∴sinD＝eq \f(OC,OD)＝eq \f(r,r＋1)＝eq \f(2,3)， ∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D， ∴sin∠ABE＝sinD＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(AE,4)＝eq \f(2,3)， ∴AE＝eq \f(8,3)， ∴BE＝eq \r(AB2－AE2)＝eq \f(4\r(5),3). ∵eq \o(EC,\s\up15(︵))＝eq \o(BC,\s\up15(︵))， ∴∠EAF＝∠BAF，∴AF平分∠BAE， ∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长， ∴eq \f(S△AEF,S△ABF)＝eq \f(\f(1,2)AE·EF,\f(1,2)AE·BF)＝eq \f(EF,BF)， ∴eq \f(EF,BF)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(EF,BE)＝eq \f(2,5)， ∴EF＝eq \f(2,5)BE＝eq \f(8\r(5),15). eq \f(1,2) 解得x＝eq \f(5,2)， ∴OA＝x＋4＝eq \f(5,2)＋4＝eq \f(13,2)，∴⊙O的半径为eq \f(13,2). eq \o(AC,\s\up15(︵))＝2eq \o(BD,\s\up15(︵))， ∵eq \o(AC,\s\up15(︵))＝2eq \o(BD,\s\up15(︵))， eq \o(AC,\s\up15(︵))＝2eq \o(BD,\s\up15(︵))， eq \f(180°,2) eq \f(AD,AB)＝eq \f(AB,AF) ∴eq \f(PA,PB)＝eq \f(PC,PA)， 得BC＝eq \r(OC2＋OB2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2). eq \f(1,2) eq \r(2) 由(2)可得PA2＝PB·PC， ∴12＝x(x＋eq \r(2))， ∴x2＋eq \r(2)x－1＝0， 解得x＝eq \f(－\r(2)＋\r(6),2)或x＝eq \f(－\r(2)－\r(6),2)(舍去)， ∴PC＝eq \f(－\r(2)＋\r(6),2). eq \r(10) eq \f(\r(10),10) (2)如图，过点D作DF⊥BC，垂足为F， ∵eq \o(AD,\s\up15(︵))＝eq \o(AD,\s\up15(︵))，∴∠ABD＝∠AED， ∴sin∠ABD＝sin∠AED＝eq \f(\r(10),10). ∵在△ABD中，∠ADB＝90°， AB＝eq \r(10)， sin∠ABD＝eq \f(\r(10),10)， ∴AD＝1，∴BD＝3. ∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴DF∥AB，∴∠BDF＝∠ABD， ∴sin∠BDF＝sin∠ABD＝eq \f(\r(10),10). ∵在△BDF中，∠BFD＝90°，BD＝3， sin∠BDF＝eq \f(\r(10),10)， ∴BF＝eq \f(3\r(10),10). ∵BD＝CD，DF⊥BC， ∴BC＝2BF＝eq \f(3\r(10),5). ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠BAD＝∠BEC. ∵∠C＝∠BAD，∴∠CEB＝∠C， ∴BE＝BC＝eq \f(3\r(10),5). eq \o(AC,\s\up15(︵)) (2)连接EC，∵∠BCD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△BCD∽△CAD， ∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(BD,CD). ∵BD＝2，CD＝4， ∴eq \f(4,AD)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2,4)， ∴AD＝8，eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,2)， ∴AB＝AD－BD＝8－2＝6. 设BC＝a，则AC＝2a， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(2a)2＋a2＝62， ∴a＝eq \f(6\r(5),5)，∴BC＝eq \f(6\r(5),5). ∵点E是eq \o(AC,\s\up15(︵))的中点， ∴eq \o(AE,\s\up15(︵))＝eq \o(EC,\s\up15(︵))， ∴∠3＝∠4. ∴eq \f(BE,AB)＝eq \f(BC,BF)， ∴BF·BH＝6×eq \f(6\r(5),5)＝eq \f(36\r(5),5). eq \f(1,3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OB，,OE＝OE，,CE＝BE，)) sinF＝eq \f(OC,OF)＝eq \f(1,3)， 在Rt△OCF中，由勾股定理，得CF＝eq \r(OF2－OC2)＝eq \r(152－52)＝10eq \r(2)， ∴cosF＝eq \f(CF,OF)＝eq \f(10\r(2),15)＝eq \f(2\r(2),3). 在Rt△BEF中， EF＝eq \f(BF,cosF)＝eq \f(20,\f(2\r(2),3))＝15eq \r(2)， ∴BE＝CE＝EF－CF＝5eq \r(2). 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝eq \r(CE2＋CD2)＝eq \r(（5\r(2)）2＋102)＝5eq \r(6). ∵S△OCF＝eq \f(1,2)CH·OF＝eq \f(1,2)OC·CF， ∴CH＝eq \f(OC·CF,OF)＝eq \f(5×10\r(2),15)＝eq \f(10\r(2),3). ∵∠CHO＝∠DMO＝90°，∠COH＝∠DOM，OC＝OD， ∴△DOM≌△COH(AAS)，∴DM＝CH＝eq \f(10\r(2),3). ∵∠DMG＝∠EBG＝90°，∠DGM＝∠EGB，∴△DGM∽△EGB， ∴eq \f(EG,DG)＝eq \f(BE,DM)，即eq \f(EG,DG)＝eq \f(5\r(2),\f(10\r(2),3))＝eq \f(3,2)， ∴EG＝eq \f(3,2＋3)DE＝3eq \r(6). ∴eq \f(BC,AC)＝eq \f(CN,CB)，eq \f(AE,AC)＝eq \f(AN,AB)， $专题六　反比例函数综合题 类型1 常规类 典例1　[2025·河南]小军将一副三角板按如图方式摆放在平 面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落 在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2，2)， 反比例函数y＝ (x>0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的 点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 解：(1)∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2，2)， 反比例函数y＝ (x>0)的图象经过点C. ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为y＝ ； (2)∵C(2，2)，∴CO2＝22＋22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO， 如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置． ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在y＝ 的图象上， ∴yG＝1，∴EG＝1，由旋转，得AD＝EG＝1， ∴D(－1，4)． 【跟踪训练1】 1．[2024·济南]已知反比例函数y＝ (x＞0)的图象与正比例函数y＝3x(x≥0)的图象交于点A(2，a)，点B是线段OA上(不与点A重合)的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y＝ (x＞0)的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落 在y＝ (x＞0)的图象上时，求点E的坐标． 解：(1)将A(2，a)代入y＝3x，得a＝3×2＝6， ∴A(2，6)， 将A(2，6)代入y＝ ，得6＝ ， 解得k＝12， ∴反比例函数的表达式为y＝ ； (2)设点B(m，3m)，那么点D(m＋3，3m)， 由y＝ 可得xy＝12， 所以3m(m＋3)＝12， 解得m1＝1，m2＝－4(舍)， ∴B(1，3)； (3)如图所示，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°. ∴∠HEB＋∠EBH＝90°. ∵点A绕点B顺时针旋转90°， ∴∠ABE＝90°，BE＝BA， ∴∠EBH＋∠ABF＝90°， ∴∠BEH＝∠ABF， ∴△EHB≌△BFA(AAS)， 设点B(n，3n)，EH＝BF＝6－3n， BH＝AF＝2－n， ∴点E(6－2n，4n－2)，∴(4n－2)(6－2n)＝12， 解得n1＝ ，n2＝2， ∴点E(3，4)或(2，6)(舍去)，∴点E(3，4)． 2．[2025·眉山]如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ 的图象相交于A(1，4)，B(4，m)两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相 似，求点P的坐标． 解：(1)把A(1，4)代入反比例函数y＝ ， 得k＝4， ∴反比例函数解析式为y＝ . 把B(4，m)代入y＝ ， 得m＝1， ∴B(4，1)． 把A(1，4)，B(4，1)代入y＝ax＋b， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋5； (2)令y＝－x＋5＝0时，则x＝5， ∴C(5，0)． ∵点D与点A关于点O对称，A(1，4)， ∴D(－1，－4)． 设点P(x，0)(x<0)． ∵O(0，0)，∴PO＝－x. 类型2 创新类 典例2　[2024·宁夏]在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x＋1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 描点连线：在已画出函数y＝ 的图象的坐标系中画出函数 y＝ 的图象． 解：(1)描点，连线画出函数图象如图所示： (2)【探究发现】 ①将反比例函数y＝ 的图象向___平移__个单位长度得到函数 y＝ 的图象； ②上述探究方法运用的数学思想是( ) A．整体思想　 B．类比思想　 C．分类讨论思想 左 1 向右平移2个单位长度 向 下平移1个单位长度(两空答案可互换) (2，－1) 【跟踪训练2】 1．[2025·贵州]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图1)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： (1)表格中a的值是_____； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 解：(1)100； (2)F与l之间的函数图象，如图所示： (3)由函数图象得F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小． eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(k,x) AO＝eq \r(CO2＋AC2)＝4. eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(k,2) eq \f(12,x) eq \f(12,x) eq \f(3,2) eq \f(k,x) eq \f(k,x) eq \f(4,x) eq \f(4,x) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,4a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝5，)) 又∵A(1，4)，C(5，0)，D(－1，－4)， ∴AO＝eq \r(（1－0）2＋（4－0）)＝eq \r(17)， OD＝eq \r(（－1－0）2＋（－4－0）2)＝eq \r(17)， OC＝5， ∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD， ∴分两种情况：eq \f(AO,PO)＝eq \f(OC,OD)或eq \f(AO,OD)＝eq \f(OC,PO)， 当eq \f(AO,PO)＝eq \f(OC,OD)时，即eq \f(\r(17),－x)＝eq \f(5,\r(17))， 解得x＝－eq \f(17,5)，此时，点P(－eq \f(17,5)，0)； 当eq \f(AO,OD)＝eq \f(OC,PO)，即eq \f(\r(17),\r(17))＝eq \f(5,－x)， 解得x＝－5，此时P(－5，0)． 综上所述，当点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，则点P的坐标为(－eq \f(17,5)，0)或(－5，0)． eq \f(2,x) eq \f(2,x＋1) eq \f(2,x) eq \f(2,x＋1) (3)【应用延伸】 ①将反比例函数y＝－eq \f(1,x)的图象先_____________________，再___ _____________________________________得到函数y＝－eq \f(1,x－2)－1的图象； ②函数y＝－eq \f(1,x－2)－1图象的对称中心的坐标为_________． $专题一　选填压轴题 类型1 规律探究题 典例1　[2025·扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理 的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出， 不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论 领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5； ②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律， 写出第⑤组勾股数为___________． 11，60，61 【跟踪训练1】 1．[2024·日照]在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对 于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成 新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一 列数：2，6，4；第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4；…； 第n次构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4.记an＝2＋x1＋x2 ＋x3＋…＋xk＋4.某小组经过讨论得出如下结论，错误的是( ) A．a3＝84 B. 为偶数 C．an＋1＝3an－6 D．k＝2n－1 2．[2025·镇江]如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，第1次操作：取AC的中点O1，将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O2C2和O2A2……按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段O30C30和O30A30，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C30在点A30的( ) A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 解析：将O1绕点O1分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O1C1和O1A1， 则O1C1＝O1A1且∠C1O1A1＝60°， ∴△C1O1A1为等边三角形， 同理，△CnOnAn皆为等边三角形， ∵将O1B绕点O1逆时针旋转120°， ∴∠BO1C1＝120°， ∵△C1O1A1为等边三角形，A1C1的中点为O2， ∴∠C1O1O2＝30°， ∴∠BO1O2＝120°＋30°＝150°， 同理∠O1O2O3＝∠O2O3O4＝…＝∠OnOn＋1On＋2＝150°， 则∠A1O1O2＝∠A2O2O3＝…＝∠AnOnOn＋1＝180°－150°＝30°， ∵ ＝12， ∴每转到12次后O12nO12n＋1与BO1方向重合，30÷12＝2……6， ∴第30次操作后，O30O31第3个循环中的第6个位置，恰与BO1方向相反， 又∵△C30O30A30为等边三角形， ∴C30A30⊥BO1， 此时点C30在点A30的正北方． 3．[2025·自贡]如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB ＝DC＝2.以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1.以点C 为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC， 交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点 F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交 BC于点E2；又以点E2为圆心……重复以上操作， 则D2 025F2 025的长为_______． 解析：∵在△ABC中， AC＝BC，CD⊥AB于点D， AB＝DC＝2， ∴AD＝BD＝1， ∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1， ∴BE1＝BD＝1， ∵以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1， ∴CD1＝CE1＝ －1. ∵过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1， ∴AD∥D1F1， ∴△CD1F1∽△CDA， 类型2 新定义题 典例2　[2025·河南]定义：有两个内角的 差为90°的三角形叫做“反直角三角形”． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点 P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 ______． 解析：∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C. ∵∠APC＝∠B＋∠BAP， ∴∠APC>∠B，∴∠APC>∠C. 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC－∠C＝90°时，如图1， 过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BD＝CD＝ BC＝4， ②当∠APC－∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，如图2， ∴∠APC－∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM，∴AM＝PM. ∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ③当∠CAP－∠C＝90°时， ∴∠C>30°，∴∠BAC<120°. 若∠CAP＝∠C＋90°，则∠CAP>120°， 即∠CAP>∠BAC，∴此种情况不存在； ④当∠CAP－∠APC＝90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小， 此时∠APC＝∠B>30°， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为 【跟踪训练2】 1．[2025·泸州]对于任意实数a，b，定义新运算：a※b＝ 给出下列结论：①8※2＝8 ②若x※3＝6，则x ＝6　③a※b＝(－a)※(－b)　④若(2x－4)※2<5x，则x的取 值范围为x> .其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．[2025·兰州]如图，黄金矩形ABCD中 ，以宽AB为 边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形，依此 作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E， G，L为圆心作 ，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD ＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为_________．(结果用π表示) 3.[婆罗摩笈多模型][2023·大庆]如图，在△ABC中，将AB绕点A顺 时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′(0°<α<180°， 0°<β<180°)，得到△AB′C′，使∠BAC＋∠B′AC′＝180°，我 们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的中线AD叫做 △ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 _______. ①△ABC与△AB′C′面积相同 ②BC＝2AD ③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC＋∠CC′B′＝180° ④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10 ①②③ 类型3 多结论论断题 典例3　[2025·遂宁]如图，在边长为1的正方形 ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连 接CE并延长至点F，连接BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H.有 下列结论：①AE＝CE　②BE＋AE＝EF　③ 　 ④点M是 BC边上一动点，连接HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处， 连接BP交HM于点Q，连接DQ，则DQ的最小值为 .其中 正确的结论有_______．(填序号) ①②④ 解析：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点， ∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD， 又∵DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE(SAS)， ∴AE＝EC，故①正确； 如图1，在FC上取一点G，使得BG＝BE， ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠ADE＝45°，∠BAD＝90°，AD＝CD. ∵∠BAE＝15°， ∴∠DAE＝90°－15°＝75°， ∴∠AED＝180°－45°－75°＝60°. ∵△ADE≌△CDE， ∴∠AED＝∠CED＝60°，∠DAE＝∠DCE＝75°， ∴∠HEB＝∠CED＝60°，∠BCE＝∠BAE＝15°， ∴△GEB是等边三角形， ∴∠EBG＝60°，EG＝BE. 又∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCF＝15°， ∴∠FBC＝180°－15°－15°＝150°. ∵∠DBC＝45°， ∴∠FBG＝∠FBC－∠GBE－∠CBE＝150°－60°－45°＝45°＝∠CBE， ∴△FBG≌△CBE(SAS)，∴FG＝CE， ∴EF＝EG＋FG＝EC＋BE＝AE＋BE， 即BE＋AE＝EF，故②正确； 如图3， ∵点M是BC边上一动点，连接HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处， ∴PQ⊥HM，∴∠HQB＝90°， ∴Q在以HB为直径的圆上运动， 取HB的中点T，连接TD， ∴当Q在TD上时，DQ取得最小值， 【跟踪训练3】 1．[2024·资阳]已知二次函数y＝－ x2＋bx与y＝ x2－bx的图 象均过点A(4，0)和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成 的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重 合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论： ①b＝2　②PB＝PC　③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正 方形　④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上(Q，B，C三点不共线)， 则△BCQ周长的最小值为5＋ . 其中，所有正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．[2025·青岛]如图，在正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD的 中点．连接BF并延长交AE于点G，交CD的延长线于点M，H为BE的 中点，连接GH，CH，CG.下列结论：①CH∥AE　②∠M＝30°　 ③S△CGH＝ S正方形ABCD　④AG·MF＝CD·AF.正确的是_____．(填 序号) ①④ 解析：∵正方形ABCD， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°. ∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE(SAS)， ∴∠AED＝∠BEC. ∵点H为BE的中点，∴HC＝HE＝ BE， ∴∠HCE＝∠BEC， ∴∠HCE＝∠AED， ∴CH∥AE，故①正确； ∵正方形ABCD，∴AB∥CD，即AB∥DM， ∴∠M＝∠ABF. ∵正方形ABCD， ∴AD＝AB，∠BAF＝90°. ∵点F为AD的中点， ∴∠M≠30°，故②错误； ∵CH∥AE，∴S△CGH＝S△CEH. 设正方形ABCD的边长为2a， ∴S正方形ABCD＝(2a)2＝4a2， ∵正方形ABCD， ∴AD＝AB，∠ADE＝∠BAF＝90°. ∵点E，F分别为CD，AD的中点， ∴DE＝AF，∴△ADE≌△BAF(SAS)， ∴∠EAD＝∠FBA， ∴∠M＝∠EAD. ∵AB∥DM，∴△ABF∽△DMF， ∵点F为AD的中点， ∴DM＝AB＝CD. ∵∠AFG＝∠MFD，∠M＝∠EAD， ∴△AFG∽△MFD， ∴AG·MF＝CD·AF，故④正确． 类型4 对函数图象的分析与判断 典例4　[2025·贵州]如图，一次函数y＝x(x≥0)与反比例函 数y＝ (x>0)的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴 垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1.有 以下结论： ①线段AB的长为8 ②点C的坐标为(3，3) ③当x>3时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练4】 1．[2024·武汉]如图，小好同学用计算机软件绘 制函数y＝x3－3x2＋3x－1的图象，发现它关于点 (1，0)中心对称．若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3) ……A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的 横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20的 值是( ) A．－1 B．－0.729 C．0 D．1 2．[2024·广州]函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝ 的图象如图所示， 当 时，y1，y2均随着x的增大而减小( ) A．x<－1 B．－1<x<0 C．0<x<2 D．x>1 类型5 最值问题 典例5　[2024·泸州]如图，在边长为6的正方 形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点， 且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中 点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM＋ FG的最小值是( ) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°. 又∵AE＝BF， ∴△ADE≌△BAF(SAS)， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DOF＝∠ADO＋∠DAO＝∠BAF＋∠DAO＝∠DAB＝90°. ∵点M是DF的中点， ∴OM＝ DF. 如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∵∠FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB， BG＝BH， ∴△FBG≌△FBH(SAS)， ∴FH＝FG， ∴OM＋ FG＝ DF＋ HF＝ (DF＋HF)， ∴当H，D，F三点共线时，DF＋HF有最小值，即此时OM＋ FG 有最小值，最小值即为DH的长的一半． ∵AG＝2GB，AB＝6， ∴BH＝BG＝2，∴AH＝8， 在Rt△ADH中， 由勾股定理得DH＝ ＝10， ∴OM＋ FG的最小值为5. 【跟踪训练5】 1．[2024·德阳]一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4(单位：dm)的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N(点N可与端点重合)，再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1.小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动 ②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大 ③DA1的最小值为2 －2 ④DA1达到最小值时，MN＝5－ . 你认为小王同学得到的结论正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵正方形纸片ABCD的边长为4，AE＝BE， ∴AE＝BE＝ AB＝2. 由折叠的性质可知，A1E＝AE＝2， ∴当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动．故①正确； 连接DE，如图1， ∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，AE＝2， ∴在Rt△ADE中， 如图2，DA1达到最小值时，点A1在线段DE上， 由折叠可得∠NA1E＝∠A＝90°， ∴∠DA1N＝90°，∴∠DA1N＝∠A. ∵∠A1DN＝∠ADE， ∴△A1DN∽△ADE， ∵∠DEA1＝∠NEA1－∠NED＝∠NEA－∠NED＝∠NEA－(∠AED－∠NEA)＝2∠NEA－∠AED， ∴当∠NEA最大时，∠DEA1有最大值，A1D有最大值，此时，点N与点D重合． 过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，如图3， ∵∠A＝90°， ∴四边形AGA1P是矩形， ∴A1G＝AP＝AE＋EP. 当A1D取得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值． ∵∠A1EP＝180°－∠AEN－∠A1EN＝180°－2∠AEN， ∴∠A1EP有最小值， ∴在Rt△A1EP中， EP＝A1E·cos∠A1EP有最大值， 即A1G＝AP＝AE＋EP有最大值， ∴点A1到AD的距离最大．故②正确． 综上所述，正确的共有3个． 2.[定角定弦][2025·宜宾]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， BC＝6.将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一 点D，连接AD，使得△ACD面积为24，连接BD，则BD的最大值是 _______． 解析：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连接AD， ∴∠ACD＝90°. ∵△ACD面积为24， ∴ AC·CD＝24， ∴AC·CD＝48. 过点C向上作线段CE⊥BC， 使得CE＝8. ∵BC＝6， ∴BC·CE＝6×8＝48， 即AC·CD＝BC·CE， 连接DE， ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠ACD＝90°. ∵∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE， ∴∠ACB＝∠ECD. ∴△CED∽△CAB， ∴∠EDC＝∠ABC＝90°， 故点D在以CE为直径的圆上． 3．[2025·镇江]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°， AC＝BC＝8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交 BC于点N，延长MD到点P，使得DP＝ MD.当△PNB面积最大时， AM的长等于__． 2 提示：连接CD，过点N作NH⊥CD于点H，延长DP至点Q，使PQ＝PD，连接BQ，如图． 类型6 代数推理 典例6　[2024·河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是( ) A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6 000 D．运算结果可以表示为4 100a＋1 025 【跟踪训练6】 [2024·山东]根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180 cm ②1班学生的最低身高小于150 cm ③2班学生的最高身高大于或等于170 cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ eq \f(an,3) eq \f(360°,30°) (eq \f(\r(5)－1,2))2 025 ∴AC＝BC＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5). ∴CE1＝BC－BE1＝eq \r(5)－1. ∴eq \f(CD1,CD)＝eq \f(D1F1,AD)＝eq \f(CF1,AC)，即eq \f(\r(5)－1,2)＝eq \f(D1F1,1)＝eq \f(CF1,\r(5))， ∴D1F1＝eq \f(\r(5)－1,2)，CF1＝eq \f(5－\r(5),2). eq \r(5) ∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2， ∴D1F1＝F1F2＝eq \f(\r(5)－1,2)， ∴CF2＝CF1－F1F2＝3－eq \r(5). ∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2， ∴CD2＝CF2＝3－eq \r(5). ∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2， ∴∠CD1F1＝∠CD2E2＝90°. ∵∠F1CD1＝∠D2CE2，∴△CD2E2∽△CD1F1， ∴eq \f(CD2,CD1)＝eq \f(D2E2,D1F1)，即eq \f(3－\r(5),\r(5)－1)＝eq \f(D2E2,\f(\r(5)－1,2))，∴D2E2＝(eq \f(\r(5)－1,2))2， 同理可得，D3F3＝(eq \f(\r(5)－1,2))3，D4E4＝(eq \f(\r(5)－1,2))4…… ∴D2 025F2 025的长为(eq \f(\r(5)－1,2))2 025. eq \f(25,4)或eq \f(11,2) eq \f(1,2) ∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝3. ∵∠B＝∠C， ∴∠APC－∠B＝∠BAP＝90°. ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴eq \f(AB,BP)＝eq \f(BD,AB)，∴eq \f(5,BP)＝eq \f(4,5)，∴BP＝eq \f(25,4)； ∴eq \f(CP,CD)＝eq \f(PM,AD)＝eq \f(CM,AC). 设CP＝x，则BP＝8－x， ∴eq \f(x,4)＝eq \f(PM,3)＝eq \f(CM,5)，∴PM＝eq \f(3,4)x，CM＝eq \f(5,4)x， ∴AC＝AM＋CM＝PM＋CM＝eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)x＝5， ∴x＝eq \f(5,2)，∴BP＝8－eq \f(5,2)＝eq \f(11,2)； ∵sinC＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(3,5)，sin30°＝eq \f(1,2)，且eq \f(3,5)>eq \f(1,2)， eq \f(25,4)或eq \f(11,2). eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a（a≥b），,－a（a<b），))) eq \f(4,7) (eq \r(5)－1)π eq \f(AB,AD)＝eq \f(\r(5)－1,2) eq \o(AF,\s\up15(︵))，eq \o(FH,\s\up15(︵))，eq \o(HK,\s\up15(︵)) eq \f(AH,HB)＝2eq \r(3)－1 eq \f(\r(7)＋\r(3)－2,2) 如图2，过点F作FK⊥BC交CB的延长线于点K， ∵BF＝BC，∴∠FBK＝2∠BCF＝30°， ∴FK＝eq \f(1,2)，BK＝eq \f(\r(3),2). ∵BH∥FK，∴△BHC∽△KFC， ∴eq \f(BH,FK)＝eq \f(BC,CK)，即eq \f(BH,\f(1,2))＝eq \f(1,\f(\r(3),2)＋1)， ∴BH＝2－eq \r(3)，AH＝eq \r(3)－1， ∴eq \f(AH,HB)＝eq \r(3)＋1， 故③错误； ∴BT＝eq \f(1,2)HB＝eq \f(1,2)×(2－eq \r(3))＝1－eq \f(\r(3),2)， ∴AT＝AB－BT＝eq \f(\r(3),2)， ∴TD＝eq \r(AD2＋AT2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(7),2)， ∴DT－eq \f(1,2)HB＝eq \f(\r(7),2)－eq \f(1,2)(2－eq \r(3))＝eq \f(\r(7)＋\r(3)－2,2)，故④正确． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \r(13) eq \f(3,20) eq \f(1,2) ∴AF＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)AB，∴tanM＝tan∠ABF＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,2)， S△CEH＝eq \f(1,2)S△BCE＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×2a×a＝eq \f(1,2)a2， ∴S△CGH＝eq \f(1,8)S正方形ABCD≠eq \f(3,20)S正方形ABCD，故③错误； ∴eq \f(AB,DM)＝eq \f(AF,DF). ∴eq \f(AB,DM)＝eq \f(AF,DF)＝1， ∴eq \f(AG,MD)＝eq \f(AF,MF). ∵DM＝CD，∴eq \f(AG,CD)＝eq \f(AF,MF)， eq \f(9,x) eq \f(k,x) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \r(AD2＋AH2) eq \r(5) eq \r(5) eq \f(1,2) DE＝eq \r(AD2＋AE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5). ∵DA1＋A1E≥DE， ∴DA1≥DE－A1E＝2eq \r(5)－2， ∴DA1的最小值为2eq \r(5)－2.故③正确； ∴eq \f(A1D,AD)＝eq \f(DN,DE)， ∴eq \f(2\r(5)－2,4)＝eq \f(DN,2\r(5))， ∴DN＝5－eq \r(5)， ∴MN＝AD－DN－AM＝4－(5－eq \r(5))－1＝eq \r(5)－2.故④错误； 在△A1DE中，DE＝2eq \r(5)，A1E＝AE＝2， ∴A1D随着∠DEA1的增大而增大． 2eq \r(13)＋4 eq \f(1,2) ∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB). ∵eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)， ∵CE＝8，记圆心为直径CE的中点O，即⊙O的半径OD＝4， 连接BO，并延长与⊙O交于一点，记为D1， 此时BD1为BD的最大值， ∵BO＝eq \r(BC2＋OC2)＝eq \r(36＋16)＝2eq \r(13)， ∴BD1＝BO＋OD1＝2eq \r(13)＋4. eq \f(1,2) $