第七章图形的变换 2026年中考数学一轮复习课件（内蒙古）

该初中数学中考复习课件聚焦“轴对称、中心对称”核心考点，严格对接中考说明，梳理概念、性质、作图及图形折叠等内容，分析近5年6地考点分布，突出识别（6考）、性质应用（8考）等高频考查方向，归纳选择、填空、解答等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于融合2024 - 2025年多地中考真题，如矩形折叠求△BEF周长、正方形中EB + EF最小值等典型题，运用几何直观、空间观念解析对称转化、隐圆模型等技巧，帮助学生掌握解题方法，教师可依此设计专题复习，提升冲刺效率。

微专题9 平面图形的折叠问题 解决平面图形的折叠问题常用方法 角度1　巧用折叠中出现的等腰三角形 【方法点拨】 当折痕过平面图形的对边或对角线时，可利用角平分线(折痕)与平行线的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解． 角度2　巧用折叠中出现的直角三角形 【方法点拨】 平面图形的折叠中易出现与设问相关联的直角三角形，可利用勾股定理或三角函数列方程求解． 角度3　灵活运用折叠中出现的全等、相似模型 【方法点拨】 (1)相似模型 (2)全等模型 类型1 三角形中的折叠 1．[2023·绍兴]如图，在纸片△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝60°，点D，E分别在边AB，AC上， 且AD＝AE，将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC 上的点F处，则BD∶CE＝( ) 2．[2022·黔西南州]在如图所示的Rt△ABC纸片 中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿 着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE.若AE∥DC， ∠B＝α，则∠EAC等于( ) 3．[2022·济宁]如图，三角形纸片ABC中， ∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直 线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处； 再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是( ) 4.[隐圆模型][2023·徐州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点 C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 ． 类型2 平行四边形中的折叠 5．[兰州中考]如图所示，将▱ABCD沿对角线 BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若 ∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( ) A．102° B．112° C．122° D．92° 6．[2022·镇江]如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB＝5， AD＝7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点 为点B′，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB′长的最小值等 于__． 2 7.[隐圆模型][2024·烟台]如图，在▱ABCD中，∠C＝120°， AB＝8，BC＝10.E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将 △DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD′，BD′，则△ABD′面 积的最小值为 . 解析：∵在▱ABCD中，∠BCD＝120°，AB＝8， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD，则∠ABC＝180°－∠BCD＝60°. ∵E为边CD的中点， ∴DE＝CE＝ CD＝4. ∵△DEF沿EF翻折得△D′EF， ∴ED′＝DE＝4， ∴点D′在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM⊥BA交BA延长线于M，交圆E于D′，此时D′到边AB的距离最短，最小值为D′M的长，即△ABD′的面积最小， 过C作CN⊥AB于N，∵AB∥CD， ∴EM＝CN， 在Rt△BCN中， BC＝10，∠CBN＝60°， 8．[2025·无锡]在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°， AB＝4，BC＝8.现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于 点E，F.若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC，则被折痕分成的 △EBF与四边形EFCD的面积的比为_____；若折痕EF将纸片ABCD 分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1∶3， 则折痕EF长的取值范围是____________________________． 1∶7 类型3 矩形中的折叠 9．[2022·菏泽]如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝( ) A．48° B．66° C．72° D．78° 10．[2024·徐州]如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D 在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝____． 11．[2024·济南]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝ ，AD＝2， E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折， 点D的对应点为D′，连接BD′.若BD′＝2，则DF＝________． 解析：如图，连接BE，延长FE交BA的延长线于H， ∵矩形ABCD中AB＝ ，AD＝2，E为边AD的中点， ∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°. ∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′， ∴DE＝D′E. ∵ED＝AE＝1，∠EAH＝∠D＝90°，∠DEF＝∠HEA， ∴Rt△HAE≌Rt△FDE(ASA)， ∴DF＝AH. 12．[2024·威海]将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的 方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点 D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则 DN＝___． 13．[2024·日照]如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(4，0)，C(0，4 )是矩形OABC的顶点，点M， N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折 叠，使点B的对应点B′在边OA的中点处，点C的对应点C′在反 比例函数y＝ (k≠0)的图象上，则k＝________． 类型4 菱形中的折叠 14．[淄博中考]如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为( ) A．78° B．75° C．60° D．45° 15．[烟台中考]对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 16．[包头中考]如图，在边长为 ＋1的菱形ABCD中，∠A＝ 60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC 上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为____． 17．[2023·济南]如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠， 使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC＝30°， AP＝2，则PE的长等于_______． 18．[2022·台州]如图，在菱形ABCD中， ∠A＝60°，AB＝6.折叠该菱形，使点A落 在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD 交于点E，F.当点M与点B重合时，EF的长为____；当点M的位置 变化时，DF长的最大值为________． 类型5 正方形中的折叠 19．[2025·重庆]如图，正方形ABCD的边长为2， 点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻 折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长 DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交 于点H，连接GH，则△DGH的面积为( ) 解析：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1. ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1， DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°. ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)， ∴GF＝GB. 设GB＝GF＝x， 则AG＝2－x，DG＝2＋x， 根据勾股定理可得AG2＋AD2＝DG2， 即(2－x)2＋22＝(2＋x)2， 20．[深圳中考]如图，已知正方形ABCD的边长 为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF， 延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论： ①△ADG≌△FDG　②GB＝2AG　③△GDE∽△BEF　 ④S△BEF＝ .在以上4个结论中，正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．[2022·黔东南州]如图，折叠边长为4 cm的正方形纸片 ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点 F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝__cm. 22．[2023·湖北]如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM. (1)求证：∠AMB＝∠BMP； (2)若DP＝1，求MD的长． 解：(1)证明：由翻折和正方形的性质可得，∠EMP＝∠EBC＝90°，EM＝EB， ∴∠EMB＝∠EBM， ∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠AMB＝∠MBC， ∴∠AMB＝∠BMP； (2)如图，延长MN，BC交于点Q. ∵AD∥BC， ∴△DMP∽△CQP. 又∵DP＝1，正方形ABCD边长为3， ∴CP＝2， ∴QC＝2MD，QP＝2MP. 设MD＝x，则QC＝2x，∴BQ＝3＋2x. 类型6 圆中的折叠 23．[2022·十堰]如图，扇形AOB中，∠AOB＝ 90°，OA＝2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC 折叠，使点B的对应点B′落在射线AO上，则图 中阴影部分的面积为___________． 24．[2022·广元]如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O， 若AB＝2 ，则阴影部分的面积为____． 25．[2024·江西]如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段 AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将 沿DE翻折交直线AB于点 F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为________________． 解析：∵AB为直径，DE为弦， ∴DE≤AB， ∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2. 当DE＝2时，即DE为直径， ∵DE⊥AB， ∴将 沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，故FB＝2； 当DE＝1时，且点C在线段OB之间， 如图1，连接OD，此时OD＝ AB＝1， A．3∶2 B.eq \r(3)∶2 C．2eq \r(3)∶3 D．4∶3 A．α B．90°－α C.eq \f(1,2)α D．90°－2α A.eq \f(13,6) B.eq \f(5,6) C.eq \f(7,6) D.eq \f(6,5) 3eq \r(2)－3 20eq \r(3)－16 eq \f(1,2) ∴CN＝BC·sin60°＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)， ∴D′M＝ME－ED′＝5eq \r(3)－4， ∴△ABD′面积的最小值为eq \f(1,2)×8×(5eq \r(3)－4)＝20eq \r(3)－16. 2eq \r(3)≤EF<4eq \r(3)或2eq \r(13)<EF<2eq \r(21) eq \f(7,8) eq \r(3)－eq \r(2) eq \r(2) eq \r(2) ∵BE＝eq \r(AB2＋AE2)＝eq \r(2＋1)＝eq \r(3)，BD′＝2，D′E＝DE＝1， ∴12＋(eq \r(3))2＝22，即D′E2＋BE2＝BD′2， ∴△BED′为直角三角形． 设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α， ∴∠AEB＝90°－2α，∠AHE＝90°－α， ∴∠HEB＝∠AHE＝90°－α， ∴△BHE为等腰三角形， ∴BH＝BE＝eq \r(3)， ∴AH＝BH－AB＝eq \r(3)－eq \r(2)， ∴DF＝AH＝eq \r(3)－eq \r(2). eq \f(3,2) －eq \f(160\r(2),81) eq \r(2) eq \f(k,x) eq \r(3) eq \r(3) eq \r(2)＋eq \r(6) 3eq \r(3) 6－3eq \r(3) A.eq \f(5,8) B.eq \f(5,4) C.eq \f(5\r(5),8) D.eq \f(5\r(5),4) 解得x＝eq \f(1,2)， ∴DG＝eq \f(5,2)，AG＝eq \f(3,2). ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴S△GDH＝eq \f(GD,GD＋AG＋AD)·S△ADG＝eq \f(\f(5,2),\f(5,2)＋\f(3,2)＋2)×eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×2＝eq \f(5,8). eq \f(72,5) eq \f(5,3) ∴eq \f(MD,QC)＝eq \f(MP,QP)＝eq \f(DP,CP)＝eq \f(1,2)， ∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝∠MBQ，∴MQ＝BQ＝3＋2x， ∴MP＝eq \f(1,3)MQ＝eq \f(3＋2x,3). 在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2， ∴x2＋12＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋2x,3)))2. 解得x1＝0(舍)，x2＝eq \f(12,5). ∴MD＝eq \f(12,5). π＋4－4eq \r(2) eq \f(2,3)π � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� _1824376109.doc eq \r(3) _1824376119.doc eq \o(AB,\s\up15(︵)) _1824376120.doc eq \r(3) _1824376108.doc eq \o(AB,\s\up15(︵)) eq \o(AB,\s\up15(︵)) eq \r(3) 2－eq \r(3)或2＋eq \r(3)或2 eq \o(DBE,\s\up15(︵)) eq \f(1,2) eq \o(DBE,\s\up15(︵)) ∵DE⊥AB，∴DC＝eq \f(1,2)DE＝eq \f(1,2)，∴OC＝eq \r(OD2－DC2)＝eq \f(\r(3),2)， ∴BC＝OB－OC＝eq \f(2－\r(3),2)， ∴BF＝2BC＝2－eq \r(3)； 当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，如图2， 同理可得BC＝eq \f(2＋\r(3),2)， ∴BF＝2BC＝2＋eq \r(3)， 综上所述，可得线段FB的长为2－eq \r(3)或2＋eq \r(3)或2. $第31讲　图形的平移与旋转 【构建知识网络】 知识点1 图形的平移 定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变化称为平移，平移不改变图形的形状和大小 要素 平移的方向和平移的距离 性质 1.平移前后的图形是全等图形 2.一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等 3.对应线段平行(或在同一直线上)且相等、对应角相等 作图 1.确定平移方向和平移距离 2.确定原图形的关键点 3.沿一定的方向和距离，作出关键点的对应点 4.按原图形的方式顺次连接各对应点 5.写出结论 知识点2 图形的旋转 定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，图形的这种变化称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小 要素 旋转中心、旋转方向和旋转角 性质 1.旋转前后的两个图形是全等图形 2.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等 3.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角 4.对应线段相等，对应角相等 作图 1.确定旋转中心，旋转方向和旋转角 2.确定关键点 3.作出关键点的对应点 4.按原图形的方式顺次连接各对应点 5.写出结论 考点1 图形的平移(5年6地12考) 1．[2023·通辽]如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为( ) A．3 B．4 C．5 D．12 2．[2023·赤峰]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( ) A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16 3．[2024·呼伦贝尔]如图，点A(0，－2)，B(1，0)，将线段 AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标 是_________． (4，－4) 2．[2023·通辽]如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为( ) A．24° B．28° C．48° D．66° 3．[2023·包头]如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)， 连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB′，则点B′的坐 标为_________． (－4，8) 4．[2024·通辽]数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE＝1，AB＝2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α(0°≤α≤90°)角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M. 问题1　BE和DF的数量关系是 ，位置关系是 ； 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG.求证：OA＝OD＝OG； 【尝试应用】 问题3　如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度． 解：问题1：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAD＝90°， ∵△AEF是等腰直角三角形，AE＝1， ∴AE＝AF＝1，∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△BAE≌△DAF(SAS)， ∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF， ∵∠AMB＝∠DMG， ∴∠BGD＝∠BAM＝90°， ∴BE⊥DF. 故答案为：BE＝DF，BE⊥DF； 问题2： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵点O是BD的中点， ∴OA＝OB＝OD， ∵BE⊥DF，∴∠BGD＝90°， ∵点O是BD的中点，∴OG＝OB＝OD， ∴OA＝OD＝OG； 问题3：如图， ∵∠BGD＝90°，OB＝OG＝OD， ∴点G在以O为圆心，OD为半径的⊙O上， 过点F作FN⊥AD于点N， 当∠BAE＝α＝60°时， ∠DAF＝α＝60°，∠AFN＝30°， 考点3 平移与旋转的作图(5年6地0考) 1．[赤峰中考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－4，2)，C(－2，1)，且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称． (1)画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2)P(a，b)是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P′(a＋3，b＋1)，请画出平移后的△A2B2C2. 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求作． A1的坐标是(3，－4)； (2)如图，△A2B2C2是所求作的三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)． (1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1； (2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标； (3)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标，并画出△A3B3C3. 解：(1)如图，△A1B1C1为所求作， ∵点C(－1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)， ∴△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1， ∴点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，－2)； (2)∵△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形， ∴A2(3，－5)，B2(2，－1)，C2(1，－3)； (3)如图，△A2B3C3为所求作，A3(5，3)，B3(1，2)，C3(3，1)． 1．[2025·吉林]如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动， 使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心 旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为( ) A．90° B．120° C．150° D．180° 2．[2025·辽宁]在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3， 0)，点B的坐标为(2，－2)，将线段AB平移得到线段CD，点A 的对应点C的坐标为(3，5)，则点B的对应点D的坐标为( ) A．(7，－2) B．(2，3) C．(2，－7) D．(－3，－2) 3．[2025·德阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝( ) A．3 B．2 C．1 D. 4．[2025·自贡]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为( ) A．(－3，5) B．(5，－3) C．(－2，5) D．(5，－2) 5．[2025·天津]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C 的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC 相交于点D，连接CC′.若AC＝4，CD＝3，则线段CC′ 的长为( ) 6．[2024·广元]如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E， 连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1， 则AD的长为( ) 7．[2024·临夏]如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝ 120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′ 满足AA′＝ AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是___． 8．[烟台中考]如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)， D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度， 使其与线段CD重合(点A与点C重合，点B与点D重合)，则这个 旋转中心的坐标为_______． (4，2) 9．[2025·黑龙江]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(1，－3)，C(3，－4)． (1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； (2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； (3)在(2)的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长．(结果保留π) 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作： ∵C(3，－4)， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到C1(3＋1，－4＋5)，即C1(4，1)； (2)如图，△A2B2C2即为所求作，C2(－1，4)； 10．[2025·北京]在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°－2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB，交直线BC于点F. (1)如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC； (2)如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°. ∵线段AD绕点A逆时针旋转180°－2×45°＝90°得到线段AE，点D与点C重合， ∴AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°－∠BAC＝45°， ∴∠EAB＝∠ABC，∴BC∥AE. ∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴BF＝AE，∴BF＝AC； (2)DF＝2BC， 证明：如图，在CD上取一点G， 使得CG＝CB. ∵∠ACB＝90°， ∴AG＝AB， ∴∠AGB＝∠ABG＝α， ∴∠BAG＝180°－2α. ∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°－2α得到线段AE， ∴DA＝EA，∠DAE＝∠GAB＝180°－2α， ∴∠DAG＝∠EAB， ∴△DAG≌△EAB(SAS)， ∴DG＝BE， ∠AGD＝∠ABE＝180°－∠AGC＝180°－α. 又∵∠ABC＝α， ∴∠FBE＝∠ABE－∠ABC＝180°－α－α＝180°－2α. ∵EF∥AB， ∴∠BFE＝∠ABF＝α， ∴∠BEF＝180°－∠FBE－∠BFE＝α， ∴BE＝BF， ∴DG＝BF， ∴DF＝BD－BF＝BD－DG＝BG＝2BC. 考点2 图形的旋转(5年6地20考) 1．[2024·赤峰]如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°.将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是eq \f(1,5)π　②B′A∥BC　③BD＝C′D　④eq \f(AB,AC)＝eq \f(B′B,BD).其中正确的结论 是( ) A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ ∵AF＝AE＝1， ∴AN＝eq \f(1,2)AF＝eq \f(1,2)，FN＝eq \r(AF2－AN2)＝eq \f(\r(3),2)， ∴DN＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，DF＝eq \r(FN2＋DN2)＝eq \r(3)， ∴AF2＋DF2＝1＋3＝4＝AD2， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝30°， ∴∠AOG＝2∠ADF＝60°， ∴当旋转角α从0°变化到60°时，G在eq \o(AG,\s\up16(︵))上运动． ∵AB＝2，OA＝OB，AO⊥BD， ∴OA＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)， ∴点G经过路线的长度为eq \f(60π×\r(2),180)＝eq \f(\r(2)π,3). eq \f(1,2) A.eq \f(12,5) B.eq \f(16,5) C．4 D.eq \f(24,5) A.eq \r(5) B.eq \r(10) C．2 D．2eq \r(2) eq \f(4\r(3),9) eq \f(1,3) (3)OC1＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17)， ∴点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长为eq \f(90π×\r(17),180)＝eq \f(\r(17),2)π. $第七章　图形的变换 第30讲　轴对称、中心对称 【构建知识网络】 知识点1 轴对称和轴对称图形 【注意】 轴对称是针对两个图形而言的，对称轴可能经过图形的内部，也可能在图形的外部；轴对称图形是针对一个图形而言的，对称轴经过图形的内部. 知识点2 中心对称和中心对称图形 中心对称 中心对称图形 图 形 中心对称 中心对称图形 概 念 在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°后能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心 一个图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 性 质 1.成中心对称的两个图形是全等图形 2．在成中心对称的两个图形中，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 1.中心对称图形是一个图形 2．常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形及圆等 中心对称 中心对称图形 作 图 1.确定原图形中的关键点 2．作出它们关于对称中心的对称点 3．根据原图形依次连接各对称点 4．写出结论 知识点3 图形的折叠 实质 平面图形的折叠实质是轴对称变换，折叠前后的两个图形是全等图形 特殊 关系 (以矩 形为例) 全等关系：△BC′D≌△BCD≌△DAB；△ABE≌△C′DE 线段相等：C′D＝CD，BC′＝BC 角相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4 特殊三角形：△BED是等腰三角形 特点 1.折痕是两对称点连接线段的垂直平分线，即BD垂直平分CC′ 2.折痕可看成折叠前后对应线段夹角的平分线 考点1 轴对称图形与中心对称图形的识别(5年6地6考) 1．[2025·内蒙古]下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为( ) 2．[2024·赤峰]在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) 3．[2023·赤峰]剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是( ) 解析：连接AC与BD相交于点H，连接AF，BF，FH， ∵∠ABD＝30°，∠A＝105°， ∴∠ADB＝180°－30°－105°＝45°， 由折叠得AB＝CB，AD＝CD，∠CDB＝∠ADB＝45°， ∴AC⊥BD，∠ADC＝45°＋45°＝90°， ∴∠AHD＝∠AHB＝90°， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴AH＝DH，∠DAH＝45°. 又由旋转得DF＝DC，∠CDF＝30°， ∴AD＝DF，∠ADF＝90°－30°＝60°， ∠FDH＝45°－30°＝15°， ∴△ADF为等边三角形， ∴AF＝DF，∠DAF＝60°， ∴∠FAH＝60°－45°＝15°， ∠BAF＝105°－60°＝45°， ∴∠FAH＝∠FDH， 4.[轴对称+隐圆模型][2021·鄂尔多斯]如图，已知正方形 ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF ＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB＋EF长度 的最小值为_______． 解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∵∠ADF＝∠DCF， ∴∠DCF＋∠CDF＝90°， ∴∠DFC＝90°， ∴点F在以DC为直径的半圆上移动， 如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P， 连接PO交AD于E，交半圆O于F， 则线段FP的长即为BE＋FE长度的最小值， OF＝3. ∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6， ∴OG＝9， 考点3 轴对称与中心对称作图(5年6地0考) (1)观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图1，图2，图3三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： ， ． (2)动手操作：请在图4中设计一个新的图案，使其满足你在(1)中发现的共同特征． 解：(1)都是轴对称图形，面积相等；(答案不唯一) (2)如图： 1．[2025·新疆]下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( ) 2．[2025·自贡]起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是( ) 3．[2024·河北]如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列不一定正确的是( ) A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 4．[2025·长沙]如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边 上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为( ) A．5 B．6 C．6.5 D．7 5．[2025·湖北]如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A(－1，2)，则点C的坐标是( ) A．(2，－1) B．(－2，1) C．(1，－2) D．(－1，－2) 7.[分类讨论][2025·黑龙江]如图所示，在矩形ABCD中，AD＝6， ∠CAD＝60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作 点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为_____． 3或9 解析：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H， 当点P在AC上方时，如图1， ∵在矩形ABCD中， AD＝6，∠CAD＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝12， ∵点E是边CD的中点， ∵点C与点P关于直线EF对称， ∴PE＝CE＝3 ，∠EGC＝∠EGP＝90°. ∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°. ∵∠ACD＝30°，∠ACD＋∠CEH＝∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠CEH＝∠CAD＝60°， ∴∠PEC＝120°. 如图2，当点P在AC下方时， ∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°. ∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°， 由对称的性质得PE＝CE， ∴△CEP是等边三角形， ∴CF＝CH－HF＝3； 综上所述，CF的长为3或9. (1)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． (2)证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处， ∴AB＝AE，∠B＝∠AEF. 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝ ＋1， ∴∠BAE＝∠B＝∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形． ∵AB＝AE，∴四边形ABFE是正方形， ∴AB＝BF＝EF＝AE. 由(1)可知，AB＝2， ∴AB＝BF＝EF＝AE＝2， ∴DE＝CF＝ ＋1－2＝ －1. ∵∠C＝∠D＝∠DEF＝90°， ∴四边形CFED是矩形， ∴EF＝CD＝2， ∴四边形CDEF是黄金矩形； (3)四边形BPQF是黄金矩形，证明： ∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形， ∴∠B＝∠BFE＝∠PQF＝90°， ∴四边形BFQP是矩形． 由(2)可知，AB＝BF＝AE＝EF＝2， ∵G为AE的中点， ∴AG＝EG＝1， 考点2 轴对称的性质(5年6地8考) 1．[2024·呼伦贝尔]如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是( ) A．2eq \r(2) B．2＋eq \r(2) C．4－2eq \r(2) D．eq \r(2) 2．[2024·呼和浩特]如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转 30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED.若EF＝1，则△BED的面积是( ) A.eq \f(1＋\r(3),4) B．eq \f(2＋\r(3),4) C.eq \f(2＋\r(3),2) D．eq \f(1＋\r(3),2) 在△FAH和△FDH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AH＝DH，,∠FAH＝∠FDH，,AF＝DF，)) ∴△FAH≌△FDH(SAS)， ∴∠AHF＝∠DHF， ∵∠AHD＝90°， ∴∠AHF＝∠DHF＝eq \f(360°－90°,2)＝135°， ∴∠BHF＝180°－135°＝45°， ∴∠BAF＝∠BHF，∴A，B，F，H四点共圆， ∴∠AFB＝∠AHB＝90°， ∵点E为AB的中点，∴AB＝2EF＝2， ∵∠ABD＝30°，∴AH＝eq \f(1,2)AB＝1， ∴DH＝1，BH＝eq \r(AB2－AH2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)， ∴BD＝1＋eq \r(3)， ∴S△BED＝eq \f(1,2)S△ABD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)BD·AH＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×(1＋eq \r(3))×1＝eq \f(1＋\r(3),4). 3．[2021·鄂尔多斯]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N，M，则线段A′M的长为( ) A.eq \f(9,5) B．eq \f(8,5) C.eq \f(7,5) D．eq \f(6,5) 3eq \r(13)－3 ∴OP＝eq \r(PG2＋OG2)＝eq \r(62＋92)＝3eq \r(13)， ∴FP＝3eq \r(13)－3， ∴BE＋FE长度的最小值为3eq \r(13)－3. 6．[2025·广州]如图，⊙O的直径AB＝4，C为eq \o(AB,\s\up16(︵))中点，点D在弧BC上，eq \o(BD,\s\up16(︵))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(︵))，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是( ) A．2＋eq \r(7) B．2＋2eq \r(3) C．3＋eq \r(7) D．4＋4eq \r(3) ∴CD＝eq \r(AC2－AD2)＝6eq \r(3). eq \r(3) ∴CE＝eq \f(1,2)CD＝3eq \r(3). ∵PE＝CE， ∴∠CPE＝∠PCE＝eq \f(1,2)(180°－∠PEC)＝30°. ∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°， ∴∠CPE＝∠EFC＝30°，∴△CEF是等腰三角形， ∴CH＝FH＝eq \f(1,2)CF. 在Rt△CEH中，CE＝3eq \r(3)，∠HCE＝30°， ∴CH＝CE·cos∠HCE＝3eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9,2)，∴CF＝2CH＝9； CH＝CE·cos∠ACD＝3eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9,2)， ∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝3eq \r(3)， ∴∠HEF＝30°，EH＝PH＝eq \f(1,2)PE＝eq \f(3\r(3),2)， ∴HF＝EH·tan∠PEF＝eq \f(3\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(3,2)， 8．[2025·广州]宽与长的比是eq \f(\r(5)－1,2)(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD＝eq \r(5)＋1.如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开． 解：(1)∵AD＝eq \r(5)＋1，矩形ABCD是黄金矩形， ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(\r(5)－1,2)， ∴AB＝eq \f(\r(5)－1,2)×(eq \r(5)＋1)＝2； eq \r(5) ∴eq \f(DE,FE)＝eq \f(\r(5)－1,2)， eq \r(5) eq \r(5) ∴FG＝eq \r(EG2＋EF2)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5). 如图，连接PG，由折叠可得，FH＝FB＝2，BP＝PH， ∠PHF＝∠B＝90°， 设BP＝PH＝x，则AP＝2－x， ∵S△APG＋S△PBF＋S△PGF＝S梯形ABFG， ∴eq \f(1,2)×1×(2－x)＋eq \f(1,2)×2x＋eq \f(1,2)×eq \r(5)x＝eq \f(1,2)×(1＋2)×2， 解得x＝eq \r(5)－1， ∴BP＝eq \r(5)－1，∴eq \f(BP,BF)＝eq \f(\r(5)－1,2)， ∴四边形BFQP是黄金矩形． $微专题10 将军饮马模型 类型1 两点一线型 类型 同侧两点求线段和的最小值 异侧两点求线段差的最大值 图示 问题 两定点 A，B 位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 两定点A，B位于直线l的异侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|的值最大 类型 同侧两点求线段和的最小值 异侧两点求线段差的最大值 策略 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为线段AB′的长 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l的交点即为点P，此时|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB′的长 3．如图，A，B两点的坐标分别为A(4，3)，B(0，－1)，在x轴 上找一点P，使线段PA－PB的值最大，则点P的坐标是_________． (－2，0) 4．[2024·西宁]如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向 外作等腰Rt△ABE，点P是对角线AC上的一个动点，连接PB，PE， 则PB＋PE的最小值是______． 类型2 一点两线型 类型 线段最短型 周长最小型 图示 问题 已知一定点P，在直线l1，l2上分别找点A，B 使PA ＋A B 的值最小 已知一定点P，在直线l1，l2上分别找点M，N，使△PMN的周长最小 类型 线段最短型 周长最小型 策略 作点P关于直线l1的对称点P′，作P′B⊥l2于点B，交直线l1于点A，则PA＋AB的最小值为P′B的长 分别作点P关于直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″，与直线l1，l2的交点分别为M，N，此时△PMN的周长最小，为线段P′P″的长 5.[2024·绥化]如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点， 点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小 时，则∠MPN＝_____． 80° 6．[泰安中考]如图，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，点 P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM＋PQ的最小值 为____． 7．[2025·东营]如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM ＋MN的最小值是__． 3 解析：如图，作BH⊥AC于点H， ∵AD平分∠BAC， 作点N关于AD的对称点K， ∴BM＋MN＝BM＋MK≥BH， ∵AB＝6，∠BAC＝30°， ∴BH＝ AB＝6× ＝3， ∴BM＋MN≥3， ∴BM＋MN的最小值是3. 类型3 造桥选址型 类型 定点在直线异侧，定长垂直于线 定点在直线同侧，定长在线上 图示 问题 两定点A，B位于直线m，n两侧，m∥n，在直线m，n上分别找点M，N，使MN⊥m，MN＝d(d为定值)，且AM＋MN＋BN的值最小 两定点A，B位于直线l的同侧，在直线l上分别找点M，N，使MN＝d(d为定值)，且AM＋MN＋BN的值最小 类型 定点在直线异侧，定长垂直于线 定点在直线同侧，定长在线上 策略 将点A向下平移d的长度，得点A′，连接A′B，交n于点N，过点N作MN⊥m于点M，连接AM，此时AM＋MN＋BN的值最小，最小值为A′B＋MN的长 作点A关于直线l的对称点A′，将点A′向右平移d的长度，得点A″，连接A″B，交l于点N，将点N向左平移d的长度，得点M，连接AM，此时AM＋MN＋BN的值最小，最小值为A″B＋MN的长 8.[2022·内江]如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分 别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是___． 10 9．[2022·自贡]如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的 中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF＝1，则GE＋CF的最小 值为____． 10．[2023·德州]如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC， AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1.F，G为边AD上的两个动点， 且FG＝1.当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为____． 过点F作FC′∥GC交BC于点C′，延长BA到E′，使AE′＝AE＝1，连接E′F，E′C′，E′C′交AD于点G′，可得AD垂直平分E′E， ∴E′F＝EF， ∵AD∥BC， ∴四边形CC′FG是平行四边形， ∴C′F＝CG，CC′＝FG＝1， ∴CG＋EF＝C′F＋E′F≥E′C′， 类型4 两点两线型 图示 问题 点P，Q是∠AOB(定角)内部的两定点，在OA，OB上分别找点M，N，使四边形PQMN的周长最小 策略 作点 P关于OB的对称点P′，作点Q关于OA 的对称点Q′，连接 P′Q′，与 OA，OB分别交于点M，N，此时四边形PQMN的周长最小，最小值为 P′Q′＋PQ 的长 11.[玉林中考]如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且 BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，当 四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是___． 解析：如图所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，分别交CD，BC于点Q，P，此时四边形AEPQ的周长最小， ∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1， ∴AA′＝6，AE′＝4. ∵DQ∥AE′，D是AA′的中点， ∴DQ是△AA′E′的中位线， 12．如图，在平面直角坐标系中，点A(6，4)，B(7，2)，点C在 x轴上运动，点D在直线y＝x上运动，则四边形ABCD周长的最小 值是________． 解析：作A关于y＝x的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交y＝x于点D′，交 x轴于点C′， ∵两点之间线段最短，即A′B′最短，由轴对称的性质得到AD′＝A′D′，BC′＝B′C′， ∴四边形ABCD周长的最小值为 AD′＋C′D′＋BC′＋AB ＝A′B′＋AB. 设A′(a，b)， 13．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM ＝1，ON＝4，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最 小值是____. 解析：如图，作M关于OB的对称点M′， 作N关于OA的对称点N′， 连接OM′，ON′，M′P，N′Q，M′N′， ∴M′P＝MP，N′Q＝NQ， MP＋PQ＋QN＝M′P＋PQ＋N′Q≥M′N′， 当M′，P，Q，N′共线时取等号， ∴M′N′的长即为MP＋PQ＋QN的最小值， 类型5 三动点型 图示 问题 在△ABC的三边上分别找点D，E，F，使△DEF的周长最小 策略 分别作点D关于直线AB，AC的对称点D′和D″，连接 D′D″，分别交 AC，AB于点E，F，当线段AD 最短，即 AD⊥BC时，线段D′D″最短，即△DEF的周长最小，最小值为线段D′D″的长 14.[2025·内江]如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°， AB＝ ，点D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF 周长的最小值是_____． 解析：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FM，MN，AD， ∴△DEF周长为DE＋EF＋FD＝NE＋EF＋FM≥MN， 当N，E，F，M四点共线时取得最小值， ∵N，M是D关于AB，AC的对称点， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，AN＝AD＝AM， 又∵∠2＋∠3＝45°， ∴∠NAM＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°， 15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M，N， P分别是边AB，AC，BC上的动点，连接PM，PN和MN，则PM＋PN ＋MN的最小值是____． 1.[2025·南充]如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE＋PF的最小值是( ) A．4 B．2eq \r(7) C．6 D．4eq \r(3) 2．[2024·攀枝花]如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，DC＝4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA＋PE的最小值为( ) A．4 B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．2eq \r(5) 2eq \r(10) eq \r(3) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 3eq \r(2) eq \f(15,4) 解析：∵∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠B＝90°. ∵AB＝3，BC＝4，AE＝1， ∴BE＝AB－AE＝3－1＝2， 在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝eq \r(BE2＋BC2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)， ∵FG＝1， ∴四边形CGFE的周长＝CG＋FG＋EF＋EC＝CG＋EF＋1＋2eq \r(5)， ∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG＋EF最小即可． 即CG＋EF最小时，CG＝C′G′， ∵E′B＝AB＋AE′＝3＋1＝4，BC′＝BC－CC′＝4－1＝3， 由勾股定理，得E′C′＝eq \r(E′B2＋BC′2)＝eq \r(42＋32)＝5， ∵AG′∥BC′， ∴eq \f(C′G′,E′C′)＝eq \f(AB,E′B)，即eq \f(C′G′,5)＝eq \f(3,4)， 解得C′G′＝eq \f(15,4)， 即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为eq \f(15,4). eq \f(9,2) ∴DQ＝eq \f(1,2)AE′＝2，CQ＝DC－DQ＝3－2＝1. ∵BP∥AA′， ∴△BE′P∽△AE′A′， ∴eq \f(BP,AA′)＝eq \f(BE′,AE′)，即eq \f(BP,6)＝eq \f(1,4)，BP＝eq \f(3,2)，CP＝BC－BP＝3－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)， S四边形AEPQ＝S正方形ABCD－S△ADQ－S△PCQ－SBEP＝9－eq \f(1,2)AD·DQ－eq \f(1,2)CQ·CP－eq \f(1,2)BE·BP＝9－eq \f(1,2)×3×2－eq \f(1,2)×1×eq \f(3,2)－eq \f(1,2)×1×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2). eq \r(73)＋eq \r(5) 则AA′中点的坐标为(eq \f(a＋6,2)，eq \f(b＋4,2))在y＝x上， ∴eq \f(a＋6,2)＝eq \f(b＋4,2)，即b＝a＋2>0， 由OA＝OA′得a2＋b2＝62＋42＝52， 即a2＋(a＋2)2＝52， 解得a＝4(a＝－6舍去)，则b＝6， ∴A′(4，6)， 结合对称，由B(7，2)可知B′(7，－2)， ∴A′B′＋AB＝eq \r(（7－4）2＋（－2－6）2)＋eq \r(（7－6）2＋（2－4）2)＝eq \r(73)＋eq \r(5)， ∴四边形ABCD周长的最小值是eq \r(73)＋eq \r(5). eq \r(17) ∴由对称可知，∠N′OQ＝∠NOQ＝30°， ∠M′OP＝∠MOP＝30°，ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝1， ∴∠M′ON′＝90°， 在Rt△M′ON′中，由勾股定理，得 M′N′＝eq \r(OM′2＋ON′2)＝eq \r(17)， ∴MP＋PQ＋QN的最小值为eq \r(17). 2eq \r(3) 2eq \r(2) ∴△AMN是等腰直角三角形， ∴MN＝eq \r(2)AN＝eq \r(2)AD， ∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF的周长最小， 又∵∠B＝60°，AB＝2eq \r(2)， ∴ADmin＝AB·sin60°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)， ∴△DEF周长的最小值为eq \r(2)AD＝eq \r(2)×eq \r(6)＝2eq \r(3). eq \f(24,5) $微专题11 与几何最值有关的模型 模型1 线段最短问题 【方法点拨】 两点A，B位于直线l的异侧，点P在直线l上，求PA＋PB的最小值． 连接AB交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值，为线段AB的长度． 3．[2025·哈尔滨模拟]如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是 中线，E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值 是___. 模型2 垂线段最短 【方法点拨】 点P为直线l外一定点，Q为直线l上一动点，求PQ的最小值． 过点P作PQ⊥直线l，此时PQ长度最小． 4．[2025·广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为____. 5．[2024·凉山州]如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P 是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q， 则PQ的最小值为____. 6．[2023·雅安]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6.P 为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小 值为____. 模型3 *“　胡不归”问题 【方法点拨】 问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上的一动点，要使kAP＋BP(0<k<1)的值最小． 解决步骤：第一步，作角(过点A作∠NAP，使sin∠NAP＝k)； 第二步，作垂直(构造直角三角形，在Rt△APE中将kAP转化为PE)； 第三步，化折为直(kAP＋BP＝PE＋BP≥BE′，利用“垂线段最短”转化为求BE′的长)． 7．[2023·锦州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝ 30°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE， 使AD＝AE；②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为半径作 弧，两弧在∠BAC内交于点M；③作射线AM交BC于点F.若点P是线 段AF上的一个动点，连接CP，则CP＋ AP的最小值是____． 解析：过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CH⊥AB于点H， 由题意，得AF平分∠BAC， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝ ∠BAC＝30°， ∴PQ＝ AP， ∴CP＋ AP＝CP＋PQ≥CH， 8．[2023·湘西州]如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其 半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不 与B，E重合)，则CP＋ BP的最小值为__． 6 9．[2024·凉山州]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN，CN. (1)求证：EN＝CN； (2)求2EN＋BN的最小值． 解：(1)证明：如图，连接AN， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，点C关于直线BD对称， ∴AN＝CN. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN， ∴EN＝CN； (2)过点N作NG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴BN＝2NG. ∵EN＝AN， ∴2EN＋BN＝2AN＋2NG＝2(AN＋NG)≥2AG≥2AH， ∴2EN＋BN的最小值为2AH. *模型4 “　阿氏圆”问题 问题：A，B为⊙O外的两个定点，P为⊙O上一动点，连接PA，PB，OB，OP，OP＝k·OB，求PA＋k·PB的最值． ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， ∴a＋3b＋2c＝a＋6a－6a＝a. ∵a<0， ∴a＋3b＋2c<0，故②正确； ∵对称轴为直线x＝－1， ∴AC≠BC. ∵A(－3，0)，B(1，0)， ∴OA＝3，OB＝1，∴AB＝4. 在y＝ax2＋bx＋c(a<0)中，当x＝0时，y＝c， ∴C(0，c)， ∴OC＝c， 当AC＝AB＝4时，则由勾股定理，得 AC2＝OA2＋OC2， ∴42＝32＋c2， 11．如图，在⊙O中，点A，点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6， 点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动 点，则CM＋2DM的最小值为_____． 12．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径 为4，点P是圆B上的一个动点，则PD－ PC的最大值为_____． 13．[2025·梧州二模]在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是线段AB上的一个动点，以AD为直径作⊙O. (1)当AD＝6时，如图1，求证：⊙O与BC相切； (2)如图2，连接CD，CD与⊙O相交于点E，连接BE，请你求出BE 的最小值并说明理由； (3)如图3，AD＝4，若点P是⊙O上的一个动点，且点P在△ABC 内，连接BP，CP，请你直接写出CP＋ BP的最小值． *模型5“　费马点”问题 【方法点拨】 费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点． (1)对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点； (2)对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． (注意：涉及费马点的试题中，三角形的最大内角通常小于120°) 解决思路：运用旋转的方法，将△ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度． 14．[滨州中考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， AB＝2.若点P是△ABC内一点，则PA＋PB＋PC的最小值为____. 5 16．[2025·宁波模拟]【阅读】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．如图，在△ABC中，如果三角形 内部有一点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝ 120°，则PA＋PB＋PC的值最小． 理由如下： 将△APC绕点A逆时针旋转60°至△AP′C′，连接PP′， ∴∠APC＝∠AP′C′＝120°， ∴AP＝AP′，PC＝P′C′，∠PAP′＝60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP＝PP′，∠APP′＝∠AP′P＝60°， ∴PA＋PB＋PC＝PB＋PP′＋P′C′. ∵∠APB＝∠APC＝∠AP′C′＝120°，∠APP′＝∠AP′P＝60°， ∴点B，P，P′，C′四点在同一条直线上．此时，PA＋PB＋PC的值最小． 【应用】 (1)如图1所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC＝60°，PA＝4，PC＝3，求PB的长； (2)如图2所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连接BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点； (2)证明：如图1，连接PA，过点A作AF⊥CD，AG⊥BE于点F，G， ∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC， ∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE(SAS)， ∴∠ADC＝∠ABE， CD＝BE，S△DAC＝S△BAE， ∴AF＝AG， ∠DAB＝∠BPF＝60°， ∴∠APD＝∠APE＝60°，∠BPC＝120°， ∴∠APB＝∠APC＝120°， ∴点P是△ABC的费马点； (3)如图2，以AP为边向下作等边△AFP， 连接AE，ED，将AE绕点A顺时针旋转60° 得到AG，连接FG， 根据题目可知当G，F，P，D四点共线时， PA＋PD＋PE的值最小， 且∠APD＝∠APE＝∠DPE＝120°. 过点P作PM⊥AB，反向延长PM交DC于点N，如图3， 易证∠AMP＝∠DNP＝90°， AM＝DN， ∠APM＝∠DPN＝30°， ∴AP＝PD， ∴点P在AD边和BC边的垂直平分线上， *模型6 瓜豆原理——主从联动模型 【方法点拨】 【模型介绍】在几何双动点问题中，两个相关联的动点，主动运动的点称为主动点，因主动点运动而“被动”运动的点称为从动点．当这两动点的运动规律出现关联性时，这种关联性问题被称为主从联动问题． 【条件】主从联动问题运用情况之一满足的三个条件(一定两动，定角，定比)：①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角； ③两个动点到定点的距离的比值是定值． 解析：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°. 又∵∠A＝∠ABC＝90°， AB＝4，BC＝3，AD＝1， 如图1，过点D作DG⊥BC于点G， 在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1， 延长FH交AB于点I， 则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠EDG＋∠HDF， ∴∠ADE＝∠HDF， ∴△DHF≌△DAE(SAS)， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°， ∴FH⊥DG，即点F在FH上运动， ∴四边形DAIH是正方形，四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1， BI＝4－1＝3. 如图3，作点D关于AB的对称点M，连接MC，ME， 则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°， 过M作MN⊥CB于点N，此时EC＋ED≥CM， 当C，E，M三点共线时，EC＋ED最小， ∵MN⊥CB，∠ABN＝180°－90°＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴BN＝AM＝1， CN＝3＋1＝4，AB＝MN＝4， 4 16 故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段． 当点P与A重合时，BF1＝AE＝2， 当点P与B重合时，∠BEF2＝∠F2＋∠EBF1＝90°，∠BEF1＋∠EBF1＝90°， ∴∠F2＝∠BEF1. ∵∠EF1F2＝∠EF1B＝90°， ∴△EF1B∽△F2F1E， 19．[2025·哈尔滨模拟]如图，在等边△ABC中，AB＝4，E为 中线AD上一动点，连接EC，将EC绕C逆时针旋转60°得到线段 CF，连接DF，则DF的最小值为__. 1 解析：如图，连接BF， ∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线， ∴AC＝BC＝4，∠ACB＝60°，AD平分∠BAC且AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°，BD＝CD＝2. ∵将EC绕C逆时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB， 则∠ECF－∠ECD＝∠ACB－∠ECD， 即∠BCF＝∠ACE， 二、动点轨迹是圆或弧 20．[2023·宜宾]如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方 形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线 段BQ，连接MQ.若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为_______． 22．[2022·沈阳] 【特例感知】 (1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ； 【类比迁移】 (2)如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由； 【方法运用】 (3)如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点， AC＝3 ，连接 BC. ①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值 是 ； ②若以BC为斜边作Rt△BCD(B，C，D三点按顺时针排列)，∠CDB ＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值． *模型7 逆等线模型 【方法点拨】 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开.,解题方法：利用动线段相等构造SAS型的全等三角形，将两条不相关的所求线段转化到同一个三角形内，使其首尾“拼接”起来，再根据两点间线段最短，求得最小距离. ∴△AEB≌△BNF(SAS)， ∴BE＝NF， ∴DN＝NF， ∴MN＋ND＝MN＋NF≥MF， ∴当点N在线段MF上时，MN＋ND的值最小为MF的长， 24．[2025·长春一模]【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边AB，CD上，且AE＝CF，连接BF，CE.试探究线段BF与CE的长度之和的最小值． 【问题分析】小明以等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值，解决上述几何问题． 【问题解决】如图2，延长DA至点G，使AG＝BC，连接EG.在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：EG＝BF； (2)线段BF与CE的长度之和的最小值为 ； 【方法应用】某种简易广告牌在运输的过程中，由于运输道路状况复杂，车辆行驶时产生的颠簸、震动等外力因素可能会导致广告牌结构松动甚至散架，进而造成损坏并影响后续正常使用．为有效规避此类风险，采用钢丝绳对广告牌进行加固处理是极为必要的防护举措．小明收集了该广告牌的相关数据，并画出了示意图，如图3，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8米，AC＝10米．BM和CN分别是两条固定端点B，C但端点M，N可调节的钢丝绳，点M在AC 上，点N在AB上．在调整钢丝绳端点M，N的位置时， 其长度也随之改变，但需始终保持AN＝CM.钢丝绳BM 与CN长度之和的最小值为 米． 解：【问题解决】(1)证明： ∵在矩形ABCD中，∠DAE＝∠BCF＝90°， ∴∠GAE＝90°， ∴∠GAE＝∠BCF＝90°. ∵AG＝BC，AE＝CF， ∴△AEG≌△CFB(SAS)， ∴EG＝BF； 【方法应用】如图2，作CK∥AB，使得CK＝CA＝10米．作BG⊥KC交KC的延长线于G，连接BK，KM. ∵CK∥AB， ∴∠KCM＝∠A. ∵CK＝CA，CM＝AN， ∴△CKM≌△ACN(SAS)， ∴CN＝KM. ∵CN＋BM＝MK＋MB≥BK， ∴CN＋BM的最小值为BK的长． ∵KG∥AB， ∴∠GCB＝∠ABC＝60°. ∵BG⊥KC， ∴∠CBG＝90°－∠GCB＝30°，∠G＝90°， 在Rt△BCG中， ∵∠G＝90°，BC＝8米， 1．[2025·宜宾模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是BC边上一动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得△AFE，连接DF，点M是线段DF的中点，连接CM，则CM的最小值是( ) A．2 B．2eq \r(3)－1 C.eq \r(5) D．eq \r(13)－eq \f(3,2) 2．[2025·滁州二模]如图，E是边长为2的正方形ABCD的边BC上的一动点，P是线段AE上的一动点，且满足AP·AE＝4，则PD的最小值是( ) A.eq \r(5)－1 B．3 C.eq \r(5)＋1 D．2 解析：如图，连接BP，取AB的中点F，连接PF，DF. ∵正方形ABCD，边长为2， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝2， ∴AF＝eq \f(1,2)AB＝1， ∴FD＝eq \r(AD2＋AF2)＝eq \r(5). ∵AP·AE＝4＝AB2， ∴eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AE). ∵∠PAB＝∠BAE， ∴△PAB∽△BAE， ∴∠APB＝∠ABE＝90°， ∴PF＝eq \f(1,2)AB＝1， ∴DP≥DF－PF＝eq \r(5)－1， ∴当D，P，F三点共线时，DP的值最小为eq \r(5)－1. eq \r(7) 2eq \r(2) 2eq \r(7) 3eq \r(2) 2eq \r(3) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) ∴当C，P，Q三点共线，且与AB垂直时， CP＋eq \f(1,2)AP最小，CP＋eq \f(1,2)AP最小值为CH. ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8， ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝4eq \r(3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CH， ∴CH＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(4×4\r(3),8)＝2eq \r(3)， 即CP＋eq \f(1,2)AP最小值为2eq \r(3). eq \f(1,2) ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴AH＝AB·sin60°＝eq \r(3)， ∴2EN＋BN的最小值为2eq \r(3). 解决步骤：①在OB上取一点C，使得eq \f(OC,OP)＝k，即构造△POC∽△BOP，则eq \f(PC,PB)＝k，PC＝k·PB； ②化折为直，PA＋k·PB＝PA＋PC≥AC，当A，P，C三点共线时可得最小值． 10．[2024·宜宾]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象交x轴于点A(－3，0)，B(1，0)，交y轴于点C.以下结论：①a＋b＋c＝0　②a＋3b＋2c<0　③当以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝eq \r(7) ④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP＋eq \f(2,3)AP的最小值为eq \f(\r(97),3).其中正确结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象经过点B(1，0)， ∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象交x轴于点 A(－3，0)，B(1，0)， ∴抛物线对称轴为直线x＝eq \f(－3＋1,2)＝－1， ∴－eq \f(b,2a)＝－1，∴b＝2a， ∴c＝eq \r(7)或c＝－eq \r(7)(舍去)； 同理当BC＝AB＝4时，可得c＝eq \r(15)； 综上所述，当以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形时， c＝eq \r(7)或c＝eq \r(15)，故③错误； 当c＝3时，C(0，3)，则OC＝3， 如图所示，取点H(－eq \f(4,3)，0)，连接PH，则OH＝eq \f(4,3)， ∴eq \f(OH,OP)＝eq \f(\f(4,3),2)＝eq \f(2,3). ∵eq \f(OP,OA)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(OH,OP)＝eq \f(OP,OA). 又∵∠HOP＝∠POA， ∴△HOP∽△POA， ∴eq \f(PH,PA)＝eq \f(OP,OA)＝eq \f(2,3)， ∴PH＝eq \f(2,3)PA， ∴CP＋eq \f(2,3)AP＝CP＋PH， ∴当点P在线段CH上时，CP＋PH的值最小，即此时CP＋eq \f(2,3)AP的值最小，最小值为线段CH的长， 在Rt△OCH中，由勾股定理得 CH＝eq \r(OH2＋OC2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋32)＝eq \f(\r(97),3)， 故④正确， ∴正确的有3个． 4eq \r(10) 解析：延长OB到点T，使得BT＝OB，连接MT，CT. 由题意，得OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12， ∴eq \f(OM,OD)＝eq \f(OT,OM). ∵∠MOD＝∠TOM， ∴△MOD∽△TOM， ∴eq \f(DM,MT)＝eq \f(OM,OT)＝eq \f(1,2)， ∴MT＝2DM， ∴CM＋2DM＝CM＋MT≥CT. 又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°， OC＝4，OT＝12， ∴CT＝eq \r(OC2＋OT2)＝eq \r(42＋122)＝4eq \r(10)， ∴CM＋2DM≥4eq \r(10). 2eq \r(37) eq \f(1,2) eq \f(1,3) 解：(1)证明：过点O作OH⊥BC于点H， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝10. ∵AD＝6， ∴OA＝OD＝3， ∴OB＝AB－OA＝5. ∵∠BAC＝∠BHO＝90°，∠B＝∠B， ∴△ABC∽△HBO， ∴eq \f(OH,AC)＝eq \f(OB,BC)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)， ∴OH＝3＝OD， ∴点H在⊙O上，且OH⊥BC， ∴⊙O与BC相切； (2)BE的最小值为eq \r(73)－3，理由如下： 连接AE，取AC中点为F，以AC为直径，点F为圆心， 作圆弧eq \o(AG,\s\up16(︵))交BC于点G，连接BF，EF，如图2， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴点E在eq \o(AG,\s\up16(︵))上运动， 当B，E，F三点共线时，BE有最小值， ∵AB＝8，AF＝EF＝eq \f(1,2)AC＝3， ∴BF＝eq \r(AB2＋AF2)＝eq \r(73)， ∴BE的最小值为BF－EF＝eq \r(73)－3； (3)如图3，在AB上取点Q，使得OQ＝eq \f(2,3)， 且位于点O上方，连接PQ，OP，CQ， ∵AD＝4， ∴OP＝OA＝2， ∴OB＝6， ∴eq \f(OQ,OP)＝eq \f(\f(2,3),2)＝eq \f(1,3)，eq \f(OP,OB)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， ∵∠POQ＝∠BOP， ∴△POQ∽△BOP， ∴eq \f(PQ,BP)＝eq \f(OQ,OP)＝eq \f(1,3)， ∴PQ＝eq \f(1,3)BP， ∴CP＋eq \f(1,3)BP＝CP＋PQ， 当Q，P，C三点共线时，CP＋PQ有最小值， 即CP＋eq \f(1,3)BP有最小值，最小值为CQ的长， 此时，AQ＝OA＋OQ＝eq \f(8,3)， ∴CQ＝eq \r(AC2＋AQ2)＝eq \f(2\r(97),3). eq \r(7) 15．[2021·丹东]已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点)．若AB＝AC＝eq \r(7)，BC＝2eq \r(3)，P为△ABC的费马点，则PA＋PB＋PC＝ ；若AB＝2eq \r(3)，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则PA＋PB＋PC＝ ． 2eq \r(7) 【拓展】 (3)如图3，⊙O的圆内接矩形ABCD内有一点P，PE⊥BC于点E，已知eq \o(AD,\s\up16(︵))＝2eq \o(AB,\s\up16(︵))，且PA＋PD＋PE的最小值是5eq \r(2)，求⊙O的半径． 解：(1)∵点P是△ABC的费马点， ∴∠APB＝∠BPC＝120°， ∴∠PAB＋∠PBA＝60°＝∠PBC＋∠PBA， ∴∠PAB＝∠PBC， ∴△PAB∽△PBC， ∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(PA,PB)，即eq \f(PB,3)＝eq \f(4,PB)， 解得PB＝2eq \r(3)(负值已舍去)； 延长EP交AD于点H， 则EH⊥AD. ∵eq \o(AD,\s\up16(︵))＝2eq \o(AB,\s\up16(︵))， ∴∠ABD＝60°＝eq \f(1,2)∠APD， ∴点P为外接圆的圆心，PA为半径， ∴PE＝PH＝eq \f(1,2)PA＝eq \f(1,2)PD， ∴PA＋PD＋PE＝DG＝PB＋PD＋BG＝eq \f(5,2)PA＝5eq \r(2)， ∴PA＝PB＝2eq \r(2)， ∴⊙O的半径为2eq \r(2). 【模型一】 如图1，点O是定点，点A，B是动点，∠AOB＝α且eq \f(OB,OA)＝k，如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线． 【模型二】如图2，点O是定点，点A，B是动点，∠AOB＝α且eq \f(OB,OA)＝k，如果A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆． 一、动点轨迹是直线或线段 17．[2025·安徽]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是( ) A．EC－ED的最大值是2eq \r(5) B．FB的最小值是eq \r(10) C．EC＋ED的最小值是4eq \r(2) D．FC的最大值是eq \r(13) ∵∠A＝∠ABC＝90°， AB＝4，BC＝3，AD＝1， ∴DE＝eq \r(12＋（4－BE）2)， CE＝eq \r(32＋BE2)， ∴EC－ED＝eq \r(32＋BE2)－eq \r(12＋（4－BE）2)， ∴BE最大时，EC－ED最大． 当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小， 如图2， 此时EC＝eq \r(42＋32)＝5，ED＝1， EC－ED＝5－1＝4≠2eq \r(5)， 故A错误； BF＝eq \r(HI2＋BI2)＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)， 故B正确； ∴EC＋ED的最小值为CM＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2)，故C正确； 当E与A重合时， CF＝eq \r(GH2＋CG2) ＝eq \r(（3－1）2＋（4－1）2) ＝eq \r(13)， 当E与B重合时，过C作CQ⊥FH， 则四边形CQIB是矩形，如图4， ∴CQ＝IB＝4－1＝3，QI＝BC＝3， ∵△DHF≌△DAE，∴FH＝AE＝4， ∴QF＝FH＋HI－QI＝4＋1－3＝2， ∴FC＝eq \r(CQ2＋FQ2)＝eq \r(22＋32) ＝eq \r(13)， 综上所述，FC的最大值为eq \r(13)，故D正确． 18．[2023·海南]如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在边AD上，且AD＝4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则eq \f(EF,PE)＝ .若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 . 解析：过F作FK⊥AD交AD延长线于点K， 则四边形ABFK为矩形，∠A＝∠K＝90°， ∴AB＝FK＝8， 由题意，得 AE＝eq \f(1,4)AD＝2. ∵EF⊥PE， ∴∠AEP＋∠KEF＝∠PEF＝90°. 又∵∠PEA＋∠APE＝90°， ∴∠APE＝∠KEF， ∴△AEP∽△KFE， ∴eq \f(EF,PE)＝eq \f(FK,AE)＝4. 过M作GH⊥AD交AD于点G，交BC于点H，如图2， ∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC. 在△EGM和△FHM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MGE＝∠MHF，,∠EMG＝∠FMH，,ME＝MF，)) ∴△EGM≌△FHM(AAS)， ∴MG＝MH， ∴eq \f(BF1,EF1)＝eq \f(EF1,F1F2)，即eq \f(2,8)＝eq \f(8,F1F2)， 解得F1F2＝32. ∵M1，M2分别为EF1，EF2的中点， ∴M1M2是△EF1F2的中位线， ∴M1M2＝eq \f(1,2)F1F2＝16，即点M运动的路径长为16. 在△ACE和△BCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCF，,CE＝CF，)) ∴△ACE≌△BCF(SAS)， ∴∠CBF＝∠CAD＝30°，AE＝BF， ∴点F在过点B且与BC成30°角的直线上运动， ∴当DF⊥BF时，DF有最小值， ∴DFmin＝eq \f(1,2)BD＝1. 2eq \r(10)－1 21．[2025·铁岭二模]已知抛物线y＝－eq \f(3,4)(x－1)(x－9)与x轴交 于A，B两点，点C为抛物线的顶点，点G为以AB为直径的⊙D上一 动点，P为CG的中点，则AP的最小值为 . 2eq \r(13)－2 解析：y＝－eq \f(3,4)(x－1)(x－9)， 令y＝0，则－eq \f(3,4)(x－1)(x－9)＝0， 解得x＝1或x＝9， ∴AB＝9－1＝8， ∴抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(9＋1,2)＝5， ∴D(5，0)，∴AD＝BD＝9－5＝4. 当x＝5时， y＝－eq \f(3,4)×(5－1)×(5－9)＝12， ∴C(5，12)， ∴CD＝12， 连接CD，取CD的中点H，连接PH，DG，如图1， ∴DH＝6，HP是△CGD的中位线， ∴HP＝eq \f(1,2)DG＝2， 则点P在以点H为圆心，2为半径的圆上运动， 当H，P，A三点共线时AP最小，如图2， 由勾股定理，得 AH＝eq \r(AD2＋DH2)＝eq \r(42＋62)＝2eq \r(13)， ∴AP的最小值为AH－PH＝2eq \r(13)－2. eq \r(3) 解：(1)AD＝BC； (2)AD＝BC仍然成立． 证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB＋∠AOC＝∠AOC＋∠COD＝90°＋α， 即∠BOC＝∠AOD， 在△AOD和△BOC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,∠AOD＝∠BOC，,OD＝OC，)) ∴△AOD≌△BOC(SAS)， ∴AD＝BC； (3)①如图1，过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD， ∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形， ∴BT＝eq \r(2)AB，BD＝eq \r(2)BC， ∠ABT＝∠CBD＝45°， ∴eq \f(BT,AB)＝eq \f(BD,BC)＝eq \r(2)，∠ABC＝∠TBD， ∴△ABC∽△TBD， ∴eq \f(DT,AC)＝eq \f(BT,AB)＝eq \r(2)， ∴DT＝eq \r(2)AC＝eq \r(2)×3eq \r(3)＝3eq \r(6)， ∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3eq \r(6)为半径的圆， ∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大． ∵AT＝AB＝8，DT＝3eq \r(6)， ∴AD的最大值为8＋3eq \r(6)， 故答案为：8＋3eq \r(6)； ②如图2，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T， 连接DT，过点T作TH⊥AD于点H， ∵eq \f(BT,AB)＝eq \f(BD,BC)＝cos30°＝eq \f(\r(3),2)，∠ABC＝∠TBD＝30°＋∠TBC， ∴△BAC∽△BTD， ∴eq \f(DT,AC)＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(\r(3),2)， ∴DT＝eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)×3eq \r(3)＝eq \f(9,2). 在Rt△ABT中，AT＝AB·sin∠ABT＝8sin30°＝4. ∵∠BAT＝90°－30°＝60°， ∴∠TAH＝∠BAT－∠DAB＝60°－30°＝30°. ∵TH⊥AD，∴TH＝AT·sin∠TAH＝4sin30°＝2， AH＝AT·cos∠TAH＝4cos30°＝2eq \r(3)， 在Rt△DTH中，DH＝eq \r(DT2－TH2)＝eq \r(（\f(9,2)）2－22)＝eq \f(\r(65),2)， ∴AD＝AH＋DH＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(65),2)； 如图3，在AB上方作∠ABE＝30°， 过点A作AE⊥BE于点E，连接DE， 则eq \f(BE,AB)＝eq \f(BD,BC)＝cos30°＝eq \f(\r(3),2)， ∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD＋30°， ∴△BDE∽△BCA， ∴eq \f(DE,AC)＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(3),2)， ∴DE＝eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)×3eq \r(3)＝eq \f(9,2). ∵∠BAE＝90°－30°＝60°， ∴AE＝AB·sin30°＝8×eq \f(1,2)＝4， ∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAE＝30°＋60°＝90°， ∴AD＝eq \r(DE2－AE2)＝eq \r(（\f(9,2)）2－42)＝eq \f(\r(17),2)； 综上所述，AD的值为2eq \r(3)＋eq \f(\r(65),2)或eq \f(\r(17),2). 23．[2025·新疆节选]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点，当a＝eq \r(2)时，求MN＋ND的最小值． 解：∵a＝eq \r(2)，AD＝aBN， ∴AD＝eq \r(2)BN. 作DE∥BC，AE⊥DE于点E，连接BE， 则∠ADE＝∠C＝45°， ∴△AED为等腰直角三角形， ∴AD＝eq \r(2)DE＝eq \r(2)AE，∠DAE＝45°， ∴AE＝DE＝BN，∠BAE＝45°. 又∵DE∥BN， ∴四边形EDNB为平行四边形， ∴BE＝DN. 将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF， 则BF＝AB＝2eq \r(2)，∠ABF＝90°. ∵∠ABC＝45°， ∴∠NBF＝45°＝∠BAE. 又∵AB＝BF，AE＝BN， 在Rt△MBF中， BM＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2)， BF＝2eq \r(2)， ∴MF＝eq \r(BM2＋BF2)＝eq \r(10)， ∴MN＋ND的最小值为eq \r(10). (2)如图1，连接CG， 当G，E，C三点共线时，GE＋CE有最小值， 由(1)知EG＝BF，则BF＋CE有最小值，最小值为CG的长， ∵AG＝BC＝3，CD＝AB＝2，∠D＝90°， ∴DG＝AD＋AG＝6， ∴CG＝eq \r(DG2＋CD2)＝2eq \r(10). 故答案为：2eq \r(10)； ∴CG＝eq \f(1,2)BC＝4(米)，BG＝eq \r(BC2－CG2)＝4eq \r(3)(米)， ∴GK＝KC＋CG＝AC＋CG＝10＋4＝14(米)， 在Rt△KBG中， BK＝eq \r(GK2＋BG2)＝eq \r(142＋（4\r(3)）2)＝2eq \r(61)(米)， ∴钢丝绳BM与CN长度之和的最小值为2eq \r(61)米． 故答案为：2eq \r(61). $