第六章 四边形课件2026年中考数学一轮复习 （内蒙古）

该初中数学中考复习课件聚焦多边形与平行四边形核心考点，覆盖内角和定理、平行四边形性质与判定等新课标要求内容。通过构建知识网络表格化梳理知识点，对接中考说明分析内蒙古5年6地考频，归纳多边形计算、平行四边形证明等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点突破+真题解析”模式，如2023包头正五边形对角线题，通过角度推导、三角形相似判定培养推理意识，用表格对比性质与判定条件发展符号意识。帮助学生掌握几何证明技巧，教师可依此精准教学，提升中考复习效率。

第28讲　菱 形 【构建知识网络】 知识点 菱形 性质 边 对边平行，四条边相等 角 两组对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴 面积 S＝底×高＝对角线乘积的一半 判定 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 考点1 菱形的性质(5年6地14考) 1．[2023·赤峰]如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE 折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长 线于点E.DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论： ①DQ＝EQ　②BQ＝3　③BP＝　 ④BD∥FQ.正确的是( ) A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 3．[2024·包头]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6， AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F， 连接DE.若CE＝AF，则DE的长为____． 4．[2023·包头]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E. (1)如图1，连接QA.当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由； (2)如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB， ①求证：AE＝2EP； ②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长(用含a的代数式表示)． 解：(1)结论：点Q在线段PC的垂直平分线上． 理由：如图1，连接QC. ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BD⊥AC，OA＝OC， ∴QA＝QC， ∵QA＝QP， ∴QC＝QP， ∴点Q在线段PC的垂直平分线上； (2)①证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB， ∵BD⊥AC， ∴∠ADO＝∠CDO， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO＝∠CDO. ∵∠BAP＝∠ADB， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD. ∴AE＝BE，∵∠APB＝90°， ∴∠BAP＋∠ABP＝90°， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°. 在 Rt△BPE 中， ∠EPB＝90°，∠PBE＝30°， ②如图2，连接QC. ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∵∠APB＝90°， ∴BP＝CP. ∵EP＝a， ∴AE＝2a，AP＝3a， 考点2 菱形的判定(5年6地7考) 1．[2024·通辽]如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2＋OD2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2 2．[2024·呼伦贝尔]如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若平行四边形ABCD的周长为22， CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥BE， ∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA， ∵O为BF的中点，∴BO＝FO， ∴△AOF≌△EOB，∴BE＝FA， ∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形； 3．[2023·呼和浩特]如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF. (1)求证：∠1＝∠2； (2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2， ∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积． ∴△ODE≌△OBF(ASA)， ∴DE＝BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE∥DF， ∴∠1＝∠2； (2)由(1)知△ODE≌△OBF(ASA)， ∴OE＝OF. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥EF，OD＝OB，AD∥BC， ∴四边形DEBF的菱形， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°， 1．[2025·泸州]矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 2．[2025·湖南]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相 垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 3．[2025·内江]按如下步骤作四边形ABCD： (1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长度 为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分 别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点 C；(4)连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( ) A．64° B．66° C．68° D．70° 4．[2025·河南]如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为( ) 5．[2025·西宁]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AE⊥BC，垂足为E，连接OE.若BD＝6，OE＝ ，则菱形ABCD的 面积是____． 6．[2025·青海]如图，在菱形ABCD中，BD＝6， E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形 ABCD的面积为___． 7．[2025·黑龙江]如图，在平行四边形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： _____________________________，使平行四边形ABCD为菱形． 12 AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一) 8．[2025·福建]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点 O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE 与△DOF的面积之和为__． 1 9．[2025·绥化]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝ 4 ，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接 PM，CM，则PM＋CM的最小值是______． 10．[2025·扬州]如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO. ∵对角线AC的垂直平分线是EF， ∴AO＝OC，EA＝EC. ∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∵EA＝EC，∴四边形AFCE是菱形； (2)如图， ∵CE平分∠ACD， ∴∠1＝∠2. ∵四边形AFCE菱形， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD＝3， ∴△CBA∽△CDE， eq \f(15,8) 2．[2025·内蒙古]如图，在菱形ABCD中，AB＝4eq \r(5)，对角线BD的 长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF.若BF＝3，则EF的长 为 ． eq \r(85) 解析：连接AC，交BD于点O， 过点E作EG⊥OD于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝4eq \r(5)，BO＝OD＝eq \f(1,2)BD＝8，AO⊥BD， ∴AO＝eq \r(AD2－OD2)＝4，EG∥AO， ∴△DEG∽△DAO， ∴eq \f(DE,AD)＝eq \f(EG,AO)＝eq \f(DG,OD)， ∵E是AD的中点， ∴eq \f(DE,AD)＝eq \f(EG,4)＝eq \f(DG,8)＝eq \f(1,2)， ∴EG＝2，DG＝4， ∴FG＝BD－BF－DG＝16－3－4＝9， ∴EF＝eq \r(FG2＋EG2)＝eq \r(92＋22)＝eq \r(85). 2eq \r(7) ∴EP＝eq \f(1,2)BE， ∵AE＝BE， ∴EP＝eq \f(1,2)AE， ∴AE＝2EP； 在Rt△APB中，∠ABP＝60°， ∴tan∠ABP＝eq \r(3)， ∴BP＝eq \r(3)a， ∴CP＝BP＝eq \r(3)a. ∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ， ∴△AOE≌△COQ(SAS)， ∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO， ∴AE∥CQ， ∵∠APB＝90°， ∴∠QCP＝90°， 在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°， 由勾股定理，得PQ2＝PC2＋CQ2， ∴PQ＝eq \r(7)a. (2)∵AD＝BC，AF＝BE，∴DF＝CE＝1， ∵平行四边形ABCD的周长为22， ∴菱形ABEF的周长为22－2＝20， ∴AB＝20÷4＝5， ∵四边形ABEF是菱形， ∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAD＝eq \f(1,2)×120°＝60°，AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∵AE＝AB＝5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠ODE＝eq \f(1,2)∠ADO，∠OBF＝eq \f(1,2)∠CBO， ∴∠ODE＝∠OBF， ∴DE∥BF. 又∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF， ∴OD＝eq \f(1,2)BD＝1， ∵∠ODE＝eq \f(1,2)∠ADO＝30°， ∴OE＝eq \f(\r(3),3)OD＝eq \f(\r(3),3)， ∴EF＝2OE＝eq \f(2\r(3),3)， ∴四边形BEDF的面积＝eq \f(1,2)BD·EF＝eq \f(1,2)×2×eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3). A．2 B．6－3eq \r(2) C．2eq \r(2) D．6eq \r(2)－6 eq \r(5) 6eq \r(5) eq \r(3) 2eq \r(3) ∴eq \f(CB,CD)＝eq \f(AB,DE)， ∴eq \f(5,3)＝eq \f(3,DE)， ∴DE＝eq \f(9,5). $第六章　四边形 第26讲　多边形与平行四边形 【构建知识网络】 知识点1 多边形 知识点2 平行四边形 性质 对称性 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点 面积 S▱ABCD＝底×高 判定 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点3 平行线间的距离 从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫平行线间的距离．平行线间的距离处处相等． 知识点4 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 考点1 多边形的性质及相关计算(5年6地9考) 1．[2024·赤峰]如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( ) A．5 B．6 C．8 D．10 2．[2023·包头]如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线， AD与CE相交于点F.下列结论：①CF平分∠ACD　②AF＝2DF　③四 边形ABCF是菱形　④AB2＝AD·EF.其中正确的结论有_______． (填序号) ①③④ 3．[2024·包头]若n边形内角和为900°，则边数n＝__． 7 2．[2025·内蒙古]如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6. (1)如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M. ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； (2)如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 解：(1)①PM＝CM；理由如下：由翻折得AD＝DP，∠A＝∠P， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， ∴DP＝BC，∠P＝∠C， 又∵∠DMP＝∠BMC， ∴△DPM≌△BCM， ∴PM＝CM； 3．[2022·包头]如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G. ∴DE＝2AE， 设AE＝x，则DE＝2x， ∵AD＝6， ∴AD＝AE＋DE＝x＋2x＝6， ∴x＝2，即AE＝2， ∴DF＝2， ∴EF＝AD－AE－DF＝2， ∴EF的长为2. 考点3 平行四边形的判定(5年6地11考) 1．[2022·呼伦贝尔]如图，在▱ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC，DE. (1)求证：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状， 并说明理由． 解：(1)证明：在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠EAO＝∠CDO， ∵点O为AD的中点，∴AO＝DO， 在△AOE与△DOC中， ∵∠EAO＝∠CDO，AO＝DO，∠EOA＝∠COD， ∴△AOE≌△DOC，∴AE＝CD， 又∵BE∥CD ，∴四边形ACDE是平行四边形； (2)由(1)知四边形ACDE是平行四边形，AE＝CD， ∵AB＝AC， ∴AE＝CD＝AB＝AC， ∴四边形ACDE是菱形． 2．[2024·包头]如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE. (1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H. ①求证：H是AC的中点； ②求AG∶GH∶HC； (2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N.试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论． 解：(1)①证明： ∵S△ABE＝S△DCE， ∴E为AD的中点， ∴AE＝DE. ∵F是边BC的中点， ∴BF＝CF， ∴AE＝CF. 在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAH＝∠FCH， 又∵∠AHE＝∠CHF， ∴△AHE≌△CHF(AAS)， ∴AH＝CH， ∴H是AC的中点； (2)线段AM与线段AN之间的数量关系为AM＝3AN，理由如下： 连接BD交CN于点P，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥CM， ∴∠ABE＝∠DME， 又∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEM， ∴△AEB≌△DEM(AAS)， ∴AB＝DM， ∴四边形ABDM为平行四边形． ∴AM＝BD，AM∥BD， ∵AB＝CD， ∴DM＝CD， ∴D为CM的中点． ∵DP∥MN， ∴△CDP∽△CMN，△AEN∽△DEP， 2．[2024·赤峰]如图，在△ABC中，D是AB的中点． (1)求作：AC的垂直平分线l(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形． 解：(1)直线l如图1所示， 1．[2025·遂宁]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( ) A．10 B．11 C．12 D．13 2．[2025·自贡]如图，正六边形与正方形的两邻边相交， 则α＋β＝( ) A．140° B．150° C．160° D．170° 3．[2025·甘肃]如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°， 按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为( ) A．12 B．11 C．10 D．9 4．[2025·凉山州]已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍， 则从这个多边形的一个顶点处可以引对角线( ) A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 5．[2025·广东]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( ) A．20° B．40° C．70° D．110° 6．[2025·安徽]在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( ) A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 7．[2025·德阳]六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究，测得边长AB＝1，那么图中四边形GCHF的面积是( ) 8．[2025·长沙]如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝ 110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝____°. 205 9．[2025·新疆]如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点 E，若AD＝2，则BE＝__． 2 10．[2025·平凉]如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折 叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等 边三角形，若AB＝6 cm，则AD＝___cm. 12 11．[2025·齐齐哈尔]如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接 AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧交 于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC 的中点，则AC的长为 ． 12．[2025·青海]如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； (2)若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明． 解：(1)证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB. ∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠OBD，∠AEO＝∠BDO. 在△AEO和△BDO中， ∴△AEO≌△BDO(AAS)， ∴AE＝BD. ∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形； (2)当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形．理由如下： 证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°. 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， ∴四边形AEBD是矩形． 多边形 内角和 定理 n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，且n为正整数) 外角和 定理 多边形的外角和都等于360° 对角线 过n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，将n边形分成(n－2)个三角形，n边形共有eq \f(n（n－3）,2)条对角线 正多 边形 边 正n边形的各边相等 角 各角相等，每一个内角都等于eq \f(（n－2）·180°,n)，每一个外角都等于eq \f(360°,n) 对称性 正n边形有n条对称轴．对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形 性质 边 两组对边分别平行且相等，即AB CD，AD BC 角 两组对角分别相等，即∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB.(平行四边形的邻角互补) 对角线 两条对角线互相平分，即AO＝CO，BO＝DO 解析：①∵正五边形ABCDE， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝eq \f(180°×（5－3）,5)＝108°， AB＝BC＝CD＝DE＝AE， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAE＝∠ADE＝∠DCE＝ ∠CED＝eq \f(180°－108°,2)＝36°， ∴∠ACE＝108°－∠BCA－∠DCE＝36°＝∠DCE， ∴CF平分∠ACD.故①正确； ②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠DFE＝∠AFC， ∴△DEF∽△ACF，∴eq \f(DF,AF)＝eq \f(DE,AC)， ∵DE＝AB，2AB>AC，∴eq \f(DF,AF)≠eq \f(1,2)，即AF≠2DF，故②错误； ③∵∠CAF＝∠BAE－∠BAC－∠EAD＝36°， ∴∠DAC－∠BCA，∴BC∥AF， ∵∠BAC＝∠ACE＝36°， ∴AB∥CE， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是菱形．故③正确； ④∵∠CED＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE， ∴△DEF∽△DAE，∴eq \f(DE,AD)＝eq \f(EF,AE)， ∴ED·AE＝AD·EF，即AB2＝AD·EF，故④正确． 考点2 平行四边形的性质(5年6地17考) 1．[2021·鄂尔多斯]已知：▱AOCD的顶点O(0，0)，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E； ③画射线OE，交AD于点F(2，3)，则点A的坐标为( ) A．(－eq \f(5,4)，3) B．(3－eq \r(13)，3) C．(－eq \f(4,5)，3) D．(2－eq \r(13)，3) ②∵△DPM≌△BCM，∴DM＝BM， 如图，过点M作MN⊥BD于点N，过点B作BH⊥CD于点H， ∴DN＝BN＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(5,2)， ∵BD＝BC＝5，CD＝6， ∴DH＝CH＝eq \f(1,2)CD＝3， ∴cos∠CDB＝eq \f(DH,BD)＝eq \f(3,5)＝eq \f(DN,DM)＝eq \f(\f(5,2),DM)， ∴DM＝eq \f(25,6)， ∴MN＝eq \r(DM2－DN2)＝eq \f(10,3)， ∴S△BDM＝eq \f(1,2)BD·MN＝eq \f(1,2)×5×eq \f(10,3)＝eq \f(25,3)； (2)过点C作CP⊥BD于点P，连接AG交BD于点T， 过点B作BI⊥CD于点I， 由翻折的性质和EF∥BD，得AG⊥BD， 同(2)可得DI＝CI＝eq \f(1,2)CD＝3， ∴BI＝eq \r(BD2－DI2)＝4， ∴S△BCD＝eq \f(1,2)CD·BI＝eq \f(1,2)BD·CP， 即6×4＝5·CP，得CP＝eq \f(24,5)， ∴BP＝eq \r(BC2－CP2)＝eq \f(7,5). ∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥CB， ∴∠ADT＝∠CBP， 又∵∠ATD＝∠CPB＝90°， ∴△ADT≌△CBP，∴DT＝BP＝eq \f(7,5)， ∴DP＝BD－BP＝5－eq \f(7,5)＝eq \f(18,5)， ∵AG⊥BD，CP⊥BD， ∴GT∥CP， ∴△DGT∽△DCP， ∴eq \f(DG,DC)＝eq \f(DT,DP)，即eq \f(DG,6)＝eq \f(\f(7,5),\f(18,5))，解得DG＝eq \f(7,3). (1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N. ①若AE＝eq \f(3,2)，求AG的长； ②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC； (2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠EHG＝∠EFG＋∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长． 解：(1)①如图，∵四边形ABCD是平行四边形， AB＝AC＝5，BC＝6， ∴AB∥CD, AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6， ∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE， ∴△AGE∽△DCE， ∴eq \f(AG,DC)＝eq \f(AE,DE)， ∴AG·DE＝DC·AE， ∵AE＝eq \f(3,2)， ∴DE＝AD－AE＝6－eq \f(3,2)＝eq \f(9,2)， ∴eq \f(9,2)AG＝5×eq \f(3,2)， ∴AG＝eq \f(5,3)， ∴AG的长为eq \f(5,3)； ②证明：∵AD∥BC， ∴∠EFN＝∠CMN， ∵EN＝NC，在△ENF和△CNM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EFN＝∠CMN，,EN＝CN，,∠ENF＝∠CNM，)) ∴△ENF≌△CNM(ASA)， ∴EF＝CM， ∵AE＝eq \f(3,2)，AE＝DF， ∴DF＝eq \f(3,2)， ∴EF＝AD－AE－DF＝3， ∴CM＝3， ∵BC＝6，∴BM＝BC－CM＝3， ∴BM＝MC， ∵AB＝AC，∴AM⊥BC； (2)如图，连接CF， ∵AB＝AC，AB＝DC，∴AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵AE＝DF， 在△AEC和△DFC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DC，,∠CAD＝∠CDA，,AE＝DF，)) ∴△AEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∵∠EHG＝∠EFG＋∠CEF， ∴∠EHG＝∠EFG＋∠CEF＝∠EFG＋∠CFE＝∠CFG， ∴EH∥CF，∴eq \f(GH,HF)＝eq \f(GE,EC)， ∵HF＝2GH，∴eq \f(GE,EC)＝eq \f(1,2). ∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE， ∴△AGE∽△DCE，∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(GE,CE)，∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(1,2)， ②∵AE＝BF，AE∥BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AB∥EF， ∴△AGB∽△HGE， ∴eq \f(AB,EH)＝eq \f(AG,GH). ∵△AHE≌△CHF， ∴EH＝FH＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(1,2)AB， ∴eq \f(AB,EH)＝eq \f(AG,GH)＝2， ∴AG＝2GH， ∴GH＝eq \f(1,3)AH＝eq \f(1,3)HC， ∴AG∶GH∶HC＝2∶1∶3； ∴eq \f(DP,MN)＝eq \f(CD,CM)＝eq \f(1,2)，eq \f(DP,AN)＝eq \f(DE,AE)＝1， ∴DP＝AN＝eq \f(1,2)MN， ∴MN＝2AN， ∴AM＝AN＋MN＝3AN. 考点4三角形的中位线定理(5年6地10考) 1．[2023·包头]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( ) A．4＋2eq \r(3) B．6＋2eq \r(3) C．4＋4eq \r(3) D．6＋4eq \r(3) (2)证明：补全图形，如图2， 由(1)作图得E为AC的中点， ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC， ∵EF＝2DE，即DE＝eq \f(1,2)EF，∴EF＝BC， ∵EF∥BC，∴ 四边形BCFE是平行四边形． A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3) eq \f(1,2) 4eq \r(3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEO＝∠BDO，,∠EAO＝∠OBD，,OA＝OB，)) $第29讲　正方形 【构建知识网络】 知识点1 正方形 性质 边 对边平行，四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 对称性 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴 面积 S＝边长的平方＝对角线乘积的一半 判定 定义 有一组邻边相等的矩形是正方形 定理 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 知识点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 2 2．[2023·通辽]综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ. (1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝ 度； (2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． 解：(1)30； (2)结论：∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°. 由折叠，得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°. 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL), ∴∠MBQ＝∠CBQ. 3．[2023·包头]已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点． (2)△FBG是等腰三角形，理由如下： ∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAG＝90°， ∴∠ADE＋∠AGD＝90°， ∵∠FGB＝∠FBG， ∵FB⊥BE，∴∠EBF＝90°， ∴∠ABE＋∠FBG＝90°，∴∠AGD＝∠FBG， ∴BF＝FG，∴△FBG是等腰三角形； 考点2 正方形的判定(5年6地6考) 1．[2024·呼和浩特]如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF， 请直接写出四边形BGED的形状． (2)四边形BGED是正方形． 理由：过点B作BG⊥AE于点G， ∴∠BGE＝∠DEG＝90°， ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴BD∥AE，BD＝AF， ∴∠GBD＋∠BGE＝180°，∠DEG＋∠EDB＝180°， ∴∠GBD＝90°，∠EDB＝90°， ∴四边形BGED为矩形． 由(1)得△ACB≌△FED， ∴CB＝ED， ∵CB＝AF， ∴ED＝AF， ∴BD＝ED， ∴四边形BGED是正方形． 2．[2021·呼伦贝尔]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H. (1)求证：AD⊥EF； (2)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由． 解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 又∵AD＝AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)， ∴AE＝AF， 又∵DE＝DF ∴AD垂直平分EF， ∴AD⊥EF； (2)△ABC满足∠BAC＝90°时， 四边形AEDF是正方形． 理由： ∵∠AED＝∠AFD＝90°，∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵AE＝AF， ∴四边形AEDF是正方形. 1．[2025·深圳]如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对 角线的交点O重合，EF为折痕，则 的值为( ) 2．[2025·湖北]如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在 BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2 ，则CG的长是( ) 3．[2025·苏州]如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是( ) A．A′D∥BE B．A′C＝ A′D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 解析：过点A′作FG∥AB，分别交AD，BC于点F，G， 由折叠的AE＝A′E， ∵E为边AD的中点， ∴AE＝DE， ∴DE＝A′E， ∴∠EDA′＝∠EA′D. ∵∠AEA′是△A′ED的外角， ∴∠AEA′＝∠EDA′＋∠EA′D， ∴∠AEB＝∠EDA′， ∴A′D∥BE，故A正确； ∵正方形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAE＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝90°， 设AB＝BC＝CD＝DA＝10， ∵E为边AD的中点，∴AE＝DE＝5， 由折叠的性质得∠BAE＝∠BA′E＝90°，AE＝A′E＝5， AB＝A′B＝10. ∵FG∥AB，∴四边形ABGF和DCGF为矩形， ∴FG＝AB＝10，∠EFA′＝∠A′GB＝∠EA′B＝90°. 设DF＝CG＝x， 则EF＝5－x，BG＝10－x， ∴∠EA′F＝90°－∠GA′B＝∠A′BG， ∴△EA′F∽△A′BG， ∵△A′CD的面积＝ ×10×2＝10， △A′DE的面积＝ ×5×4＝10， ∴△A′CD的面积＝△A′DE的面积，故C正确； ∵四边形A′BED的面积等于△A′DE的面积＋△A′BE的面积＝ 10＋ ×5×10＝35， △A′BC的面积＝ ×10×6＝30， ∴四边形A′BED的面积≠△A′BC的面积，故D错误． 4．[2024·常州]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD 的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是(2，1)，则点C的 坐标是___________． (－2，－1) 5．[2025·北京]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥ BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为___． 6．[2024·大兴安岭地区]在菱形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以 是___________________． AC＝BD(答案不唯一) 7.[定角定弦][2025·长春]如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.点E在线段OA上．连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P.给出下列结论： ①∠OCP＝∠OBE ②OE＝OP ③当CE＝CB时，BP＝EF ④点A与点F之间的距离的最小值为2 －2. 上述结论中，正确结论的序号有_______． ①②④ 解析：∵正方形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD. ∵CF⊥BE， ∴∠COP＝90°＝∠BFP. ∵∠CPO＝∠BPF， ∴∠OCP＝∠OBE，故①正确； ∵∠COP＝90°＝∠BOE，OC＝OB， ∴△COP≌△BOE(ASA)， ∴OP＝OE，故②正确； 当CE＝CB时，CF⊥BE， ∴EF＝BF，∠BFP＝90°， ∴BP>BF＝EF，故③错误； 如图，取BC的中点R，连接AF，RF，AR， ∵∠CFB＝90°， ∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上， 当A，F，R共线且点F在线段AR上时，AF最小． ∵AB＝BC＝4， ∴RF＝RB＝2， 8．[2025·浙江]【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成， 请写出△ABE≌△CBE的证明过程； (2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)； (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°. ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠DEA. ∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°. 9．[2025·长沙]如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD且AB＝CD. 又∵BE＝DF， ∴AB－BE＝CD－DF， ∴AE＝CF. 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； (2)过点E作EH⊥CD于点H. ∵四边形ABCD是正方形，BC＝12， ∴CD＝BC＝12，∠B＝∠BCD＝90°. 又∵∠EHC＝90°，∴四边形EBCH是矩形， ∴EB＝HC＝5，EH＝BC＝12. ∵DF＝BE＝5，∴HF＝CD－DF－CH＝12－5－5＝2. 在Rt△EHF中，由勾股定理得 考点1 正方形的性质(5年6地20考) 1.[十字架模型][2023·呼和浩特]如图，正方形ABCD的边长为2eq \r(5)，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别 交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ ，MH＝ ． eq \f(2\r(13),3) 解析：∵正方形ABCD的边长为2eq \r(5)，点E是CD的中点， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝CD＝2eq \r(5)， DE＝eq \f(1,2)CD＝eq \r(5)，AB∥CD，AD∥BC， ∴AC＝eq \r(2)AD＝2eq \r(10)， ∵BF⊥AH， ∴∠AHF＝90°＝∠BAD， ∴∠DAE＝∠ABF＝90°－∠AFH， ∴△AFB≌△DEA， ∴AF＝DE＝eq \r(5)， ∴BF＝eq \r(AB2＋AF2)＝5. ∵S△ABF＝eq \f(1,2)AB·AF＝eq \f(1,2)BF·AH， ∴2eq \r(5)×eq \r(5)＝5AH， ∴AH＝2； ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴△AGF∽△CGB，△AMB∽△CME， ∴eq \f(AG,CG)＝eq \f(AF,BC)＝eq \f(1,2)，eq \f(AM,CM)＝eq \f(AB,CE)＝2， ∴AG＝eq \f(1,3)AC＝eq \f(2\r(10),3)， AM＝eq \f(2,3)AC＝eq \f(4\r(10),3)， ∴GH＝eq \r(AG2－AH2)＝eq \f(2,3). 过点M作MN⊥AE，则GH∥MN， ∴△AHG∽△ANM， ∴eq \f(AH,AN)＝eq \f(GH,MN)＝eq \f(AG,AM)＝eq \f(1,2)， ∴AN＝2AH＝4，MN＝2GH＝eq \f(4,3)， ∴HN＝2， ∴MH＝eq \r(NM2＋NH2)＝eq \f(2\r(13),3). (1)如图1，连接BE，DE.求证：△ABE≌△ADE； (2)如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE.判断△FBG的形状并说明理由； (3)在第(2)题的条件下，BE＝BF＝2.求eq \f(AE,AB)的值． 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°， 在△ABE和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAE＝∠DAE，,AE＝AE，)) ∴△ABE≌△ADE(SAS)； (3)∵BE＝BF＝2，BF＝FG， ∴BE＝BF＝FG＝2， 又∵FB⊥BE， ∴△FBE是等腰直角三角形， ∴∠BEF＝45°，BF2＋BE2＝EF2， ∴EF2＝22＋22＝8， ∴EF＝2eq \r(2)， ∴GE＝2eq \r(2)－2. ∵∠BEF＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠EBG， ∴△ABE∽△EBG， ∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(EG,BE)， ∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(2\r(2)－2,2)＝eq \r(2)－1. 解：(1)证明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB＝∠BAF， ∵AB∥DF，∴∠EFD＝∠BAF，∴∠CAB＝∠EFD. 在△ACB和△FED中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠FED，,AC＝FE，,∠CAB＝∠EFD，)) ∴△ACB≌△FED(ASA)，∴AB＝FD， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形； A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2,3) eq \f(EF,CG) A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(2)＋1 D．2eq \r(2)－1 eq \r(2) eq \r(2) ∴eq \f(A′F,BG)＝eq \f(EF,A′G)＝eq \f(EA′,A′B)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)， ∴A′F＝eq \f(1,2)BG＝eq \f(1,2)(10－x)，A′G＝2EF＝2(5－x)． ∵A′F＋A′G＝FG＝10，∴eq \f(1,2)(10－x)＋2(5－x)＝10，解得x＝2， ∴DF＝CG＝2，A′F＝4，A′G＝6， ∴A′C＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10)，A′D＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)， ∴A′C＝eq \r(2)A′D，故B正确； eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(3,8) eq \r(5) ∴AR＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)， ∴AF＝2eq \r(5)－2， ∴点A与点F之间的距离的最小值为2eq \r(5)－2.故④正确． EF＝eq \r(EH2＋FH2)＝eq \r(122＋22)＝eq \r(148)＝2eq \r(37). $第27讲　矩 形 【构建知识网络】 知识点 矩形 性质 边 对边平行且相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 对称性 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴 面积 S＝长×宽 判定 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 考点1 矩形的性质(5年6地13考) 1．[2025·内蒙古]如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC， BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20 m，AD＝ 30 m，则该草坪的面积为( ) A．2 400 m2 B．1 800 m2 C．1 200 m2 D．600 m2 3．[2021·包头]如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边 在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为(4，2)， 反比例函数 (x>0)的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点 E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF.下列结论：①sin∠DOC ＝cos∠BOC　②OE＝BE　③S△DOE＝S△BEF　 ④OD∶DF＝2∶3.其中正确的结论有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．[通辽中考]如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相 交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长 为_____． 考点2 矩形的判定(5年6地8考) 1．[2025·赤峰模拟]周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是( ) A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．[通辽中考]如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF. (1)求证：△AEF≌△DEB； (2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 解：(1)∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB(AAS)； (2)连接DF， ∵AF∥CD，AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE， ∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB， ∵AB＝AC，∴DF＝AC， ∴四边形ADCF是矩形． 3．[赤峰中考]如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F. (1)求证：四边形CDOF是矩形； (2)当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 解：(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB， ∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF. ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴2∠COD＋2∠COF＝180°， ∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°. ∵OA＝OC，OD平分∠AOC， ∴OD⊥AC，AD＝DC ，∴∠CDO＝90°. ∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°， ∴四边形CDOF是矩形； (2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形． 理由如下： ∵∠AOC＝90°，AD＝DC， ∴OD＝DC. 又由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形． 因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形. 3．[2025·辽宁]如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为( ) 2．[2025·河北]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是( ) A．∠1＝45°－α B．∠1＝α C．∠2＝90°－α D．∠2＝2α 3．[2025·德阳]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是( ) A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠B＝∠D D．AC＝BD 4．[2025·兰州]如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝( ) A．95° B．100° C．110° D．145° 5．[2024·西藏]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂 足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是( ) 6．[2025·徐州]如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中 点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为___． 10 7．[2025·内江]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E， F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中点， 点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是__． 5 8.[半角模型][2025·淄博]已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是 边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点 F，Q.若∠FQP＝45°，则EF的长为____. 9．[2025·云南]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB.连接AD，CD，记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长． 解：(1)证明：∵O是AC的中点， ∴OA＝OC. 又∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； (2)∵l2－l1＝BO＋OC＋BC－(BO＋AB＋AO)，AO＝OC， ∴l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， ∴a＋a＋b＋b＝28，∴a＋b＝14， 2．[2022·包头]如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是( ) A．2OC＝eq \r(5)EF B．eq \r(5)OC＝2EF C．2OC＝eq \r(3)EF D．OC＝EF y＝eq \f(2,x) 4．[呼和浩特中考]如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E， H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一 点P处，A点的对称点为A′，D点的对称点为D′，若∠FPG＝90°， △A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，则矩形ABCD的边AD长 为( ) A．6eq \r(5)＋10 B．6eq \r(10)＋5eq \r(2) C．3eq \r(5)＋10 D．3eq \r(10)＋5eq \r(2) eq \f(8\r(3),3) A．1 B．5 C．2eq \r(2) D.eq \r(10) A.eq \f(13,2) B.eq \f(60,13) C.eq \f(12,5) D.eq \f(30,13) 2eq \r(5) 解析：过点A作AG∥EF交BC于点G， 过点A作AK⊥AP交CB的延长线于点K， 过点G作GH⊥AK于点H， 易证四边形AGFE为平行四边形，则EF＝AG. 易证∠KAB＝∠PAD，tan∠KAB＝tan∠PAD，可得BK＝eq \f(4,3)， HK＝eq \f(1,3)GH，AK＝eq \r(AB2＋BK2)＝eq \f(4,3) eq \r(10)， 又∵∠KAP＝90°，∠GAP＝45°， ∴∠HAG＝45°， ∴AH＝HG， ∴AK＝AH＋HK＝HK＋HG＝eq \f(4,3)HG＝eq \f(4,3) eq \r(10)， ∴AH＝HG＝eq \r(10)， ∴EF＝AG＝eq \r(AH2＋HG2)＝2eq \r(5). ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b－a＝2，,a＋b＝14，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝8，)) ∵∠ABC＝90°，∴AC＝eq \r(a2＋b2)＝10， ∴AC的长为10. $