广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期数学期末考试模拟试题

阳江三中2025--2026学年度第一学期高二数学期末考试模拟试题 2026.1.4 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。) 1．从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果可能是6，10，15，它们是等可能的，结果能被5整除的有10和15两个，所以结果能被5整除的概率为. 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B【详解】由可得，解得，，所以. 3．空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A【详解】由，可以推出与所成角为，但与所成角为时，或， 所以是与所成角为的充分不必要条件. 4．已知两条平行直线，，则与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】直线可变形为， 则根据两平行直线间的距离公式可知直线与间的距离为：. 5．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】圆的半径，由已知得，故， 所以，所以. 6．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 【答案】D【详解】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此：,椭圆中满足，将代入可得： ，解得。因此a的取值范围是(4,8). 7．已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（    ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【答案】A【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上， 所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角不存在最小值， 过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时， 因为，所以向量的夹角存在最大值，最大值为， 综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值. 8．已知抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（    ） A．154 B．152 C．150 D．148 【答案】D【详解】由抛物线知，焦点为，设直线的方程为,设，则①.由，消去得，所以， 故由①得，解得，所以，所以. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（    ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 【答案】ABD【详解】如图：由已知得焦点，准线方程为，A正确； 当直线的斜率不存在时，，其中， 当直线的斜率存在时，设其方程为，与抛物线方程联立，得，，，由抛物线定义知，，若，则，B正确； ，所以的最小值为16，C错误； 由，所以为钝角，D正确. 10．直线与圆交于两点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 【答案】ABC【详解】对于A，点到直线的距离为，选项A正确； 对于B，线段，选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，的面积是，选项D错误． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，是定值，A正确；以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误；对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故，故， 而，，故即的取值范围为，C正确；对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【详解】由题意，①，②， ②①可得，，即. 13．在等差数列中，，，则公差的取值范围是 . 【答案】 【详解】等差数列中，，， 所以，解得，即公差的取值范围是． 14．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的焦距为，由双曲线的方程可得：，解得：， 所以双曲线的焦点坐标为：，即抛物线的准线方程为：， 因为，所以，故双曲线的焦点在抛物线的准线上，由题意可得，解得：， 所以抛物线的方程为：. 四、解答题（本题共3小题，共47分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15．(13分)已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【详解】（1）由离心率，又，则，又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，∴的方程为，设， 由，消去，得，∴， ∴． 16．(15分)如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意知E，F分别是，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面． （2）由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：   则，所以，设平面的法向量为， 则，令，则，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为． 17．(15分)从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 【详解】（1），月用电量在区间内的居民用户有户， 所以月用电量不低于的居民用户有户，其频率为． （2）月用电量在区间，，的居民用户各有户，按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户，从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率． 18．(17分)已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为，可得，解得， 故. （2）由（1）可得，故.因为，所以，得证. 19．(17分)已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数的导函数为，所以，又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，由恒成立，得恒成立， 设，则，当时，，所以函数在区间上单调递减；当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密 ★ 启用前 阳江三中2025--2026学年度第一学期高二数学期末考试模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2026年1月4日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。) 1．从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知两条平行直线，，则与间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（    ） A． B． C． D． 6．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 7．已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（    ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 8．已知抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（    ） A．154 B．152 C．150 D．148 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（    ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 10．直线与圆交于两点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 13．在等差数列中，，，则公差的取值范围是 . 14．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15．(13分)已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 16．(15分)如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．(15分)从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 18．(17分)已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 19．(17分)已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 答案第1页，共2页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $