专题02 不等式与不等式组寒假预习核心讲义(5大知识点4大题型专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题02不等式与不等式组寒假预习核心讲义 【5大知识点4大题型共计45题】 预习目标重点难点 1预习目标：)理解不等式、一元一次不等式的概念，区分不等式与等式(2)掌握不等式 的基本性质，会用性质解简单不等式3)理解一元一次不等式组的定义，会解不等式组并表 示解集（④）能将实际问题转化为不等式（组）模型求解 2.预习重点：)不等式的基本性质及应用(2)一元一次不等式（组）的解法及解集表示3) 不等式（组）的实际应用 3.预习难点（①）不等式基本性质3的理解与应用（乘除负数要变号）(2)一元一次不等式组 解集的确定(3)实际问题中不等关系的准确提炼 核心知识点梳理 【知识点01.不等式定义及相关概念】 1.不等式 用符号**>、<、≥、≤、≠**连接的式子叫做不等式。 例：3x-2>5,2y+1≤7。 2.不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合。 解集的表示：①用不等式表示（如x>3);②用数轴表示（注意空心圈/实 心点、方向)。 3.一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。 标准形式：ax+b>0(或<0、≥0、≤0，a）。 4.一元一次不等式组 试卷第1页，共3页 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式组的 解集：几个不等式解集的公共部分。 【知识点O2.不等式的基本性质】 1.性质1： 若a>b,则a士c>b士c(不等式两边加/减同一个数或整式，不等号方 向不变)。 2.性质2： 若a>b,c>0,则ac>bc,是>名（不等式两边乘/除以同一个正数， 不等号方向不变)。 3.性质3： 若a>b,c<0,则ac<bc,是<（不等式两边乘/除以同一个负数， 不等号方向改变) 。 注：对比等式性质，性质3是不等式特有的，易错点！ 【知识点03.解法】 1.一元一次不等式的解法步骤 ①去分母（注意：乘负数时不等号反向）； ②去括号； ③移项（移项要变号）； ④合并同类项： ⑤系数化为1（注意：除以负数时不等号反向）。 例：解2(x-1)t3>5x 解：去括号得2x-2+3>5x→合并得2x+1>5x→移项得-3x>-1→系数化1 得<告。 2.一元一次不等式组的解法步骤 ①分别解出不等式组中每个不等式的解集： ②将每个解集表示在同一数轴上； ③找出公共部分即为不等式组的解集； 试卷第1页，共3页 ④若无公共部分，不等式组无解。 常见解集类型（设a<b): 不等式组形 解集 数轴表示 式 (x>a 1.画数轴.标出a、b两点(a在左，b在右) (x>b 2.x>a:a处画空心圈，向右画射线 (a<b) x>b(同大取大) 3.x>b:b处画空心圈，向右画射线 4.公共部分是b右侧，只保留b右侧的射线 (x<a 1.标出a、b两点(a左b右) x<b 2.x<a:a处空心圈，向左画射线 (a<b) x<a(同小取小) 3.x<b:b处空心圈，向左画射线 4.公共部分是a左侧，只保留a左侧的射线 x>a 1.标出a、b两点(a左b右) (x<b 2.x>a:a处空心圈，向右画 (a<b) ax<b(大小小大中间找)》 3.x<b:b处空心圈，向左画 4.公共部分是a和b之间的线段 1.标出a、b两点(a左b右) (x<a (x>b 2.x<a:a处空心圈，向左画 无解（大大小小找不到）》 (a<b) 3.x>b:b处空心圈，向右画 4.两条射线无公共部分，数轴上无阴影区域 【知识点04.实际应用】 1解题步骤： ①审：审题，找出不等关系； 试卷第1页，共3页 ②设：设未知数； ③列：根据不等关系列不等式（组）； ④解：解不等式（组）； ⑤验：检验解集是否符合实际意义； ⑥答：写出答案。 2.常见题型：方案设计、最值问题、分配问题等。 【知识点05.易错点总结】 1.不等式两边乘/除以负数时，忘记改变不等号方向。 2用数轴表示解集时，空心圈与实心点混淆（含等号用实心点，不含用空心圈)。 3解不等式组时，找错公共部分（尤其“大大小小找不到”的情况）。 4.忽略实际问题中未知数的取值范围（如人数、物品数量为正整数）。 3 常考题型精析 【题型01.不等式及其性质】 1.用适当的式子表示a与b的和是负数： 2.用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为a-2的长方形的面积小于边长为a+1的正方形的面积. (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上 车a人，车内仍有空余座位， 3.下列数满足不等式x<0的是()， A.-1 B.0 C.1 D.2 4.下列关系式中，不含有x=-1这个解的是() A.2x+1=-1 B.2x+1>-1 C.-2x+2>3 D.-2x-1<3 5.若a>b,则下列不等式不正确的是() A.a+2>b+2B.a-2>b-2 C.-2a<-2b D. 试卷第1页，共3页 6.如果不等式ar<3的解集是x>3,那么4的取值范围是 a 7,。一红数值转换机按如图所不的程序计第，如果开始输入的值是子：则最终箱出的结 果是() 输入x值 4x+2 <-20? 是 输出结果 否 A.-86 B.-54 C.-22 D.-21 8.观察下列图形： ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★★★ ★★★★★★ … ★★★★★★★★ ★ ★ 第1个图形第2个图形 第3个图形 第4个图形 它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第 几个图形所用的★”超过100个？ 9.关于x的方程9x+2=kx+11的解是正整数，则整数k的值为」 10.已知m+1=-m-1,m-1=n-3m,则n-5-|2m-2=一 11.我们用a表示不大于a的最大整数，a-[a的值称为数a的小数部分，如3.43]=3， 3.43的小数部分为3.43-「3.43引=0.43. [⑧]=- (2)设5的小数部分为a,求a+「2-V5的值； (3)己知6-√5=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x-y的值. 【题型02.一元一次不等式】 12.若√x-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 13,为了减少碳排放，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如表： 执行标准 GB17761-2018 最高车速 25km/h 电池电压 不超过48伏 试卷第1页，共3页 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶 不需要 证 如果电动车的车速是akmh,电池电压是m伏，可搭载一名x周岁的未成年人，下列不等 式正确的是（) A.a≤25 B.a>25 C.m<48 D.x≤16 14.若x=1是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式： 【详解】解：根据题意得：x<2(答案不唯一) 15.不等式21-5x>4的正整数解的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 【点晴】本题考查了一元一次不等式的正整数解问题，正确求出不等式的解集是解题关键. 16.在数轴上表示不等式3x+1≤-5的解集，正确的是() A.- 32-101 B. -3-2 -101→ C.3101→ D. -3-2-1 01→ 17.若一个不等式的正整数解为1,2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是() A.10123 B.-10123 C.-i0123 D.0123 18.已知关于x的方程2x-a-5=0的解是不等式1-x+6<2r+的负整数解，则a的值 23 为 19.如果关于x的不等式5x-m≤0的解的最大值是4，则m的值是一 20.计算： 0-++及+l- 2x-5y=11 (2)解方程组： 3x+10y=-1 (3)解一元一次不等式3x-(x-2)≥6，并在数轴上表示其解集 试卷第1页，共3页 -5-4-3-2-1012345 21.已知二(m+4)x3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() A.4 B.±4 C.3 D.3 22.如图①所示，在A、B两地之间有一车站C,甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从 B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路 程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，现有以下结论： ①a的值为120： ②m的值1.3； ③m小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系为：y=80x-120; ④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围为 7 其中正确的有() y/km 360 C B O m 6 8 x/h 图① 图② A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落 实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将40台A型拖拉机、60台B型拖拉机调往曙光和胜利两 个村支援春耕，其中70台给曙光村，30台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每 台的运费（元）如下表： A型拖拉机 B型拖拉机 每台的运费 每台的运费 曙光 200 170 胜利 160 150 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，100台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W(元)， 试卷第1页，共3页 求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于17540元，求有哪几种调运方案： (③)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运 费降低α元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费.调 往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直 接写出α为何值时(2)中的所有方案付出的总运费相同. 【题型03.一元一次不等式一元一次函数】 24.(1)已知一次函数y=x+b的图象经过A(0,1,B(2,0)两点，则当x一时， y≤0 (2)如图是一次函数y=x+b的图象，则关于x的不等式kx+b>0的解为 25.一次函数y=x+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是()， 2无 A.x>2 B.x<2 C.x≤2 D.x≥2 26.如图，函数y=2x和y=ax+4的图像相交于点Am,4),则不等式2x≥ax+4的解集为 () A.x≥2 B.x≤4 C.x≤2 D.x24 27.如图，函数y=(k为常数，k≠0)与y=mx+n(m,n均为常数且都不为0)的图象相交于 试卷第1页，共3页 点A(-4,2),则关于x的不等式kx>mx+n的解集为_ 28.一次函数y=x+b与y=mx+n的图象如图所示，则不等式组0≤mx+n<kx+b的解集 是 v=mx+n 3 2 5 y=kx+b 29,如图，已知直线y=x+b经过点A(5,0),B(1,4),直线y=2x-4与该直线交于点C. B 1v=2x-4 A y-kx+b (1)求两直线交点C的坐标； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式2x-4≥kx+b>0的解集. 30.如图，己知一次函数y=c+2(k为常数，且k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于点A, 1 B,与正比例函数y=二x交于点C,己知点C的横坐标为2，下列说法错误的是() 试卷第1页，共3页 y B =k+2 A.点A的坐标为3,0) B.将y=kx+2的图象向下平移2个单位长度后所得图象经过原点 C.对于一次函数y=x+2,当x20时，y>2 [x=2 3y-x=0 D.关于x、y的方程组 业-x=2的解y=二 31,如图，在RtAABC中，∠A=90°，AB=AC,BC=6.动点D从点B出发，沿着BC运 动（点D与点B、C不重合），DE⊥BC交折线B-A-C于点E,设点D运动的路程为 x(0<x<6,DE的长度为y. y米 6 3 D 人入 1 B E 01234567六 (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出y≤2时x的取值范围. 【题型04.一元一次不等式组】 32.点P(a+2,2a-5)在第四象限，则a的取值范围是（) A.a<-2 5 B.-2<a< c.-3a<2 D.a 2 3x+5≥2 33.一元一次不等式组{x-2、,的最小整数解是() >、1 4 A.-1 B.2 C.1 D.0 试卷第1页，共3页 专题02 不等式与不等式组寒假预习核心讲义 【5大知识点4大题型共计45题】 1预习目标:(1)理解不等式、一元一次不等式的概念，区分不等式与等式(2)掌握不等式的基本性质，会用性质解简单不等式(3)理解一元一次不等式组的定义，会解不等式组并表示解集(4)能将实际问题转化为不等式（组）模型求解 2.预习重点:(1)不等式的基本性质及应用(2)一元一次不等式（组）的解法及解集表示(3)不等式（组）的实际应用 3.预习难点(1)不等式基本性质 3 的理解与应用（乘除负数要变号）(2)一元一次不等式组解集的确定(3)实际问题中不等关系的准确提炼 【知识点01.不等式定义及相关概念】 1.不等式 用符号 **>、<、≥、≤、≠** 连接的式子叫做不等式。 例：3x−2>5，2y+1≤7。 2.不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合。 解集的表示：① 用不等式表示（如 x>3）；② 用数轴表示（注意空心圈 / 实心点、方向）。 3.一元一次不等式 定义：只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b>0（或 <0、、，a≠0）。 4.一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 【知识点02.不等式的基本性质】 1.性质 1：若 a>b，则 a±c>b±c（不等式两边加 / 减同一个数或整式，不等号方向不变）。 2.性质 2：若 a>b，c>0，则 ac>bc， > （不等式两边乘 / 除以同一个正数，不等号方向不变）。 3.性质 3：若 a>b，c<0，则 ac<bc， <​（不等式两边乘 / 除以同一个负数，不等号方向改变）。 注：对比等式性质，性质 3 是不等式特有的，易错点！ 【知识点03.解法】 1.一元一次不等式的解法步骤 1 去分母（注意：乘负数时不等号反向）； 2 去括号； 3 移项（移项要变号）； 4 合并同类项； 5 系数化为 1（注意：除以负数时不等号反向）。 例：解 2(x−1)+3>5x 解：去括号得 2x−2+3>5x → 合并得 2x+1>5x → 移项得 −3x>−1 → 系数化 1 得 x<​。 2.一元一次不等式组的解法步骤 ① 分别解出不等式组中每个不等式的解集； ② 将每个解集表示在同一数轴上； ③ 找出公共部分即为不等式组的解集； ④ 若无公共部分，不等式组无解。 常见解集类型（设 a<b）： 不等式组形式 解集 数轴表示 (a<b) ​ x>b（同大取大） 1.画数轴.标出a、b两点（a在左，b在右） 2. x>a：a处画空心圈，向右画射线 3. x>b：b处画空心圈，向右画射线 4. 公共部分是b右侧，只保留b右侧的射线 (a<b) x<a（同小取小） 1.标出a、b两点（a左b右） 2. x<a：a处空心圈，向左画射线 3. x<b：b处空心圈，向左画射线 4.公共部分是a左侧，只保留a左侧的射线 (a<b) a<x<b（大小小大中间找） 1.标出a、b两点（a左b右） 2. x>a：a处空心圈，向右画 3. x<b：b处空心圈，向左画 4..公共部分是a和b之间的线段 (a<b) 无解（大大小小找不到） 1.标出a、b两点（a左b右） 2. x<a：a处空心圈，向左画 3. x>b：b处空心圈，向右画 4.两条射线无公共部分，数轴上无阴影区域 【知识点04.实际应用】 1.解题步骤： ① 审：审题，找出不等关系； ② 设：设未知数； ③ 列：根据不等关系列不等式（组）； ④ 解：解不等式（组）； ⑤ 验：检验解集是否符合实际意义； ⑥ 答：写出答案。 2.常见题型：方案设计、最值问题、分配问题等。 【知识点05.易错点总结】 1.不等式两边乘 / 除以负数时，忘记改变不等号方向。 2.用数轴表示解集时，空心圈与实心点混淆（含等号用实心点，不含用空心圈）。 3.解不等式组时，找错公共部分（尤其 “大大小小找不到” 的情况）。 4.忽略实际问题中未知数的取值范围（如人数、物品数量为正整数）。 【题型01.不等式及其性质】 1．用适当的式子表示与的和是负数： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可． 【详解】a与b的和是负数，即它们的和小于零， 所以表示为． 故答案为：． 2．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 3．下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，理解不等式的解集的含义是解决问题的关键． 由得出为负数，即可得出答案． 【详解】解：， 为负数， 故选：A． 4．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 5．若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【详解】解：A、两边都加2，不等式成立，正确，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式成立，正确，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，不等式成立，正确，故C不符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，选项的不等式不成立，故D符合题意； 故选：D． 6．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 7．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 8．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？ 【答案】第34个图形所用的“★”超过100个 【分析】本题主要考查图形规律，不等式的运用，理解图示，找出数量关系是关键． 根据题意得到第一个图有“★”的数量是个，结合题意列不等式求解即可． 【详解】解：第一个图有“★”的数量是个， 第二个图有“★”的数量是个， 第三个图有“★”的数量是个， 第四个图有“★”的数量是个， ， ∴第个图有“★”的数量是个， ∴， 解得，， ∴第34个图形所用的“★”超过100个．`` 9．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为 ． 【答案】0或6或8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的整数解，不等式的解集，掌握知识点是解题的关键． 先解方程得到，由于解是正整数，因此必须是9的正因数，且，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 解得． 由于方程的解是正整数，因此且为整数， 故，即， 且必须是9的正因数． 9的正因数有1、3、9， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 均满足解为正整数． 若为负因数，则为负，不符合要求； 若，则分母为零，方程无解． 因此整数的值为0或6或8． 故答案为：0或6或8． 10．已知， ，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，不等式的基本性质及代数式的化简与求值．由第一个绝对值方程可得，代入第二个绝对值方程分析，只有成立，代入所求表达式化简计算即可． 【详解】解：由，得，即， 由，且，分以下情况讨论： ①当时，，代入得，解得； ②当时，，代入得，解得，与矛盾，故舍去， ∴，且， ∴， 由，得，故； ，故， ∴原式． 故答案为：3． 11．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 【题型02.一元一次不等式】 12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．为了减少碳排放，国家提倡绿牌电动车出行．绿牌电动车的国家标准如表： 执行标准 GB17761-2018 最高车速 电池电压 不超过48伏 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 如果电动车的车速是，电池电压是m伏，可搭载一名x周岁的未成年人．下列不等式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，用不等式表示已知的不等关系． 根据绿牌电动车的国家标准，最高车速为，因此车速a应满足，电池电压不超过48伏，因此，可搭载16周岁以下未成年人，因此，即可解答． 【详解】解：∵最高车速， ∴； ∵电池电压不超过48伏， ∴； ∵可载16周岁以下未成年人， ∴， ∴正确的不等式为，对应选项A， 故选：A． 14．若是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据题意列出符合条件的不等式是解题的关键． 根据题意，写出符合条件的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一） 15．不等式的正整数解的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先求出不等式的解集为，再求出正整数解即可． 【详解】解：解不等式21﹣5x＞4的解集为x＜ 因而正整数解是1，2，3共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的正整数解问题，正确求出不等式的解集是解题关键． 16．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键． 先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 解得． 所以不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 17．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 根据不等式的正整数解只有，，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即可解决问题． 【详解】解：A、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； B、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； C、不等式的解集为，正整数解为：，不符合题意； D、不等式的解集为，正整数解为：，，符合题意； 故选：D． 18．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 19．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． ． 20．计算： (1)； (2)解方程组： (3)解一元一次不等式，并在数轴上表示其解集． 【答案】(1) (2) (3)，数轴见详解 【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的性质，绝对值化简再相加减即可； （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （3）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来该解集，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得， 解得， 把代入，得， 解得， 即方程组的解为； （3）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 在数轴上表示出来： 21．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 22．如图①所示，在两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论： ①的值为120； ②的值1.3； ③小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：； ④乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象得到信息，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键． 先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离；利用待定系数法可求解析式；分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】解：甲的速度， 的距离，故①正确； ， 乙车速度， ，故②错误； 设1.5小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式， 把和代入可得， 解得， 函数关系式为，故③正确； 当时， 甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 根据题意可得， 解得， ； 当时， 甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 根据题意可得， 解得， ， 综上所述，，故④错误； 其中正确的有①③两个， 故选：B． 23．雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】(1) (2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 (3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等的应用，方程和方案问题，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式的应用是解题的关键， （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，根据题意可列出W关于x的关系式，再结合实际问题可得到x的取值范围； （2）由于总运费多于元，可得，解得，再根据，可得到三种方案； （3）：设调整后曙光村A型运费为元/台，可得调整后的总费用与x的关系式，因为所有方案总运费相同，所以消去x的影响，得到，即可得到a的值，最后验证即可确定答案． 【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． （2）解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． （3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 【题型03.一元一次不等式一元一次函数 】 24．（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质， （1）利用待定系数法把点代入，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可； （2）根据当时，图象在x轴上方，此时，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过两点， ∴， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 解不等式， 解得． 故答案为：； （2）解：由题意可得：一次函数中，当时，图象在x轴上方，， 则关于x的不等式的解是， 故答案为：． 25．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答．依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和该函数的增减性，从而可以得到当时，x的取值范围． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故选：B． 26．如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一次不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先求出点的坐标，再根据图像求解即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 则点， 由图像得：不等式的解集为：， 故选：A． 27．如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由图可得过原点的直线是函数的图象，不等式表示直线在上方时的取值范围，通过交点可得当时满足条件；本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的图象和性质，熟练运用数形结合的思想，掌握两个图象的交点是两个函数值大小关系的分界点是解题的关键． 【详解】解：由图得直线是函数的图象， 解不等式即求直线在上方时的取值范围， 又∵两直线相交于点， ∴当时满足条件， 故不等式的解集为． 故答案为：． 28．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，结合图象可得其解集为满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意得，满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值， ， 故答案为：． 29．如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是会用待定系数法求直线解析式． （1）利用待定系数法代入求出直线的表达式即可；两直线的解析式联立方程组，解方程组得到点的坐标； （2）根据图象，找出点右边的部分且在x轴上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的表达式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为：； （2）解：由图象可知，点右边直线在的上面， 不等式的解集为： ． 30．如图，已知一次函数（k为常数，且）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数交于点C，已知点C的横坐标为2，下列说法错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．将的图象向下平移2个单位长度后所得图象经过原点 C．对于一次函数，当时， D．关于x、y的方程组的解为 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数．根据已知条件得到，把代入得到，即可求得，，再逐项分析即可得解． 【详解】解：A、∵点C的横坐标为2， ∴当时，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， 当时，，当时，， ∴，， 故选项A正确，不符合题意； B、将的图象向下平移2个单位长度后所得解析式为，其函数图象经过原点， 故选项B正确，不符合题意； C、由函数图象可知，对于一次函数，当时，， 故选项C错误，符合题意； D、方程组可变形为， ∵， ∴方程组的解为， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 31．如图，在中，，，．动点从点出发，沿着运动（点与点不重合），交折线于点．设点运动的路程为的长度为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y有最大值3；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（答案不唯一） (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，画一次函数图象，动点问题的函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点E在上时，当点E在上时，分别画出图形求出函数解析式即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据函数图象，结合函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 当点E在上时， ∵， ∴， ∴， 当点E与点A重合时，， ∵点运动的路程为的长度为， ∴； 当点E在上时，如图所示： 同理：， ∴， ∵点运动的路程为的长度为， ∴； 综上所述，； （2）解：如图所示函数图象，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值3； 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（答案不唯一） （3）由图象得：当时，或． 【题型04.一元一次不等式组】 32．点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 33．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 34．解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解的和． 【答案】6 【分析】本题考查解一元一次不等式组，并求整数解的和．先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后找出所有整数解，最后计算它们的和． 【详解】解：， 由①式得：，解得， 由②式得：，解得， ∴不等式组解集为：， ∴不等式组解集中所有的整数解为：0、1、2、3， ∴不等式组的所有整数解之和为：． 35．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 36．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键． （1）求出关于，的二元一次方程组的解，再令，确定的取值范围即可； （2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组，得 ∵点在第一象限， ∴ 解得． （2）解：由（1）可知方程组的解为， 代入，得， 解得． 37．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 38．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 39．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 40．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 因此不等式组的解集为． 由于整数解有且只有2个， 可知整数解为和， 故需满足， 解得． 故答案为：． 41．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过． 设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他 人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式 后即可得解． 【详解】解：总分，设最高分为，则其他人总分为， 又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和， 其他人任意三人分数和，其总分， ， 即， ， ， 当时，其他人分数均为，任意三人之和为， 此时任意四人之和为，满足条件， 一个人最多得分． 故选：． 42．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 43．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？哪种方案最省钱?最省的费用是多少？ 【答案】(1)A型80万元/台，B型60万元/台 (2)该企业购买方案有两种，方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台；A型5台，B型5台最省钱，最省的费用是700万元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴或6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 最少费用为（万元）． 故方案①最省钱，最省的费用是700万元． 44．一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 45．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $