专题02 不等式与不等式组（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题02 不等式与不等式组 一、不等式的相关概念 1、不等式定义： 用__________连接两个代数式所形成的式子，叫做不等式。 常见不等号：、、、、。 2、不等式的解： 能使不等式成立的__________，叫做不等式的解。 一个不等式的解通常有无数个。 3、 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的__________，组成这个不等式的解集。 4、解不等式： 求不等式__________的过程，叫做解不等式。 5、在数轴上表示不等式的解集： 空心圆圈：表示__________该点（对应、） 实心圆点：表示__________该点（对应、） 方向：大于向____画，小于向____画 二、不等式的基本性质 1、不等式的两边都加（或减）__________，不等号的方向______。若 ，则 。 2、不等式的两边都乘（或除以）__________，不等号的方向______。若 ，，则 ，。 3、不等式的两边都乘（或除以）__________，不等号的方向__________。若 ，，则 ，。 补充：不等式具有传递性：若 ，，则 。 三、一元一次不等式 1、定义： 只含有一个未知数，未知数的最高次数是_____，且不等号两边都是_______的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：、、、（）。 2、一元一次不等式的解法步骤： 1. 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意__________乘常数项； 1. 去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要变号； 1. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，__________； 1. 合并同类项：化为最简形式 （或 ）； 1. 系数化为1：两边同时除以未知数的系数。 系数为正数：不等号方向不变； 系数为负数：__________。 3、解集表示：求出解集后，可在数轴上直观表示，区分空心圈与实心点、画线方向。 四、一元一次不等式组 1、定义：关于__________的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 2、不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的__________，叫做这个不等式组的解集。若没有公共部分，则称不等式组__________。 3、解一元一次不等式组的步骤： 分别求出不等式组中__________的解集； 在__________上表示出各个不等式的解集； 找出所有解集的__________，即为不等式组的解集。 4、两个一元一次不等式组成的不等式组解集规律（设 ）： 不等式组形式 解集口诀 解集 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 五、含参数的不等式（组）常见题型： 已知不等式（组）的解集，求参数取值范围 · 思路：先正常求解不等式，再结合已知解集，对比系数、分析边界，建立关于参数的不等关系。 已知不等式（组）有解/无解，求参数取值范围 · 思路：结合数轴分析解集有无公共部分，确定参数临界值，再判断能否取等号。 已知整数解的个数，求参数取值范围 · 思路：先求出不等式（组）的解集，结合限定的整数解，锁定参数的取值区间，重点验证__________。 六、一元一次不等式（组）的实际应用 1、解题基本步骤： 审：认真审题，找出题目中的__________； 设：设未知数（一般直接设所求量为）； 列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）； 解：求解不等式（组），得到解集； 验：结合__________，检验解集是否符合题意（如人数、物品数为正整数）； 答：写出完整答案。 2、常见应用题型： 方案选择问题：对比多种方案，确定最优方案； 最值问题：求最大数量、最小费用、最大利润等； 分配问题：物资、人员分配，根据分配限制列不等式； 行程、工程、销售类问题：结合公式梳理不等关系。 关键提示：实际问题中，人数、个数、台数等一般取__________。 七、核心易错点与注意事项 易错点 注意事项 运用不等式性质3 两边同时乘/除以负数时，____________________ 去分母运算 每一项都要乘最小公倍数，__________不含分母的常数项 移项运算 ____________________，不动的项不变号 数轴表示解集 区分空心圆圈与实心圆点：不含等号用__________，含等号用__________；分清画线方向 不等式组解集判断 牢记“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，借助数轴辅助判断 含参数问题端点取值 ____________________是高频易错点，务必代入验证 实际应用问题取值 未知数要符合生活实际，人数、数量等只能取_________，不可直接照搬解集 一元一次不等式定义判断 未知数不能出现在分母、根号内，且未知数次数必须为_________ 题型一 不等式的性质 1．若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的取值范围为______． 4．小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有__________（填写命题的序号）． 题型二 求一元一次不等式的解集 5．若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 7．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 8．不等式的解集为_____． 题型三 求一元一次不等式的整数解 9．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 10．不等式的正整数解为______． 11．不等式的最大整数解是：______． 12．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个． 题型四 在数轴上表示不等式的解集 13．解不等式，并把解在数轴上表示出来：． 14．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 15．不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 16．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 用一元一次不等式解决实际问题 17．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 18．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 19．某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 20．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 题型六 用一元一次不等式解决几何问题 21．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 22．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 23．如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 24．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 题型七 求一元一次不等式组的整数解 25．若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为______． 26．解不等式组，并写出它的所有整数解． 27．解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 28．解不等式组，并写出所有整数解． 题型八 不等式组的行程问题 29．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 30．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 31．年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 32．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 题型九 不等式组的经济问题 33．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 34．2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 35．综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 36．已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 题型十 不等式组的分配问题 37． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 38．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 39．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 40．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 题型一 求一元一次不等式解的最值 1．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 2．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 3．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 4．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 题型二 解|x|≥a型的不等式 5．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 6．解不等式： 7．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 8．请阅读绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)不等式的解集为_______； (2)解不等式； (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值； (4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值． 题型三 不等式组解集的情况求参数 9．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若关于的不等式组有6个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．若关于x的不等式组的解集为，则值是（   ） A． B． C． D． 12．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例：已知方程与不等式，当时，同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联解”． (1) 是方程和下列不等式（组）______的“关联解”；（填序号） ①；②；③； (2)若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“关联解”，且m为整数，求m的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“关联解”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 题型四 不等式组和方程组结合的问题 13．若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 14．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 15．关于的方程组的解满足为非正数，为正数． (1)求的取值范围； (2)已知关于的不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数的值． 16．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 题型五 不等式组的方案选择问题 17．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 18．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 19．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 20．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 题型六 不等式组的阶梯收费问题 21．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 22．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 23．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 24．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 题型一 不等式解法探究 65．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …第五步 (1)任务一： 该题第______步出现错误，错误的原因是______； (2)任务二： 张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得______； 解不等式②，得______； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； 原不等式组的解集为______． 66．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求a的取值范围． (2)化简：． (3)关于k的不等式的解集为______． 67．已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 68．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 题型二 最值题型探究 69．已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 70．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 71．利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求的值． 解：，， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ①． 代数式有最小值； ②， ．代数式有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值． 72．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 题型三 不等式运算化简 73．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 74．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 75．已知关于、的方程组的解为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简； (3)当为何整数时，不等式的解集为？ 76．阅读理解： 例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2． 例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x﹣2|＝3的解为 　 　； （2）解不等式：|x﹣2|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8． （4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围． 题型四 不等式与一次函数 77．【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 78．【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是_________；不等式的解是__________． 【拓展延伸】 （3）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②若点是直线上轴右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 79．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值； x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中， ； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ； 当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②直接写出不等式的解集： ． 80．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标，并判断灭点是否在区域“”内； 【迁移应用】 （3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组 一、不等式的相关概念 1、不等式定义： 用不等号连接两个代数式所形成的式子，叫做不等式。 常见不等号：、、、、。 2、不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个不等式的解通常有无数个。 3、 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4、解不等式： 求不等式解集的过程，叫做解不等式。 5、在数轴上表示不等式的解集： 空心圆圈：表示不包含该点（对应、） 实心圆点：表示包含该点（对应、） 方向：大于向右画，小于向左画 二、不等式的基本性质 1、不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变。若 ，则 。 2、不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。若 ，，则 ，。 3、不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。若 ，，则 ，。 补充：不等式具有传递性：若 ，，则 。 三、一元一次不等式 1、定义： 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：、、、（）。 2、一元一次不等式的解法步骤： 1. 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项； 1. 去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要变号； 1. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号； 1. 合并同类项：化为最简形式 （或 ）； 1. 系数化为1：两边同时除以未知数的系数。 系数为正数：不等号方向不变； 系数为负数：不等号方向必须改变。 3、解集表示：求出解集后，可在数轴上直观表示，区分空心圈与实心点、画线方向。 四、一元一次不等式组 1、定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 2、不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。若没有公共部分，则称不等式组无解。 3、解一元一次不等式组的步骤： 分别求出不等式组中每一个不等式的解集； 在同一数轴上表示出各个不等式的解集； 找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 4、两个一元一次不等式组成的不等式组解集规律（设 ）： 不等式组形式 解集口诀 解集 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 五、含参数的不等式（组）常见题型： 已知不等式（组）的解集，求参数取值范围 · 思路：先正常求解不等式，再结合已知解集，对比系数、分析边界，建立关于参数的不等关系。 已知不等式（组）有解/无解，求参数取值范围 · 思路：结合数轴分析解集有无公共部分，确定参数临界值，再判断能否取等号。 已知整数解的个数，求参数取值范围 · 思路：先求出不等式（组）的解集，结合限定的整数解，锁定参数的取值区间，重点验证端点值。 六、一元一次不等式（组）的实际应用 1、解题基本步骤： 审：认真审题，找出题目中的不等关系； 设：设未知数（一般直接设所求量为）； 列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）； 解：求解不等式（组），得到解集； 验：结合实际意义，检验解集是否符合题意（如人数、物品数为正整数）； 答：写出完整答案。 2、常见应用题型： 方案选择问题：对比多种方案，确定最优方案； 最值问题：求最大数量、最小费用、最大利润等； 分配问题：物资、人员分配，根据分配限制列不等式； 行程、工程、销售类问题：结合公式梳理不等关系。 关键提示：实际问题中，人数、个数、台数等一般取正整数。 七、核心易错点与注意事项 易错点 注意事项 运用不等式性质3 两边同时乘/除以负数时，不等号方向一定要改变 去分母运算 每一项都要乘最小公倍数，切勿漏乘不含分母的常数项 移项运算 移动的项必须变号，不动的项不变号 数轴表示解集 区分空心圆圈与实心圆点：不含等号用空心圈，含等号用实心点；分清画线方向 不等式组解集判断 牢记“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，借助数轴辅助判断 含参数问题端点取值 临界值能否取等号是高频易错点，务必代入验证 实际应用问题取值 未知数要符合生活实际，人数、数量等只能取正整数，不可直接照搬解集 一元一次不等式定义判断 未知数不能出现在分母、根号内，且未知数次数必须为1 题型一 不等式的性质 1．若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质（性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，原式错误，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意． 2．如果，那么下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、∵，∴，故该不等式正确，不符合题意； B、∵，∴，故该不等式正确，不符合题意； C、∵，∴，故该不等式正确，不符合题意； D、∵，∴，故该不等式错误，符合题意． 3．若，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，先根据b的取值范围求出的取值范围，再结合a的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 4．小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有__________（填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，命题．逐一分析每个命题的真假性：命题①可通过反例判断为假；命题②利用不等式性质推导为真；命题③根据平方非负性和不等式性质判断为真；命题④通过反例证明为假；命题⑤通过不等式性质验证为真． 【详解】解：命题①，取反例，，满足，但，故命题①为假命题，不符合题意； 命题②，由，两边同乘，再两边加1得，故命题②为真命题，符合题意； 命题③，由得，由于， 当时，两边同除得， 当时前提不成立， 故命题③为真命题，符合题意； 命题④，取反例，满足，但，不满足，故命题④为假命题，不符合题意； 命题⑤，由，可得，展开得，即，故命题⑤为真命题，符合题意； 故答案为：②③⑤． 题型二 求一元一次不等式的解集 5．若二次根式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题可知， 解得：． 6．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 7．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得． 8．不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先移项合并同类项，再根据不等式的基本性质判断不等号方向，系数化为1后进行分母有理化即可得到解集． 【详解】 移项，得. 合并同类项，得. ， . . 即． 题型三 求一元一次不等式的整数解 9．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 10．不等式的正整数解为______． 【答案】，2 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数即可． 【详解】解： 移项，得， 系数化为，得， ∴原不等式的正整数解为． 11．不等式的最大整数解是：______． 【答案】－4 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴小于的最大整数为． 12．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个． 【答案】12 【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：， ， ，是正整数， ， 解得，即只能取1，2，3， 当时，， 正整数解为：，，，，，， 当时，， 正整数解为：，，，， 当时，， 正整数解为：，； 综上，它的正整数解有12个． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键． 题型四 在数轴上表示不等式的解集 13．解不等式，并把解在数轴上表示出来：． 【答案】，数轴见解析 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1解不等式，然后在数轴上表示解集．重点注意系数化为1的过程中，系数若为负号，则不等号方向需要改变． 【详解】解： ， 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 14．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 15．不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集． 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： ． 16．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式求出解集，再根据“小于向左，大于向右，有等号画实心，无等号画空心”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 该不等式的解集在数轴上表示为： 观察选项，只有D选项符合． 故选D． 题型五 用一元一次不等式解决实际问题 17．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 18．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，再根据甲乙两种奶茶蛋白质含量大于等于4200单位列出不等式，求出解集即可； （2）根据甲乙两种原料的费用和小于等于72元列出不等式，再结合（1）中的解集可得答案． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，由题意得 ， 解得， ∴． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是； （2）解：由题意得， 解得． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是． 19．某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包，再根据利润公式列函数关系式即可； （2）先列函数关系式，再求解自变量的取值范围，利用函数的性质根据最大值列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包， 由题意得，， 即； （2）解：设除去捐款后获得的利润为元， 由题意得，， 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍， ， ， 中，， W随x的增大而减小，即当时，W取最大值11000， ， 解得． 20．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组． （1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围； （2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案． 【详解】（1）解： 租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆， ． 总载客量需满足， ， ． 又为整数，且， 的取值范围是，且为整数． （2）解： 租车总费用不超过21940元， ， ． 结合（1）中，得，且为整数， 可取，共25种租车方案． 中，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，． 答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱． 题型六 用一元一次不等式解决几何问题 21．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 22．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 23．如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 24．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 题型七 求一元一次不等式组的整数解 25．若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一元一次不等式组的解集求参数，不等式组的整数解，由一次函数的图象可得，得到，又根据不等式组的解集可得，即得，得到的整数值，把它们相加即可求解，掌握一次函数的图象和解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， 又不等式组， 由得，， 由得，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴的取值范围为， ∴的整数值为，，，，， ∴满足所有条件的整数之和为， 故答案为：． 26．解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】原不等式组的解集是，它的所有整数解是，，，， 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并写出所有整数解即可．熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 则这个不等式组的所有整数解为，，，，． 27．解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：7，8，9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 所以该不等式组所有整数解为：7，8，9． 28．解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 题型八 不等式组的行程问题 29．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 30．如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 31．年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，，； (2)货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； (3)． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据从仓库到仓库的运输时间为：（小时），直接运输成本为：（元），运输总成本为：（元），从而求解； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：从仓库到仓库的运输时间为：（小时）， 直接运输成本为：（元）， 运输总成本为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时； 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； （3）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值）， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 32．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式； （2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 题型九 不等式组的经济问题 33．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 34．2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 【答案】(1) A、B两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元 (2) 函数关系为（，且为整数），购买型号3台、型号7台满足要求且费用最少，最少费用为165万元 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买3台型机器人，2台型机器人，共需90万元；买1台型机器人，6台型机器人，共需110万元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； （2）解：根据题意得：， 又， 解得：， （，且为整数）， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值为（万元）， 此时购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人3台，购买型号智能机器人7台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是165万元． 35．综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)3600元 (2)购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【分析】本题考查的是一次函数的应用． （1）设甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的解析式为，再利用待定系数法求解即可． （2）先求解，设售完后可获得利润为元，得到，再利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数， 设其解析式为（）， 将点，代入， 得， 解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 36．已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元． (3) 【分析】本题主要考查了列一次函数，一元一次不等式组的应用，一次函数图象的性质， 对于（1），先分别表示出甲，乙仓库运往A，B两地物资的吨数，再分别根据运费的单价得出总费用的关系式，列不等式组得出自变量取值范围； 对于（2），根据一次函数图象的性质，并结合自变量取值范围，当时，的值最小，进而求出最小值即可； 对于（3），先根据题意得出含有a的一次函数关系式，再分三种情况根据总费用最低等于23100得出方程，并求出符合题意的答案． 【详解】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 题型十 不等式组的分配问题 37． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 38．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 39．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 40．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 题型一 求一元一次不等式解的最值 1．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 2．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 3．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 解|x|≥a型的不等式 5．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键． 不等式变形为，令，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令， 当时，， ∴当恒成立时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， 综上：， 故答案为：． 6．解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 7．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 8．请阅读绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)不等式的解集为_______； (2)解不等式； (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值； (4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由绝对值的几何意义即可得出答案； （3）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案； （4）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案． 【详解】（1）解：根据绝对值的定义得：， 解得； （2）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （3）解：， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （4）解：两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是正整数， 或． 题型三 不等式组解集的情况求参数 9．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 10．若关于的不等式组有6个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解一元一次不等式组的知识并结合解的个数，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的不等式组有6个整数解， ∴该不等式组的整数解有：4、3、2、1、0、，共6个， ∴， 解得：， 故选：B． 11．若关于x的不等式组的解集为，则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据已知解集确定参数的值． 【详解】解：， 解不等式①：，移项得 ． 解不等式②：，移项得 ，即 ． 因此，不等式组的解集为 ． 由题意，解集为 ， ∴， 解得： 因此，． 故选：A． 12．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例：已知方程与不等式，当时，同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联解”． (1) 是方程和下列不等式（组）______的“关联解”；（填序号） ①；②；③； (2)若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“关联解”，且m为整数，求m的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“关联解”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“关联解”的定义是解题的关键． （1）根据“关联解”的定义判断即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （3）先求出不等式组的解集，不等式组有5个整数解，即可得出，然后解方程得：，根据“关联解”的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：①把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； ②把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； ③解不等式组得， ， ∴不是不等式则的解； 故答案为：①； （2）解：解方程组，得， ∵二元一次方程组和不等式组有“关联解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有5个， 令整数的值为，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“关联解”， ， 解得， 综上的取值范围是． 题型四 不等式组和方程组结合的问题 13．若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 15．关于的方程组的解满足为非正数，为正数． (1)求的取值范围； (2)已知关于的不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，求一元一次不等式的整数解，正确解二元一次方程组是解题的关键． （1）先解关于二元一次方程组，求出值，根据为非正数，为正数列不等式组进行求解； （2）将不等式变形为，根据不等式的解集为确定，结合（1）的结论最后求解即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为正数， ， 解，得 （2）整理不等式，得， 关于的不等式的解集为， ，即， 由（1）知， ， 取整数值为 16．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 题型五 不等式组的方案选择问题 17．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 18．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元 (2)共有3种可行的购买方案，方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本 (3)购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，再建立方程求解即可； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据题意得：，再进一步求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出成本最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）解：设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本； 方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本； 方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本； （3）解：方案一总花费：元， 方案二总花费：元， 方案三总花费：元， ∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低． 19．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 20．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 题型六 不等式组的阶梯收费问题 21．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 22．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 23．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 24．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型一 不等式解法探究 65．下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …第五步 (1)任务一： 该题第______步出现错误，错误的原因是______； (2)任务二： 张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得______； 解不等式②，得______； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； 原不等式组的解集为______． 【答案】(1)五；不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)；；数轴表示见解析； 【分析】（）根据不等式的性质即可判断求解； （）根据解不等式组的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号， 故答案为：五；不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为， 故答案为：；；． 66．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求a的取值范围． (2)化简：． (3)关于k的不等式的解集为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可得，，从而得到关于a的不等式，即可求解； （2）根据题意可得，，然后根据绝对值的性质化简，再合并，即可求解； （3）根据题意可得，再由不等式的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由，得：， 整理，得， 即， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴，， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的加减混合运算，绝对值的性质，不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 67．已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 68．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 题型二 最值题型探究 69．已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】A 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，根据题意，可得，求出的取值范围，推出的取值范围，再根据，得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴有最大值，且最大值为． 故选：A． 70．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2； (2) (3)18 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 71．利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求的值． 解：，， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ①． 代数式有最小值； ②， ．代数式有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值． 【答案】(1)小， (2)有最大值，最大值为6 (3)15 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性、三角形的三边关系、不等式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）先求出，再利用完全平方公式可得，然后根据即可得； （3）先将已知等式变形为，根据偶次方的非负性可得，，从而可得，再根据三角形的三边关系可得，可得出整数的最小值，然后利用三角形的周长公式求解即可得． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 故答案为：小，． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为6． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的三条边的长度分别为， ∴，即， ∵为正整数， ∴整数的最小值为3， ∴周长的最小值为． 72．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）根据配方法将平方形式，结合其非负性即可求得最小值； （2）根据配方法将配成形式，结合其非负性即可求得最小值为正数，即可知无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）根据已知得，由面积公式得展开配成平方形式，结合非负性和不等式的性质求得最大值即可； （4）连结，由中点的性质得和，则 ，进一步得到=，结合 和 ，得到，结合（3）知四边形的面积最大值为 ，即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解： ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当，四边形的面积最大，最大值为． （4）连结，如图， ∵点M是的中点， ∴，， ∴ ， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 四边形的面积最大值为 ， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，涉及配方法和非负性、不等式的性质、中点的性质，解题的关键是熟悉配方法和中点的性质． 题型三 不等式运算化简 73．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 74．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 75．已知关于、的方程组的解为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简； (3)当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可； （2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可； （3）根据不等式的解为得出且，解此不等式得到关于a取值范围，找出符合条件的a的值． 【详解】（1）解：， 得： 解得， 得： 解得， 方程组的解为非正数，为负数， 且， 解得：； （2）， ，， ； （3） 不等式的解为， ， ， ，为整数， 的值是， 当为－1时，不等式的解为． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组、代数式的化简求值，先把a当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于a的不等式组求出a的取值范围是解答此题的关键． 76．阅读理解： 例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2． 例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x﹣2|＝3的解为 　 　； （2）解不等式：|x﹣2|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8． （4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a<6 【分析】（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可； （2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可； （3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集； （4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5， ∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5； （2）在数轴上找出|x-2|=1的解． ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3， ∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3． （3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边． 若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3， ∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3， ∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3． （4）原问题转化为：a小于|x+2|+|x-4|最小值． 当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2， 当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6， 当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2， 即|x+2|+|x-4|的最小值为6． 故a<6． 【点睛】本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目． 题型四 不等式与一次函数 77．【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 【答案】（1）；（2），；（3）长度的取值范围为． 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，求不等式组的解集等，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）先求出交点坐标，然后根据函数图象求不等式解集即可； （3）先求出交点坐标，确定，然后求不等式组的解集得出不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为，再由垂线段最短结合图象求取值范围即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过点， ∴由图象得不等式的解集是， 故答案为：； （2）联立两个函数： 解得：， ∴交点坐标为， 由函数图象得：当时，图象在图象的上方， ∴ ∴不等式的解集是， 故答案为：，； （3）联立两个函数：， 解得：， ∴， 当时，，， ∴， 解不等式：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为， 过点E作轴，如图所示：此时EP取得最小值为， 当横坐标取4时，， ∴长度的取值范围为． 78．【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是_________；不等式的解是__________． 【拓展延伸】 （3）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②若点是直线上轴右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；；；（3）①；；②或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①联立两个函数关系式，解方程组，求出点A的坐标即可；把代入函数解析式，求出点C的坐标即可； ②分两种情况：当点M在点A左侧，当点M在点A右侧，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：；；； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当点M在点A左侧，即时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴此时； 当点M在点A右侧，即时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与二元一次方程组的关系，解不等式，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合，并注意进行分类讨论是解题的关键． 79．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值； x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中， ； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ； 当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)；减小 (4)①或；② 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）将代入函数求解即可； （2）根据表格中的数据，描点画出函数图象； （3）根据函数图象解答即可； （4）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：令得：； （2）解：函数的图象如下： （3）解：由（2）中图象可知，该函数图象的最低点坐标是， 当时，y随x的增大而减小； （4）解：①由图象可知，不等式的解集为或； ②不等式移项得：， 由图象可知，该不等式的解集为． 80．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点． （1）求左侧边界线的函数表达式； （2）求灭点的坐标，并判断灭点是否在区域“”内； 【迁移应用】 （3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围． 【答案】（1） （2）灭点的坐标为，灭点不在区域内 （3） 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，涉及求出一次函数解析式，两直线的交点，一次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求的解析式即可． （2）联立两直线，求出点P的坐标，再根据灭点区域判断即可． （3）由题意知平移后的函数表达式为，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设的函数表达式为 由题知． 解得． 的函数表达式为 （2）由题意得 解得 灭点的坐标为． 灭点不在区域“”内 （3）由题意知平移后的函数表达式为 则有． 解得． 由题意知 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $