第二章 相交线与平行线 提升卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二单元 相交线与平行线 提升卷-北师大版数学七年级下册 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2025七下·嵊州期末） 以下四种沿 AB 折叠的方法中，若 ，一定能判定纸带两条边线 a， b 互相平行的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七下·温江期末）如图，AB//CD，BC平分∠ACD，若∠ABC=32°，则∠BAC的度数为（　　） A．108° B．112° C．116° D．120° 3．（2025七下·龙港期中） 如图，AB//CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE=39°，则∠AEC的度数是（　　） A．51° B．61° C．39° D．141° 4．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　） A．15° B．30° C．60° D．120° 5．（2025七下·浙江期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中线段AB，CD都与地面平行，．若CB，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　) A．75° B．60° C．135° D．120° 7．已知 和 互余，且 ，则 的补角是（　　） A． B． C． D． 8．（2025七下·安州期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1=∠3；②如果∠1=30°，则有AC∥DE；③如果∠2=45°，则有BC∥AD；④如果∠4=∠C，必有∠2=30°，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2025七下·安州期末）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=120°，∠2=56°，则∠3=　 　． 10．（2025七下·越秀期末） 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是　 　． 11．（2024七下·慈溪期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　． 12．（2025七下·椒江期末） 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知，，则减少的仰角的度数为　 　. 13．（2025七下·雨花期末）如图，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，∠EBF=90°，入射光线DE经过两次反射后，得到反射光线FG，ENI∥BC，若∠DEN=26°，则∠EFG=　 　. 三、解答题（共7题，共61分） 14．（2025七下·莲都期末） 如图，是内一点，点在上．过点画一条直线平行于，过点画一条直线平行于，直线交于． （1）用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形． （2）若，求的度数． 15．（2025七下·雨花期末）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD的度数。 解：如图②，过点B作BF//AE． ∵CD∥AE （ ) ， ∴ ∥ CD （平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠BCD+ = 180°（ ） ∵AB⊥AE， ∴∠EAB= （ ） ∵BF∥AE（辅助线作法)， ∴ +∠EAB=180°， ∴∠ABF=180°—∠EAB= ， ∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD= 16．（2025七下·榕城期末） 如图， ，∠1=∠B. ⑴证明： ⑵若 求∠EDC的度数. 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由. 解：⑴∵AD∥BC， (已知) ∴∠1= ▲ .(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1=∠B，(已知)∴∠B= ▲ .(等量代换) ∴AB∥DE. ( ) ⑵由（1）已证AB∥DE， ∴∠A+ ▲ =180°，( ) ∵∠A=120°，∴∠1= ▲ °. ( 等式的性质) ∵CD⊥AD， (已知) ∴∠ADC=90°. (垂直的定义) ∴∠EDC= ▲ ° 17．（2025七下·宁波期末）如图1，点在线段上，点在线段上，． （1）请说明； （2）如图2，连结，若，判断与的位置关系并说明理由． 18．（2025七下·东莞期中）阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，． （1）如图2，求证：； （2）如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 19．（2025七下·三水期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____． 【基础巩固】 （2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 20．（2025七下·东莞期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 相交线与平行线 提升卷-北师大版数学七年级下册 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2025七下·嵊州期末） 以下四种沿 AB 折叠的方法中，若 ，一定能判定纸带两条边线 a， b 互相平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行线的应用-折叠问题 【解析】【解答】解：A：∠1＝∠2，不能判定两直线平行，A不符合题意； B：∠1＝∠2，不能判定两直线平行，B不符合题意； C：∠1＝∠2，不能判定两直线平行，C不符合题意； D：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，∴∠3＝∠2， 根据同位角相等，两直线平行进行判定，故D正确，符合题意 故答案为：D . 【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行分析，即可解答． 2．（2025七下·温江期末）如图，AB//CD，BC平分∠ACD，若∠ABC=32°，则∠BAC的度数为（　　） A．108° B．112° C．116° D．120° 【答案】C 【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：∵ AB//CD， ∴∠ABC=∠BCD=32°， ∵ BC平分∠ACD ， ∴∠ACD=2∠BCD=2×32°=64°， ∵∠ACD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠ACD=180°-64°=116° 故答案为：C. 【分析】根据两直线平行，内错角相等，∠ABC=∠BCD=32°，根据角平分线的定义，∠ACD=2∠BCD，根据两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BAC. 3．（2025七下·龙港期中） 如图，AB//CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE=39°，则∠AEC的度数是（　　） A．51° B．61° C．39° D．141° 【答案】A 【知识点】两直线平行，同位角相等 【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠AFE=39°， ∴∠FED=∠AFE=39°。 ∵ ∠AEC与∠FED互余， ∴ ∠AEC+∠FED=90°， ，∴∠AEC=51°. 故答案为：A. 【分析】根据平行线的性质和∠AFE=39°，可得∠FED=∠AFE=39°。再由∠AEC与∠FED互余，即可求得∠AEC的度数. 4．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　） A．15° B．30° C．60° D．120° 【答案】B 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：∵CD∥EF， ∴∠2+∠5 =180°， ∴∠5 =180°-∠2， ∵CE∥DF， ∴∠3=∠5=180°-∠2， ∵AB∥CD， ∴∠4=∠6， ∵AC∥BD， ∴∠6=∠1， ∴∠4=∠1， ∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°. 故答案为：B. 【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可. 5．（2025七下·浙江期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中线段AB，CD都与地面平行，．若CB，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行线的应用-求角度 【解析】【解答】解：∵AB，CD都与地面平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°， ∵∠BCD=62°，∠BAC=55°， ∴∠ACB=180°-62°-55°=63°， 当∠MAC=∠ACB=63°时，AM/CB， 故答案为：B. 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可得出答案. 6．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　) A．75° B．60° C．135° D．120° 【答案】A 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE， 则∠DCF+∠CDE=180°， 由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°， 所以∠DCF=45°， 因为行车路线与开始的路线是平行的， 所以AB∥DE， 又CF∥DE， 所以AB∥CF， 所以∠BCF=∠ABC=120°， 所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°， 所以第二次转过的角度为75°. 故答案为：A. 【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。 7．已知 和 互余，且 ，则 的补角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余角、补角及其性质 【解析】【解答】解：∵ 和 互余，且 ， ∴∠2=90°-∠1=90°-40°17′=49°43′， ∴ 的补角为180°-49°43′=130°17′， 故答案为：C． 【分析】根据余角的性质，求出∠2的度数，再根据补角的定义，求出∠2的补角即可。 8．（2025七下·安州期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1=∠3；②如果∠1=30°，则有AC∥DE；③如果∠2=45°，则有BC∥AD；④如果∠4=∠C，必有∠2=30°，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】平行线的应用-三角尺问题 【解析】【解答】解： 将一副三角板按如图放置 ， ∴△ABC是45°直角三角板，△AED是∠E=60°直角三角板； ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴ ∠1=∠3 ， ∴① 正确； ∵ ∠1=30°， ∵∠E=60°， ∴ AC不平行DE ， ∴②不正确； ∵ ∠2=45° ， ∴∠3=45° ， ∵∠B=45°， ∴ BC∥AD， ∴③正确； ∵ ∠4=∠C=45° ， ∵∠B=45° ∴ED⊥AB， ∵∠E=60°， ∴∠2= 30° ， 故答案为：C. 【分析】根据一副三角板，可以判断三角板的类型，在根据平行线的判定角之间的关系，对每一个结论去论证，即可判断是否正确. 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2025七下·安州期末）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=120°，∠2=56°，则∠3=　 　． 【答案】64° 【知识点】两直线平行，同位角相等 【解析】【解答】如图 ∵ a∥b，∠1=120° ， ∴∠1=∠4=120°， ∵∠4=∠2+∠3， ∵ ∠2=56° ， ∴∠3=∠4-∠2=120°-56°=64°； 故答案为：64°. 【分析】根据平行线性质，可以判断∠1=∠4，根据三角形外角的性质，可以判断∠4=∠2+∠3，这样可以计算出∠3的值. 10．（2025七下·越秀期末） 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是　 　． 【答案】3 【知识点】两点之间线段最短；点到直线的距离 【解析】【解答】 解：根据点到直线的距离可知： 点P到直线l的距离是PB， ∵PB=3 ∴点P到直线l的距离是PB=3 故答案为：3 . 【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离；由题知：PB⊥l，根据点到直线的距离的定义可知：PB的长度就是点P到直线l的距离，代入数据即可得出答案. 11．（2024七下·慈溪期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　． 【答案】28° 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：延长CD到H．如图 ∵AB∥CH， ∴∠A+∠ADH＝180°， ∠ADF=∠ADH+∠HDF ∵∠A+∠ADF＝208°，即∠A+∠ADH+∠HDF＝208° ∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°， ∵EF∥CH， ∴∠F＝∠HDF＝28°． 故答案为：28° 【分析】延长CD到H。根据两直线平行同旁内角互补得∠A+∠ADH＝180°，结合 ∠A+∠ADF＝208° 得到∠HDF=28°，再根据根据两直线平行内错角相可求出∠F。 12．（2025七下·椒江期末） 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知，，则减少的仰角的度数为　 　. 【答案】15° 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：如图 作CH∥AB，延长EF ∴ =∠BCH=150°， ∴∠DCH=30° ∵∠CEF=165°， ∴∠DEC=180°-∠CEF=180°-165°=15°， ∵EF∥CH， ∴∠DEC=∠ECH， ∴ =15° 故答案为： 15°. 【分析】作辅助线，根据平行线的性质，可以判断∠ABC=∠BCH，根据角度的关系以及平行线的性质，判断出∠DCE. 13．（2025七下·雨花期末）如图，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，∠EBF=90°，入射光线DE经过两次反射后，得到反射光线FG，ENI∥BC，若∠DEN=26°，则∠EFG=　 　. 【答案】128° 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：∵入射角等于反射角， ∴∠AED=∠BEF，∠BFE=∠CFG， ∵ENI∥BC，AB⊥BC， ∴∠AEN= ∠EBF=90° ， ∵ ∠DEN=26° ， ∴∠AED=90°-∠DEN=64°， ∴∠BEF=∠AED=64°， ∴∠BFE=180°-∠BEF- ∠EBF=26°， ∴∠CFG=∠BFE=26°， ∴∠EFG=180°-∠CFG-∠BFE=128°. 故答案为：128°. 【分析】根据入射角等于反射角得出∠AED=∠BEF，∠BFE=∠CFG，由ENI∥BC，AB⊥BC得出∠AEN= ∠EBF=90° ，再由直角的定义与三角形的内角和得出∠BFE的度数，再由∠BFE=∠CFG与平角的定义即可得答案. 三、解答题（共7题，共61分） 14．（2025七下·莲都期末） 如图，是内一点，点在上．过点画一条直线平行于，过点画一条直线平行于，直线交于． （1）用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：∵直线a平行于AB， ∵直线b平行于BC， ​​​​​​​ 【知识点】平行线的性质；三角板（直尺）画图-平行线 【解析】【分析】(1)根据画平行线的方法作图即可； (2)先根据两直线平行，内错角相等求出 再根据两直线平行，同位角相等解答即可. 15．（2025七下·雨花期末）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD的度数。 解：如图②，过点B作BF//AE． ∵CD∥AE （ ) ， ∴ ∥ CD （平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠BCD+ = 180°（ ） ∵AB⊥AE， ∴∠EAB= （ ） ∵BF∥AE（辅助线作法)， ∴ +∠EAB=180°， ∴∠ABF=180°—∠EAB= ， ∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD= 【答案】解：如图②，过点B作BF//AE． ∵CD∥AE （已知) ， ∴BF∥ CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠BCD+∠CBF = 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB⊥AE， ∴∠EAB=90°（垂直的定义） ∵BF∥AE（辅助线作法)， ∴∠FBA +∠EAB=180°， ∴∠ABF=180°—∠EAB=90°， ∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270° 【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【分析】过点B作BFIIAE，如图，由于CDIIAE，则BFIICD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF=180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，即∠ABF=90°，于是得到结论. 16．（2025七下·榕城期末） 如图， ，∠1=∠B. ⑴证明： ⑵若 求∠EDC的度数. 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由. 解：⑴∵AD∥BC， (已知) ∴∠1= ▲ .(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1=∠B，(已知)∴∠B= ▲ .(等量代换) ∴AB∥DE. ( ) ⑵由（1）已证AB∥DE， ∴∠A+ ▲ =180°，( ) ∵∠A=120°，∴∠1= ▲ °. ( 等式的性质) ∵CD⊥AD， (已知) ∴∠ADC=90°. (垂直的定义) ∴∠EDC= ▲ ° 【答案】解：（1）∵AD∥BC， (已知) ∴∠1=∠DEC.(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1=∠B，(已知)∴∠B=∠DEC.(等量代换) ∴AB∥DE. (同位角相等，两直线平行 ) （2）由（1）已证AB∥DE， ∴∠A+∠1=180°，(两直线平行，同旁内角互补 ) ∵∠A=120°，∴∠1=60°. ( 等式的性质) ∵CD⊥AD， (已知) ∴∠ADC=90°. (垂直的定义) ∴∠EDC=30° 【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度 【解析】【分析】（1）首先根据 两直线平行，内错角相等 ，可得出 ∠ 1= ∠ DEC，再把 ∠ 1等量代换为 ∠ B，即可得出 ∠ B= ∠DEC 得出，根据同位角相等，两直线平行，可得出AB∥DE； （2）首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠ 1的度数，进而根据垂直定义得出∠ ADC的度数，进一步即可得出∠ EDC的度数。 17．（2025七下·宁波期末）如图1，点在线段上，点在线段上，． （1）请说明； （2）如图2，连结，若，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】（1）证明：如图1， ∵， ∴． ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质 【解析】【分析】（1）先证 ，得，结合，可得 ，可证； （2）先利用平行线的性质得∠EFD和∠BFD的度数，可得∠EFB的度数，即可得出结论. 18．（2025七下·东莞期中）阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，． （1）如图2，求证：； （2）如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， 又，， ， ，， ， . （2）解：．理由： 由题意可知，， ， ， ，， ， ． 【知识点】平行线的应用-证明问题 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠2=∠3，再利用等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后证出即可； （2）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可． （1）证明：， ， 又，， ， ，， ， ； （2）解：．理由： 由题意可知，， ， ， ，， ， ． 19．（2025七下·三水期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____． 【基础巩固】 （2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）40； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；补角 【解析】【解答】解：（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案. （2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案. （3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 20．（2025七下·东莞期中）【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【答案】（）证明：如图， 过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；平行线的应用-求角度 【解析】【分析】（1）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得； （2）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得； （3）过点作，过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $