精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

马鞍山二中2025-2026学年度第一学期高三12月测试 数学试题卷 命题人：程康丽 审题人：梁宝同 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为全称量词命题，该命题的否定为“”. 故选：D. 3. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. （0，2） B. （1，0） C. （2，0） D. （0，1） 【答案】C 【解析】 【分析】向量在方向上的投影向量为. 【详解】向量在方向上的投影向量为. 故选：C 4. 若，且，则的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，求得，进而得到答案. 【详解】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递减区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递增区间是 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义，结合二次函数的单调性以及奇函数的性质作出判断. 【详解】，即函数是奇函数 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增 即函数的增区间为和，减区间为 故选：C 6. 在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为、不共线，且，所以，， 故. 故选：B. 7. 已知函数在处有极小值，则极大值为（ ） A. 32 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解. 【详解】由题意可得， 由于是极小值点，故，或 , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 8. 已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等比数列中，，公比为，则（ ） A. B. C. 是公比为4的等比数列 D. 是公比为4的等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式求解判断AB，结合等比数列的定义判断CD. 【详解】A，由题意得，因为，所以，故A错误； B，，则，故B正确； C，由，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； D，当时，，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知复数满足，则（ ） A. 与的实部相等 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用特殊值法判断A、C，根据共轭复数的性质及模的相关运算判断B、D. 【详解】取，满足，但它们的实部不相等，A错误； 由，，所以，B正确； 取，满足， ，C错误； 设复数，则， ，所以，D正确. 故选：BD 11. 已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为10 D. 的最小值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由诱导公式及和差角公式求得结果. 【详解】. 故答案为： 13. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m. 【答案】300 【解析】 【详解】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300. 考点：解斜三角形 【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度. 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得的曲线是某个函数的图象，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知直线与的图像至多只有一个交点，从而可得至多只有一根，即函数在定义域上单调，求导，分情况讨论函数的单调性可得参数范围. 【详解】由题意可知，直线与的图像至多只有一个交点， 即，即至多有一个根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由知，，当时，， 所以在上有正有负，所以函数在上不单调，不符合题意； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即，即， 又时，，所以由函数在上单调，知， 解得，又，即； 综上所述，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，公差不为，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由，可得，即， 又由成等比数列，可得，所以， 整理得，联立方程组，解得， 所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 所以． 16. 设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2. （1）求a，b的值； （2）证明：f(x)≤2x-2． 【答案】（1）a＝－1，b＝3. （2）f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx. 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 g′(x)＝－1－2x＋＝－. 当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. 【解析】 【小问1详解】 f ′(x)＝1＋2ax＋. 由已知条件得即， 解得a＝－1，b＝3. 【小问2详解】 略 考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明． 点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性．定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解． 17. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. 【小问2详解】 因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 18. 已知数列中，． （1）设，证明是等比数列，并求其通项公式； （2）在数列中任取三项作为三条线段的长，这三条线段能否组成三角形？请说明理由； （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2）可以，证明如下： 由（1）知且， 可得， 因为，所以，所以， 即， 不妨设，有，所以可以组成三角形. （3）证明： 由（2）知，， 因为， 因为显然成立（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 因此． 【解析】 【分析】（1）由题设易得，可得，进而结合等比数列的定义求证即可，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，易得，设，再根据三角形的成立条件求解即可； （3）结合（2）可得，进而求证即可. 【小问1详解】 由， 可得，， 所以， 因为，所以，即， 又因为，可得，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则. 【小问2详解】 可以，证明略； 【小问3详解】 略. 19. 若函数h(x)满足 （1）h(0)=1，h(1)=0； （2）对任意，有h(h(a))=a； （3）在（0,1）上单调递减．则称h(x)为补函数．已知函数 （1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论； （2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn< ,求的取值范围； （3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求p的取值范围． 【答案】 （1）是补函数，证明如下： ① ； ② ； ③ 令，有， 因为，所以当时，，所以在（0，1）上单调递减，故函数在（0，1）上单调递减； ∴函数是补函数； （2）[3,+∞) ， （3）(1,+∞) . 【解析】 【分析】（1）按照补函数的定义一步一步地证明即可； （2）求出中介元 ，用等比数列求和公式即可； （3）对p分类讨论，考虑x的范围，总有 ，构造函数，讨论单调性即可. 【详解】（1）略； （2） 当，由，得： ①当时，中介元； ②当且时， 由（*）可得或（舍）； 得中介元， 综上有对任意的，中介元（） 于是，当时，有= 当n无限增大时， 无限接近于0， 无限接近于， 故对任意的，成立等价于， 即 ； （3） 当时， ，中介元是 ①当时， ，中介元为， 所以点不在直线y=1-x的上方，不符合条件； ②当时，依题意只须在时恒成立， 也即在时恒成立， 设，，则， 由可得，且当时，，当时，， 又因为=1，所以当时， 恒成立， ∴p的取值范围为（1，+）； 故答案为：是补函数，证明见解析， ， . 【点睛】本题属于创新题，读懂题意很重要，其中第（2）问中求和公式的缩放需要很好的理解， 是递增的，必须要考虑是无限接近于这样一个极限的思想， 第（3）中将p分为大于1和小于等于1是讨论的核心， 只有在此基础上后面的计算才顺理成章. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山二中2025-2026学年度第一学期高三12月测试 数学试题卷 命题人：程康丽 审题人：梁宝同 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. （0，2） B. （1，0） C. （2，0） D. （0，1） 4. 若，且，则的最大值（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递减区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递增区间是 6. 在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极小值，则极大值为（ ） A. 32 B. 1 C. D. 0 8. 已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等比数列中，，公比为，则（ ） A. B. C. 是公比为4的等比数列 D. 是公比为4的等比数列 10. 已知复数满足，则（ ） A. 与的实部相等 B. C. D. 11. 已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为10 D. 的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m. 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得的曲线是某个函数的图象，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，公差不为，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2. （1）求a，b的值； （2）证明：f(x)≤2x-2． 17. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 18. 已知数列中，． （1）设，证明是等比数列，并求其通项公式； （2）在数列中任取三项作为三条线段的长，这三条线段能否组成三角形？请说明理由； （3）证明：． 19. 若函数h(x)满足 （1）h(0)=1，h(1)=0； （2）对任意，有h(h(a))=a； （3）在（0,1）上单调递减．则称h(x)为补函数．已知函数 （1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论； （2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn< ,求的取值范围； （3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求p的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $