精品解析：江苏省无锡市长泾第二中学2025-2026学年九年级上册12月阶段练习数学试题

初三数学12月随堂练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高的长为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 3. 若扇形的半径为，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数y＝（x－1）2+2，下列说法正确的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为（0，2） B. 图像的对称轴在y轴的左侧 C. y的最大值为2 D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（ ） A. 4cm B. 4.5cm C. 5cm D. 6cm 8. 如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（    ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（　　） A. DO∥AB B. △ADE是等腰三角形 C. DE⊥AC D. DE是⊙O的切线 10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米． 12. 若二次函数的图像经过点，则____________． 13. 二次函数y=x2+4x+a的最小值是2，则a的值是_____． 14. 已知二次函数，当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、，则、、的大小关系是_________________用“”连接 15. 如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝_____． 16. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 17. 若是锐角，且，则________． 18. 如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________． 三、解答题：本大题共9小题，共96分． 19. 解下列一元二次方程． （1） （2） （3） 20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，按在轴的左侧将放大为，画出． （2）在（1）的条件下， 是边上的任意一点，请直接写出位似变换后点的对应点的坐标； 在图中的线段上找一点，连接，使． 22. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象回答：当时，的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 23. 在中，的对边分别是，已知，斜边上的高． （1）求的值； （2）求的长． 24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA． 25. 某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示． （1）当一次性销售千克时利润为多少元？ （2）求一次性销售量在之间时的最大利润； （3）当一次性销售多少千克时利润为元？ 26. 探究题： （1）问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ （2）初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由） （3）深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由． 27. 如图，抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于点直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的一动点，过点P作，垂足为 点在直线下方的抛物线上运动时，求面积的最大值． 当点在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点，使与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学12月随堂练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高的长为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． 先根据等腰三角形的三线合一性质得到的长，再利用正切定义求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，， ， 故选：A． 3. 若扇形的半径为，，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式的计算，掌握弧长公式（是弧长，是扇形圆心角度数，是扇形半径）是解题的关键． 根据扇形弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：扇形的半径为，， ∴， 故选：B． 4. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，结合切线的性质和可求的度数，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是⊙的切线， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；关键是根据勾股定理解答． 作于，连接，根据垂径定理得到，然后在 中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：作于，连接，如图， ， 在中， ， 即圆心到的距离为 5 ； 故选：C． 6. 关于二次函数y＝（x－1）2+2，下列说法正确的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为（0，2） B. 图像的对称轴在y轴的左侧 C. y的最大值为2 D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）． 【详解】A. 当x=0，y=3，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，3），故此选项错误； B. 二次函数y＝（x－1）2+2图象的对称轴为x=1，在y轴的右侧，故此选项错误； C.∵图象的开口向上，函数有最小值为2，故此选项错误； D. ∵图象的开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故此选项正确. 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的开口方向，对称轴及增减性，熟练利用其性质是解题关键． 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（ ） A. 4cm B. 4.5cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】先证明可得再代入数据进行计算即可. 【详解】解：由题意得： 物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm， 故选B 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质与判定，证明是解本题的关键. 8. 如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，掌握相关知识是解题的关键；根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线平行于轴， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为且， 即， 即不等式的解集为二次函数（）的图像在直线上方时对应的的取值范围， ∴或， 故选：C． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点．连接DO，DE．则下列结论中不一定正确的是（　　） A. DO∥AB B. △ADE是等腰三角形 C. DE⊥AC D. DE是⊙O的切线 【答案】C 【解析】 【分析】连接OE，由OD为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到OD与AB平行，选项A正确；由两直线平行得到同位角相等，内错角相等即∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，再由OE=OB，利用等边对等角得到∠OEB＝∠B，等量代换得到∠COD＝∠DOE，再由OC=OE，OD为公共边得到三角形COD与三角形EOD全等，由全等三角形的对应角相等得到∠OED＝∠OCD为直角，即OE垂直于DE，可得出DE为圆O的切线，选项D正确；连接EC，由BC是直径可得∠AEC＝∠CEB＝90°，在直角三角形AEC中，D为斜边的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AD，即三角形AED为等腰三角形，选项B正确，而DE不一定垂直于AC，故选项C符合题意． 【详解】连接OE ∵D为AC中点，O为BC中点 ∴OD为△ABC的中位线， ∴DO∥AB，选项A正确； ∵∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠B， ∴∠COD＝∠DOE， 在△COD和△EOD中， ， ∴△COD≌△EOD（SAS）， ∴∠OED＝∠OCD＝90°， ∴DE为圆O的切线，选项D正确； 连接EC，∵BC是直径， ∴∠AEC＝∠CEB＝90°， 在Rt∆AEC中， ∵AD＝DC， ∴DE＝AD， ∴△AED为等腰三角形，选项B正确， 则不一定正确的为DE⊥AC． 故选C． 【点睛】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， 设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据比例线段进行求解. 【详解】解：因为在比例尺为1:50000的地图上甲，乙两地的距离12cm，所以，甲、乙的实际距离x满足12:x=1:50000，即x=12=600000cm=6km. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识. 12. 若二次函数的图像经过点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并考虑二次项系数不为零的条件，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴将代入得：， 即， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又∵该函数为二次函数， ∴二次项系数，即， ∴， 故答案为：． 13. 二次函数y=x2+4x+a的最小值是2，则a的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解:二次函数y=x2+4x+a可化为y=（x+2）2+a﹣4， 有最小值是2， 即y最小值=a﹣4=2， 所以a=6． 故答案为6 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的顶点是（h，k），最值在顶点处取得. 14. 已知二次函数，当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、，则、、的大小关系是_________________用“”连接 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由于二次函数开口向上，函数值的大小取决于自变量与对称轴的距离，距离越远函数值越大，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数（）可知：对称轴为直线，开口向上， ∵当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、， ∴计算各自变量与对称轴的距离的平方：当时，；当时，；当时，， ∴由，根据到对称轴距离的平方越大函数值越大，因此； 故答案为． 15. 如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论． 【详解】∵点G为△ABC的重心， ∴AG：DG＝2：1， ∵GE∥AC， ∴＝＝2， ∴CE＝2DE＝2×2＝4， ∴CD＝DE+CE＝2+4＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键． 16. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 17. 若是锐角，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和互余角的三角函数关系计算即可； 【详解】解：∵， 又为锐角，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数关系，准确计算是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长. 【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H， 由题意可知：EH∥BC， ∴△BEG∽△BAF， ∴， ∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点， ∴BE=2，AF=3， ∴， ∴EG=， ∵EH∥BC， ∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM， ∴，, ∴，， 即，， ∴，， ∵E为AB中点，EH∥BC， ∴G为BF中点， ∴BG=GF=BF=， ∴NG==，MG=BG=， ∴MN=NG+MG=， 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形. 三、解答题：本大题共9小题，共96分． 19. 解下列一元二次方程． （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握因式分解法，直接开平方法，配方法． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）利用直接开平方法求解，即可解题； （3）利用配方法求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 则或， 解得； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： 解得； 20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 【答案】（1）>； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴>0， 解得：> ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得， ． ∵， ∴， 解得：k=0或k=2， 又∵>， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，按在轴的左侧将放大为，画出． （2）在（1）的条件下， 是边上的任意一点，请直接写出位似变换后点的对应点的坐标； 在图中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1） 如图：即为所作， （2）①； ②如图，取格点、，连接交于点，点即为所求， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据位似图形的性质，在轴左侧，点的横、纵坐标都乘以相似比，画出各点，连接即可； （2）①根据位似变换的性质即可得出结果；②取格点、，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是边上的任意一点，位似变换后点的对应点的坐标为； ② 略 22. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象回答：当时，的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答． （2）运用数形结合思想，即可作答． （3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：依题意，结合图象，当或时，． 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为． ∴， ∴当时，y有最小值； 当时，； 当时，y的取值范围为． 23. 在中，的对边分别是，已知，斜边上的高． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先求出，进而利用勾股定理求出，再根据正切的定义可得答案； （2）先解得到，再解，得到，则可解，得到，进而求出，则． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA． 【答案】 （1）∵圆心O在BC上， ∴BC是圆O的直径， ∴∠BAC=90°， 连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠DAC， ∵∠DOC=2∠DAC， ∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC， ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD， ∵OD为圆O的半径， ∴PD是圆O的切线； （2）∵PD∥BC， ∴∠P=∠ABC， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠P=∠ADC， ∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠PBD=∠ACD， ∴△PBD∽△DCA． 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证； （2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； 【详解】略 25. 某公司的化工产品成本为元/千克．销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元/千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润（元）与一次性销售量（千克）的函数关系如图所示． （1）当一次性销售千克时利润为多少元？ （2）求一次性销售量在之间时的最大利润； （3）当一次性销售多少千克时利润为元？ 【答案】（1）当一次性销售千克时，利润为元； （2）一次性销售量在之间时的最大利润为元； （3）当一次性销售为或或千克时，利润为元． 【解析】 【分析】（）用销售量利润计算即可； （）根据一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元求出每千克利润，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （）分一次性销售量在之间和一次性销售不低于千克两种情况列方程求解即可； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意， 当时，， ∴当一次性销售千克时，利润为元； 【小问2详解】 解：设一次性销售量在之间时， 每千克利润为， ∴， ， ， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴一次性销售量在之间时的最大利润为元； 【小问3详解】 解：当时， ， ∴， 当一次性销售量在之间时， 由题意得，， 解得； 当一次性销售不低于千克时， 每千克利润为元， 由题意得，， 解得； ∴当一次性销售为或或千克时，利润为元． 26. 探究题： （1）问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ （2）初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由） （3）深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）正方形零件的边长为 （2） （3）．理由如下： 如图3，过点A作于，分别交、于点、， 设每个正方形的边长为， ， ， ， ， 解得，， ． ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据三角形的性质得到比例式，解方程即可； （2），如图2已知条件得：，通过，得到，根据得到比例式，证得，即可得到，再由，得到，即可得到结论； （3）如图3，过点A作于，分别交、于点、，设每个正方形的边长为，根据，推出，即有，列方程即可得出结论 【小问1详解】 解：如图，设与交于点， 设正方形零件的边长为，则，， ， ， ， ， ， 解得． 答：正方形零件的边长为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，由已知条件得：， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键 27. 如图，抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于点直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的一动点，过点P作，垂足为 点在直线下方的抛物线上运动时，求面积的最大值． 当点在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点，使与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①4；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的思想解决数学问题． （1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案； （2）①过根据图象得：轴交于点D，设，则，结合图象利用面积关系求解即可；②证明，得出，再根据与相似分两种情况进行求解，即可求得点P的横坐标． 【小问1详解】 解：直线， 当时，，当时，， ∴， 将B、C坐标代入抛物线得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：根据图象得：轴交于点D， 设，则， ， ， 当时，的值最大，最大值为4； ②∵抛物线的解析式为：， ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的纵坐标是，代入抛物线，得， 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为：； 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①知，点，， ∵， ∴， ， ∴， ∴ 或（舍）， ∴． 满足条件的点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $