5.1认识方程 综合提升练习 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

5.1认识方程（综合提升练习）2025--2026学年 北师大版七年级数学上册 说明：本试题具有一定综合性与难度，旨在全面巩固本节核心知识点。题目可能涵盖本学期多章节内容，均选自近年校内考试真题，可助力提升综合解题能力。 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 3．若是关于的一元一次方程，则的取值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 4．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 5．若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 6．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 7．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 8．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 9．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 10．下列说法： ①单项式的系数是； ②多项式的项分别是、、1； ③把多项式按的降幂排列正确的是； ④若，则且； ⑤若，则； ⑥是代数式； ⑦若，则； ⑧若是关于的一元一次方程的解，则的值为2． 正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为 ． 12．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 13．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 14．①若，则；②将无限循环小数化为分数为；③单项式的系数为；④全班的人数一定，男生人数与女生人数成反比；⑤的最小值为3．以上说法中一定正确的是 ．（填序号） 15．下列四个结论中： ①若是关于x的一元一次方程，则； ②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，，则的结果只有一种． 其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 16．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 17．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 18．定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 19．规定：数轴上的三点，当其中一点到另外两点的距离相等时，称这个点是另外两点的“相关点”．如：点表示数，点表示数，点表示数，点到点的距离与点到点的距离相等，都为，此时，我们就称点是点与点的“相关点”． 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知：点与点在数轴上，点是点与点的“相关点”，点，，分别表示数，，． ①当，，__________，当，，__________，当，，__________（直接写出答案）； ②观察计算结果，猜想点，，三点所表示的数，，三个数之间的关系，并说明理由． (2)当，时，请用（1）中的结论解决下列问题：点从点出发以每秒个单位长度的速度在数轴上运动，当点运动时间为多少秒时，，，三点中，满足其中一点是另外两点的“相关点”，并求出此时点所表示的数． (3)点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点比点早出发秒，若，，三点中，满足其中一点是另外两点的“相关点”，请直接写出点的运动时间为_________秒． 20．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D C A B D D A 1．B 【分析】本题考查等式的性质和绝对值的性质．根据等式的性质即可依次判断． 【详解】解：A、∵，但与不一定相等，如时，，但此选项错误，不符合题意； B、∵，∴两边同乘得，此选项正确，符合题意； C、∵，∴，但与不一定相等，如时，，但，此选项错误，不符合题意； D、若，需要满足，才能推出，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解： 是关于的一元一次方程， 且 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了方程的定义，方程的解的定义，正确理解方程的解的含义是解题的关键．方程有无数多个解的条件是未知数的系数为0且常数项为0，由此求出a和b的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 方程 有无数多个解， ∴ 且 ， 由 得 ， 代入 得 ，即 ， ∴ ， 则 ． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程得到的值，再整体代入代数式计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 7．B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 8．D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 10．A 【分析】本题考查单项式系数、多项式项、降幂排列、不等式性质、绝对值运算、代数式定义、不等式及一元一次方程解的概念，熟练掌握基本概念和反例是判断关键，注意符号和特殊情况． 逐一分析每个说法，根据对应概念和性质判断正误即可． 【详解】解：① ∵ 单项式系数包括常数， ∴ 系数为 ，错误． ② ∵ 多项式项包括符号， ∴ 项为 、、，而非 ，错误． ③ ∵ 按 降幂排列应为 ，但给定为 ，符号错误． ④ 时 和 同号即可，不一定都正，错误． ⑤ ∵ 表明两正一负， ∴ ，错误． ⑥ 是不等式，非代数式，错误． ⑦ 当 时 ， 但 ，不成立，错误． ⑧ ∵ 代入 得 ， ∴ ，错误． 综上，所有说法均错误，正确个数为0． 故选A． 11．7 【分析】本题考查列方程，等式的性质，根据题意，得到，根据等式的性质，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：7． 12． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 13． 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴（千米）， 故答案为：． 14．②③⑤ 【分析】本题主要考查了等式的性质、无限循环小数化分数、单项式的系数、反比例关系的判定以及绝对值的几何意义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键．分别对每个说法依据相关数学概念和性质进行判断，分析其正确性． 【详解】解：当时，，、无意义，故①不一定正确； 设，则，两式相减得， 解得，故②正确； 单项式的系数为，故③正确； ∵ 全班人数一定时，男生人数与女生人数之和为定值，而非乘积为定值， ∴ 男生人数与女生人数不成反比，故④错误； 分段讨论：当时，表达式为，在时取最小值； 当时，恒为； 当时，，在时取最小值， ∴ 的最小值为，说法⑤正确， 故答案为：②③⑤． 15．②④ 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值的化简，一元一次方程的定义，熟练应用法则是解题的关键． ①根据一元一次方程的定义即可判断； ②根据整式的加减法则先进行化简，令含有项的系数为0即可； ③利用绝对值的化简法则即可判断； ④先判断三个数中正数和负数的个数，再根据绝对值的化简法则即可判断． 【详解】解：①方程是关于x的一元一次方程， 且， 可得，故①错误； ② ， 结果中不含项， ， 解得，常数项为，故②正确； ③由，得，，， ，，， ， 故③错误； ④由，得，， 原式， ， 中两个正数一个负数或一个正数两个负数， 假设中，则， ； 假设中，则， ； 所以的结果恒为0，只有一种结果， 故④正确， 其中正确的是②④， 故答案为：②④． 16．(1)，是一元一次方程 (2)，不是一元一次方程 (3)，不是一元一次方程 (4)，不是一元一次方程 【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义． （1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程； （2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程； （3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程； （4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 18．(1)6 (2)9 【分析】本题为新定义问题，理解新定义是解题关键﹒ （1）根据“相伴方程”定义即可求出； （2）变形为，变形为，根据“相伴方程”定义得到，求出，代入即可求解﹒ 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴﹒ 故答案为：6； （2）解：变形为，变形为﹒ ∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴， ∴， ∴． 19．(1)①，，；② (2)点所表示的数为或或或或 (3)秒或秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查数轴上动点的问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上动点的数轴表示，动点与定点的数量关系是解题的关键． （1）①根据材料提示，可知“相关点”就是数轴上两点的中点，由此即可求解；②根据两个点的中点即可求解； （2）分类讨论：①当在点时，点为，的 “相关点”时；②当点为，的“相关点”，即点与点重合或点为的中点；③当点为，的“相关点”， 即点与点重合或点为的中点，由此即可求解； （3）根据题意，当，，三点中，满足其中一点是另外两点的“相关点”时，设运动秒，则运动秒，表示的数是，表示的数是，分三种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：①当，，， 当，，， 当，，， 故答案为：，，； ②根据①中的计算方法可知，点是点与点的“相关点”， ∴，理由如下： 设， 点是点与点的“相关点”， ， ； （2）解：，，如图所示，设点从点出发的时间为， ①当在点时，点为，的 “相关点”时，点所表示的数为，此时； ②当点为，的“相关点”，即点与点重合或点为的中点，点所表示的数为或，且有或，解方程得或， ∴点所表示的数为； ③当点为，的“相关点”， 即点与点重合或点为的中点，点所表示的数为或，且有或，解方程得或， ∴点所表示的数为． 综上所述，运动时间0秒或6秒或18秒，点所表示的数为或或或或． （3）解：设运动秒，则运动秒，表示的数是，表示的数是， 当与点，距离相等时，，重合或为的中点， 或， 解得或， 运动秒或秒； 当与点，距离相等时，，重合或为的中点， 或， 解得或， 运动秒或秒； 当与点，距离相等时，，重合或为的中点， 或， 解得或， 运动秒或秒； 故答案为：秒或秒或秒或秒或秒或秒． 20．（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 试卷第1页，共3页 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