精品解析：福建省莆田第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

莆田二中2025-2026学年度高一12月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数定义域和指数函数的值域求法即可得出结果. 【详解】由对数函数定义域可得； 由指数函数的值域可得. 所以. 故选：B. 2. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 3. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点． 故选：B． 点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 4. 设角的始边为x轴非负半轴，则“角的终边在第三、四象限”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数值的符号法则，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】角的终边在第三、四象限，则， 反之，若，则角的终边在第三、四象限或者y轴的非正半轴， 所以“角的终边在第三、四象限”是“”的充分不必要条件。 故选：C 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数值的符号以及单调性分析判断即可. 【详解】当时，，可得，故BC错误； 当时，可知在内单调递减，故D错误； 故选：A. 6. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 7. 某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可． 【详解】由题意得，，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为， ， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 从现在起至少经过分钟才能达到排放标准． 故选：C． 8. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明图象关于直线对称，求出在上单调递增，再根据对称性和单调性比较大小即可. 【详解】因为函数，定义域为，而且， 所以关于直线对称， 因为时，在上单调递增， ， ， 因为， 所以， 即，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由平方关系求得，从而确定可推范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得. 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； 因为，，所以，所以， B正确； 结合可得，，C正确； ，D不正确． 故选：ABC． 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数的运算性质判断A，利用基本不等式结合指数的运算性质判断B，利用基本不等式中“1”的代换判断C，先对原式平方，再结合重要不等式与给定条件判断D即可. 【详解】因为，，，所以由基本不等式得， 当且仅当时取等，下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由对数的运算性质得， 则的最大值为0，故A正确， 对于B，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，则的最小值为4，故B正确， 对于C，因为，所以， 则， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，得到， 则的最小值不为9，故C错误， 对于D，我们对进行平方， 得到， 由重要不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则， 故，得到， 而，，解得， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 方程有个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象，得出的范围，即可判断A的正误；对B，利用对称性以及对数的运算性质得出且，即可求解；对C，结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；对D，令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数. 【详解】函数与直线的图象，如下图所示： 对于A，因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，故A错误； 对于B，因为二次函数的图象关于直线对称，则， 又由，得，所以，得到， 所以，故B正确； 对于C，设，因为，所以， 令，则，， 设， 因为，，所以，即函数在上单调递增， 故，即，所以C正确； 对于D，令，则. 由得，则方程的解为、、、. 当时，由于，由图知，直线与函数的图象只有一个点， 当时，由于，由图知，直线与函数的图象只有一个点， 当时，由于，由图知，直线与函数的图象有个不同的交点， 当时，由于，由图知，直线与函数的图象有个不同的交点， 所以方程有个不同的实数根，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12. ______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值计算得到结果. 【详解】由诱导公式， 故原式 故答案为：. 13. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数型复合函数的单调性结合二次函数的单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由在区间上单调递减， 可得函数在区间上单调递减，且恒成立， 而函数开口向上，对称轴为， 则，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数性质得在上有一个零点，进而分析函数在有两个零点，然后利用二次函数零点分布列不等式组，即可求解. 【详解】当时，由，得，则在上有一个零点； 若有3个零点，则在时函数必有两个零点， 因为，所以函数在有两个零点， 当时，无零点，不合题意， 当时，由题意在有两个零点，且， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则得到答案； （2）指数式化为对数式，并利用换底公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2），故， 故 . 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值： （1）及； （2）； （3） 【答案】（1）， （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的终边经过第三象限的点可得，再根据列出关于m的等式，解出m的值即可． （2）通过三角函数诱导公式对原式进行恒等变换，再分式上下同除化为表达式，最后代入（1）中的即可． （3）利用平方关系，通过化简得，再利用（1）中结果，即可求解. 【小问1详解】 因为点P在第三象限，所以， 由三角函数的定义可知，解得， 此时，故， 得到，故，． 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 因为，故 17. 经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：．服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和．（参考数据：） （1）求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值； （2）若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 当时，令，则，解得； 当时，令，则，解得； 故血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长为小时，需要调整治疗方案. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求得关于的函数关系，求该函数的最大值即可； （2）根据（1）中所求，令，求得累计时长，即可判断. 【小问1详解】 根据题意， 当时，，其最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，其最大值为； 又，故当时，的最大值为， 即4小时内血液中微量元素总浓度的最高值为； 【小问2详解】 略 18. 已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）通过求得，验证即可； （2）将的表达式化简为，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可； （3）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，. 所以， 解得，经验证符合题意， 所以； 【小问2详解】 由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为； 【小问3详解】 由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. 19. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． （1）求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； （2）若时，不等式有解，求实数t的取值范围； （3）若关于的方程有实根，求正实数的取值范围． 【答案】（1），在上为单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为，即可解得结果； （3）转化为有实根，令，则转化为即有正根，令，则，整理得有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果． 【小问1详解】 因为是奇函数，是偶函数， 所以，，则, 所以， 因为在上为增函数， 所以在上为单调递增． 【小问2详解】 因为是奇函数， 在上单调递增可得， 又因为，所以有解， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，则， 所以， 所以实数t的取值范围为． 【小问3详解】 关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， ， 所以或， 所以或， 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2025-2026学年度高一12月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 4. 设角的始边为x轴非负半轴，则“角的终边在第三、四象限”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 7. 某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 11. 已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 方程有个不同的实数根 三、填空题 12. ______. 13. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围为______. 14. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值： （1）及； （2）； （3） 17. 经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：．服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和．（参考数据：） （1）求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值； （2）若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由． 18. 已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围. 19. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． （1）求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； （2）若时，不等式有解，求实数t的取值范围； （3）若关于的方程有实根，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $