2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册期末模拟试卷（培优卷）

七年级期末数学模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图为某对战局部棋谱，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将分式中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的 5. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知单项式与单项式是同类项，则=______． 8. 将整式按的降幂排列为_____． 9．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 10. 计算：______．（n是整数） 11. 计算：______． 12. 化简：_______． 13. 已知：，，化简的结果是______． 14. 若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. B. C. 或2 D. 15. 甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程____________________．（无需解方程） 16. 如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么______度． 17. 如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称． 18. 如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是________．（结果保留） 三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19. 计算： 20. 计算：（结果不含负整数指数幂） 21. 22. 因式分解： 23. 先化简，再在，，，，中选取一个合适的的值代入，求出代数式的值． 24. 解方程 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早半小时到达乙地，求两辆车的速度． 26. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； （2）画出三角形关于点D成中心对称三角形； （3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 27. 阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 28. 如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y． （1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件； （2）当AG=AE，EF=2PE时， ①AG的长为_______； ②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级期末数学模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图为某对战局部棋谱，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质和整式除以单项式，根据分式的性质和整式除以单项式运算法则分别计算出各选项结果，再进行判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项A从左到右变形错误，不符合题意； B、 ，故选项B从左到右变形错误，不符合题意； C、 ，故选项C从左到右变形错误，不符合题意； D、，故选项D从左到右变形正确，符合题意； 故选：D． 4. 将分式中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：， 分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知单项式与单项式是同类项，则=______． 【答案】6． 【解析】 【分析】由这两个单项式为同类项值a、b的指数相同，故可列出方程即可求解, 【详解】依题意n+1=2,3=m-2， ∴n=1,m=5, 故m+n=6. 【点睛】此题主要考查同类项的定义. 8. 将整式按的降幂排列为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式，先分清各项，再根据整式降幂排列的定义解答． 【详解】解：按x的降幂排列：． 故答案为：． 9．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘整式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题关键．根据整式乘整式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的类卡片的总面积，由此即可得． 【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为： ， ∵1张类卡片的面积为， ∴需要类卡片的张数为（张）， 故选：D． 10. 计算：______．（n是整数） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：a． 12. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，结合因式分解化简即可． 【详解】解： ， 故答案：． 13. 已知：，，化简的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用．先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. B. C. 或2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根． 【详解】解：， 去分母得：kx+2k-1=2（x-1）， 整理得：（2-k）x=2k+1， ∵关于x的分式方程无解， ∴分两种情况： 当2-k=0时，k=2； 当x-1=0时，x=1， 把x=1代入kx+2k-1=2（x-1）中可得： k+2k-1=0， ∴k=， 综上所述：k的值为：2或， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程无解问题，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 15. 甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程____________________．（无需解方程） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，根据两队同时开工且恰好同时完工，列出分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得：， 故答案为：． 16. 如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么______度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，，再根据平角的定义和已知条件即可求解． 【详解】∵把沿直线翻折后得到， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17. 如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与成轴对称． 【答案】5 【分析】画出所有与成轴对称的三角形． 【详解】解：如图所示： 和对称， 和对称， 和对称， 和对称， 和对称， 故答案是：5． 【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法． 18. 如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据三角尺的度数得出，然后根据平角等于求出，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵△是旋转得到， ∴， 又∵点A，B，在同一条直线上， ， 的长度为10， 点转动到点走过的路程． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，记住弧长的计算公式、明确三角尺的度数的常识是解题的关键． 三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 20. 计算：（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的混合计算，先把负整数指数幂化为分式的形式，再根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 21. 【答案】 【解析】 【分析】观察原式特点，先给原式后三项添括号，利用完全平方公式化为，再利用平方差公式分解因式即可解答． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分组分解法、公式法分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式，能正确的将整式分组是解答的关键． 22. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用十字乘法，公式法分解因式，先利用十字乘法分解，再结合完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ； 23. 先化简，再在，，，，中选取一个合适的的值代入，求出代数式的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将除法转化为乘法，然后约分，再算减法，最后从，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵当，0，2或时，原分式无意义， ∴， 当时，原式． 24. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据分式方程的运算法则进行运算即可． 【详解】 解：整理可得：， 所有项同乘去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为可得：， 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早半小时到达乙地，求两辆车的速度． 【答案】货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时． 【解析】 【分析】 设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时，根据时间=路程÷速度结合小汽车比货车早半个小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时， 依题意，得：， 解得：x=100， 经检验，x=100是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x=120． 答：货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； （2）画出三角形关于点D成中心对称三角形； （3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）是，画图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，与是关于点成中心对称， 故答案为：是． 27. 阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 【答案】（1） （2）满足条件的整数x的值为2或4或﹣10或16 【解析】 【分析】（1）按照定义拆分即可． （2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，＝，若要值为整数，只需为整数即可． 【小问1详解】 解： ＝ ． 【小问2详解】 解： ＝ 若要值为整数，只需为整数即可 当x=2时 当x=4时 当x=-10时 当x=16时 故x=2或4或-10或16． 【点睛】本题主要考查了分式的化简、求使分式值为整数的未知数等知识点，理解逆用分数加减法的化简方法是解答本题的关键． 28. 如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y． （1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件； （2）当AG=AE，EF=2PE时， ①AG的长为_______； ②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的． 【答案】（1），；（2）①4；②见解析． 【解析】 【分析】根据矩形和正方形的性质可x、y表示出PH、PF的长，利用长方形面积公式即可得 【详解】（1）∵AG=CM=x，AE=CN=y，四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴重叠部分长方形的面积为：， ∵长方形AEFG与长方形HMCN有重叠部分，正方形ABCD边长为6， ∴3<AG<6，即． （2）①∵AG=AE=EF，EF=2PE， ∴PE=AG， ∵DG=PE，AD=6， ∴AD=AG+DG=AG+AG=6， 解得：AG=4， 故答案为：4 ②如图，连接HF、PQ，设相交的点为点O， ∵AG=AE，EF=2PE， ∴四边形AEFG、都是正方形，点既是的中点也是的中点，点既是的中点也是的中点， ∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点、点、点， 四边形绕着点逆时针方向（或顺时针方向）旋转度可与四边形重合； 四边形绕着点顺时针方向旋转度（或逆时针方向旋转度）可与四边形重合； 四边形绕着点逆时针方向旋转度（或顺时针方向旋转度）可与四边形重合． 【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形AEFG、HMCN都是正方形，正确找出旋转中心是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $