精品解析：山东省日照市新营中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题

2025—2026学年度上学期 八年级数学阶段性检测题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列式子计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式，故不正确； B、原式，故正确； C、原式，故不正确； D、原式，故不正确； 故选：． 【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 2. 已知，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于a、b的方程，解方程即可求出a、b的值． 【详解】∵， ∴，． 解得，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式的法则，根据相同字母的次数相同列出等式是解题的关键． 3. 已知，，，则x，y，z之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即：， ∴； 故选A． 4. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B： ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C： ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 5. 已知，，，则代数式的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，，，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 故选：D． 6. 已知，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. m>n C. D. m<n 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故选A 【点睛】本题考查了因式分解的应用，作差凑完全平方公式是解题的关键． 7. 若关于x的多项式含有因式，则另一个因数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式的乘法与因式分解，掌握好待定系数法是解题关键． 由于多项式含有因式，可设另一个因式为二次多项式，通过待定系数法比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为， ， 由题意可知，， 对比等式两边可得， ， 解得，， ∴另一个因式为． 故选：B． 8. 若，则的值是（　　） A. 8 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了代数式的求值和乘法公式． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边除以得 ， 即， 又∵ ， ∴ ， 故选：B 9. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，一次函数的概念与图象，熟练掌握轴对称的性质和线段的性质定理是解题关键． 在中，为定值，因此当最小时，的周长最小．作点B关于y轴的对称点，连接，，当点C 在上时，最小．利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为和， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点B关于y轴的对称点，连接，， 由轴对称的性质可知，，点的坐标为， ∴， 当A、C、三点共线时，取最小值， 设直线的解析式， 将，；，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为． 故选：D． 10. 已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则x需要满足的条件为______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查分式成立的条件，掌握好分式的概念是解题关键． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需满足 ，解出不等式即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ， 因式分解得， ， ∴ 且 ，即 且 ． 故答案为 ： 且 ． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法及幂的乘方的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 逆用同底数幂除法的运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 13. 已知，则的值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】变形得到a=4+b，变形得到，将a=4+b代入进行计算即可． 【详解】∵a-b=4， ∴a=4+b， ∴ = = 将a=4+b代入得到=16. 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确进行变形是解题的关键. 14. 已知，则x的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故， 解得： 故答案为：3． 15. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法；本题直接利用乘法展开求各系数计算复杂，利用当和时，可以直接得到系数之间关系，再将看作一个整体求解即可． 【详解】解：当时；①， 当时；②， 由①-②得， ∴， 故答案为． 16. 如图，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线运动，二者速度之比为，当点运动到点时，两点同时停止运动．在射线上取一点，使与全等，则的长为___________． 【答案】16或30 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论全等三角形的对应边关系． 设、，结合，分“与对应、与对应”和“与对应、与对应”两种全等情况，列方程求，进而得的长． 【详解】解：设，则， 由，分两种情况： ①当，时， ，， ，解得， ； ②当，时， ，， ，解得， ． 故答案为：或． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算、乘法公式、完全平方公式等，掌握相关知识是解决问题的关键． (1) 先计算幂的乘方，再合并同类项； (2) 先展开平方项，再利用平方差公式计算乘积项，最后合并； (3) 将变形为，将变形为，然后用积的乘方运算的逆运算解决，然后先算乘方再算乘法即可； (4) 利用多项式乘以多项式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握好“一提二套三分组四检查”的口诀是解题关键． （1）使用提公因式法进行因式分解； （2）先用平方差公式，再使用提取公因式法进行因式分解； （3）先把多项式乘法展开，再用十字相乘法进行因式分解； （4）将看作整体，使用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 20. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： （1）①若，，则______， ②若，求的值； （2）如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 【答案】（1） ① ② （2）阴影部分的面积和为 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键． （1）①根据，代入求值即可； ②类比①可得，，代入求值即可； （2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可． 【小问1详解】 解：①； ② 类比①可得， ； 【小问2详解】 解：设正方形边长为m，正方形的边长为n， 由题意可知，，，即， 两个正方形的面积之和为， 空白面积为， ∴阴影部分的面积和为． 21. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的一个等式是________（填序号） ①；②；③． 运用你所得到的公式，完成下列各题： （2）填空①已知，，则________； ②已知，，则________； （3）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）②；（2）①4；②3；（3）1 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；把写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】解：（1）图1面积为，图2面积为， ∵阴影面积相等， ， 故答案为：②； （2）①∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4； ②∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3） ． 故答案为：1． 22. 阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 （1）观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； （2）利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】（1）64， （2）①，②1 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【小问1详解】 解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． 【小问2详解】 解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 23. 阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： （1）计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． （2）通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． （3）请你求出的值： 【答案】（1）2，4，6 （2） （3）5 【解析】 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵，，，； ∴； 【小问3详解】 解：； ， ． ∴． 24. “整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解： 因式分解：． 解：原式 ． （1）请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； （2）拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， 当是偶数时，是偶数，是偶数， ∴是奇数； 当是奇数时，是奇数，是奇数， ∴是奇数． 综上所述，是奇数． ∴四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧并运用整体思想是解题关键． （1）仿照例题，先将和进行分组展开运算，将结果中的看作整体继续展开，然后用完全平方公式进行因式分解即可； （2）仿照例题，先将和进行分组展开运算，将结果中的看作整体继续展开，用完全平方公式合并后得到．对n的奇偶性进行分类讨论，从而确定的奇偶性． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：略． 25. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3） ，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期 八年级数学阶段性检测题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列式子计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则x，y，z之间的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则代数式的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6 6. 已知，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. m>n C. D. m<n 7. 若关于x的多项式含有因式，则另一个因数为（ ）． A. B. C. D. 8. 若，则的值是（　　） A. 8 B. 7 C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点C的坐标是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则x需要满足的条件为______． 12. 已知，则___________． 13. 已知，则的值为__________． 14. 已知，则x的值为_________． 15. 已知，则___________． 16. 如图，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线运动，二者速度之比为，当点运动到点时，两点同时停止运动．在射线上取一点，使与全等，则的长为___________． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 18. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： （1）①若，，则______， ②若，求的值； （2）如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 21. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的一个等式是________（填序号） ①；②；③． 运用你所得到的公式，完成下列各题： （2）填空①已知，，则________； ②已知，，则________； （3）应用所得的公式计算：． 22. 阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 （1）观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； （2）利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 23. 阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： （1）计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． （2）通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． （3）请你求出的值： 24. “整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解： 因式分解：． 解：原式 ． （1）请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； （2）拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 25. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $