16.5 实践与探索 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

课题

16.5 第1课时一次函数与二元一次方程（组）

授课人

教学目标

1．掌握一次函数与方程、不等式的关系；

2．综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．

教学重点

掌握一次函数与方程、不等式的关系.

教学难点

综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

学校每个月都有一些复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现在乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图所示.

根据图象回答:

(1)乙复印社的每月承包费是多少?

(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?

(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么选择哪个复印社比较合算?

答:(1)乙复印社的每月承包费是200 元.

(2)当每月复印800页时,两复印社实际收费相同.

(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么选择乙复印社比较合算.

结合日常生活中的数学问题导入本节所探究的内容，引起学生的好奇心，进而导入新课。

探究新知

1.一次函数与二元一次方程（组）的关系

问题：1号探测气球从海拔5m处出发，以1 m/min 的速度上升.与此

同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了一段时间．

(1)            请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min)的函数关系．

气球1 海拔高度：y =x+5.

气球2 海拔高度：y =0.5x+15．

从形的角度看,一次函数与二元一次方程有什么关系?

由函数图象的定义可知：

直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.

(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.

从数的角度看：

就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．

从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？

二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．

★一次函数与二元一次方程组的关系

    一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．即

方程组的解对应两条直线交点的坐标.

2.利用函数图象解方程组

典例精析

考点1  利用函数图象解方程组

【例1】 例1  利用一次函数的图象,求二元一次方程组的解.

分析：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：y=−x−1.

解：如图，分别作出一次函数y=x+5和y=−x−1的图象，得到它

在对一次函数与二元一次方程（组）进行整合教学时，利用学生已掌握的知识，设计有层次、有关联的问题，不