湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

12月数学考试答案和解析 1.D 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.BCD 10.ABD 11.ABD 2牙 13.20 14.2π； 3W3 4 1.解：o)sm3x10)为偶函数，则p-君=+低e2,p=号-kx低e, 取4=1，则=号 故选：D 2.解：设抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,由抛物线的定义可知， AH+B昨+号++号G+)+P,因为线段4B中点的横坐标为P,所以 x1+x2=2卫， 又|AB=12,所以2p+p=12,可得p=4. 故选：C 3.解： 1 -2N不) 的展并式的通项为。c(宁c宁，-o17, 令7--1， 3 解得r4,所以x的系数为[)陪 故选：C. 4.解：如图所示，过正方体的对角线的轴截面， 则AC=√2a,CC=a,OP=2,OM=√2，由ACI∥AC,可得△POC∽△POM, 2 D 可得：2-“20， 解得a=1. 2√2 A 故选：C 5解：8mnc,由正然定理可得8ae, A O C M 可得c2+b2-a2=-bc, 由余法定理得4奈，由0，得4贺 故选：c 6.解：l0g,3=1og,V5>1og,V=1og,2--1.5, 2 第1页，共8页 1og.3=log,5=1og,243<1og,256=10g,2-81.6, 所以1og,3e1.5,1.所以对数log23的第一位小数的值为5， 故选B. 7.解：因为 cos2a sin28 1+sin 2a 1+cos28, 所以osa-sin'a-2 sinBeosB (cosa+sin a)2 2cos2B 所以asa-sina_s咖p cosa+sinacosB, 则僵8-mA, 整理得ana+tanB=1--tan ctan,所以tan(c+pP)=amc+tamE-l 1-tanatan B 故选：B 8解：由2-2+=0x>0,得y=+ 2.r ①比较y与：y::-2cE- 2.r 2x 2r, 若x=2,则y=x,代入x<矛盾，故(x-}>0,即y>z; ②比较：与将y是代入r<g,得，可待：>0， 又x>0,可得2x<x2z+z2,即(c-2x2++2)<0, 又2x2+c+2>0x>0,=>0),故x-<0,即x<5; 综上，y>z>x 答案：A 9解：由-80+D-8,-4i,则z=441,,z丽，A错，B对： 1-i00+i)2 又z对应点为(4，)在第四象限，C对： 由®=1，即复数ω对应点在圆心为原点，半径为1的圆上，所以w-z的最大值为 √17+1，D对 故选BCD 10.解：由题意可知，f(x)图象的对称中心为(0,0)，对称轴为x=1, 所以fx)也关于直线x=-1对称，且f(2-x)=f(x),故A、D正确； 因为f(x)=f(2-x)=-f(x),故f(x+2)=f(-)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4，则g(2023)=f(2024)=f(0)=0, 第2页，共8页 故B正确； 但只能说4是fx)的周期，不能确实是其最小正周期，故C错误， 故选ABD, 1解：对于4，因为a5,则n5, 12n-15 当心2时，2a一21常数，所以数列为等差数列，故A正确； 112 对于B,a号动”0当7时，”0为负，双分 当心8时，”0为正，4分所以存在n使a>4,故B正确； 对于C,易知2<7时，a<0,n=1或n>8时，a>0,4,=0, 所以S,最小，而非S。,故C错误： 11 11 对于D,aan2n-152n-1’由2m-152m-15>0,得K6或m8, 结合二次函数知识，得当n=6或n=8时，分母取到最小值为3， 此时a-a,取最大值}，故D正确 故选：ABD 12.解：因为0A=4,2),0B=(3,1),所以OA.OB=1×3+2×1=5,1OA=V5,10B1=10, 则coS∠AOB= 0A·0B.5-V2 OAON5x02,故∠AOB=只 故答案为：牙 13.解：当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有464=12（种）方 当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有444=8（种）， 所以不同的站法共有12+8=20种)， 14.解：空一：：y=sinx的最小正周期为2π，y=。sim2x的最小正周期为π， 2 可推测f)=imx+ 二sin2x的最小正周期为2π， fr+2元）=sin(x+2m）+2sinm(2x+4r)=sinx+2sin2x=f(w, 第3页，共8页 经验证，f)=smx+n2x的最小正周期为2x 空二：由函数f(r)=sinx+,sin2x=sinx+sin x cosx, f'(x)=cosx+cos2x-sin2x=2cosx+cosx-1=(cosx+1)(2cosx-1), 令f(m=0,解得cosx=号或cosx=-1, 21 在函数w的一个周期02内，当x∈0，孕时，<o<1,此时>0，w单 调递增； 当xc(写孕时，--1c0<行，此时/代0，单调递减 当xe(2)时，}6wx<1,此时f>0,单调递销， 所以当x胥或x=2π时，可能取到最大值， f⑨=5+x535 x7=年，0=0，所以/=原 故答案为：2π： 3V3 4 15.解：①设事件M=“发射器第一次发送“0指向”的光子”，事件N=“第二次发 送“1指向”的光子”， 则P8w),r0号- 121 1 由条件概率公式，PwM=0_32 P(M013; 2 (2)由题意：X=0,1,2, -0鉴名x--习-器-名 A6, 所以X的分布列为： X012 1-6 2 6 第4页，共8页 16.四正项数列{a}的前n项和为S。,且4Sn=a+2a., 所以4Sn-1=ad1+2a-1,心2，两式相减可得： 4a=(a.+a)a.-a-)+2a.-2a1,所以(a.+a-1a.-a1-2)=0,又a.>0,所以a.-a1=2, 又4S=4a=a2+2a,a>0,所以4=2， 所以{a}是以首项和公差都为2的等差数列， 所以a.=2n; ②由0可得4，=1少 (←1) (-l2m+2+3, √a-√aV2+)-2n 2 所以=54,46+…+240+2座 2 2 2 =5+24255 2 17.解：f)=e-n+-1,则f(s)=e1-hx-, x2-x2 因为函数f)在1，f》处的切线斜率为-1，所以f"()=e-1-a=-1, 解得a=e. ®=e-+是0恒成立，因为>0， 即为e-nx+a-≥0恒成立，即a心x+hx-e恒成立， 令国)=x+n-e,则z)=1+是+e=(x+e， 可知函数叫士e在@四上单调递减，且付)2>0，m0)=1e<0, 则存在x行， 使得m()=0, 当0<x<x时，m(x)>0,此时(x)>0: 当x>x时，m(x)<0,此时H(x)<0; 则函数h()在(Q,x)上单调递增，在(c,+o)上单调递减，可得 h(x)x=h()=,+l血，-xe, 由c)-0,可得=e，-n=x,即x,e=1,+nx=0, 则h(x)=h()=-1,可得a>-1,即实数a的取值范围为[-1，+o) 第5页，共8页 18.解：证明：因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 故以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角 坐标系， 已知AD=2AB=2BC=2,则AB=BC=1, 故A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0), 可得AC=1,1,0),CD=(←1,1,0)， 因为AC.CD=1×(-1)+1×1+0×0=0,所以AC⊥CD, 又因为PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,所以PA⊥CD, B 由于PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,所以CD⊥平面PAC,X 又因为CDc平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD; (2)①设M(0,y,=),0≤y≤2,0<≤2， 因为MB2+MD2=5,所以1+y2+z2+(y-2)2+z2=5,化简可得(y-1)2+z2=1, 因为动点M在△PAD内（含边界），所以M的轨迹是以O,L0O)为圆心，1为半径的4 圆弧， 其长度为好21行： ②由①可设M(0,1+cosa,sina), <aKπ， 2 又P(0,0,2),C1,1,0),则BP=(-1,0,2),BD=(-1,2,0),CM=(-1,cosa,sima), 设平面BDP的一个法向量为i=(,y,习， 则 BP.=0 -x+2y=0,取x=2,元=(21,10， 0.0,即+220 则sin0cos<cM,iF 1-2+sin a+cos a -2+sin (a+ 4 4+1+1.1+sin2 a+cos2 a= -sma+孕， √6.√2 6 因为，所以a+子，所以点如u+头 4 所以9-ux9,所以号， 4 6 2 综上所述，m059 第6页，共8页 19.解：) 由题意得，1=4，又因为(1,1)在T1上， +y , 4 n 3 i货背号 又因为4 则kk 4-11.同理可将-3，所 3 =9 2-1 k 3 (3)设直线922，Q293,Q24,94N分别为1,12，，1，其斜率依次为k1,k2,k3,k4, 设直线：y-1=-D,联立3式+上-1得(+3列+26(1-k)x+(1-k}-4=0, 44 即有X=23,所以飞-23，代入直线方程得%=6+3 2+3 k2+3 +3 则%，-台12-6-5+3 x2,+12k2-2 五左-1，设f田=+3 x-11 则经过，卫的两直线，1之间斜率满足关系：k2=∫(k), 将直线，马绕原点顺时针旋转工后也会经过，乃， -1-k2-1 所以两者斜率满足 -1+3k2k+2, 同理将直线1，4绕原点顺时针旋转π后也会经过乃，P2, 所以两直线斜率满足k4=∫(k,), -1 +3 飞+3 k+2 k=一k-1 3k+5 -1 k+3 -1 +2 第7页，共8页 3.y1 +5 显Mx.圆有长：代入或： +1 x-1 x-1 x-1-y-1+3 x-1 得到y2=5x2-16.x+12=(5x-6)(x-2), y.y=5 以6x，因此存在定点G,0 使直线GN和直线HN的斜率之积为定值5. 第8页，共8页 荆州中学2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数为偶函数，则     A. B. C. D. 2.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段AB的中点，若点M的横坐标为p，，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3.的展开式中，x的系数为     A. B. C. D. 4.已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为a，若点A，B， C，D在该圆锥的侧面上，点在该圆锥的底面上，则(    ) A. 2 B. C. 1 D. 5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则    A. B. C. D. 6.对数的第一位小数的值为    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.若，则(    ) A. B. C. D. 8.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.若复数，则(    ) A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10.已知函数为R上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有   A. 图象关于直线对称 B. C. 的最小正周期为4 D. 对任意都有 11.已知数列的通项公式，前n项和为，则    A. 数列为等差数列 B. ，使得 C. 当时，取得最小值 D. 数列的最大项的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，则          . 13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有          种用数字作答 14.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是          ，的最大值是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.本小题13分 某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息. 现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 16.（本小题15分） 已知正项数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求. 17.（本小题15分） 已知函数 (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围. 18.(本小题17分) 如图，四棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内含边界且 ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19.本小题17分 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，， 求与的标准方程； 过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） 点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值上述各点均不重合 学科网（北京）股份有限公司 $