精品解析：山东省临沂市临沭县第二初级中学2025-2026学年上学期期末素养竞赛八年级数学试题

2025-2026学年学科素养竞赛试题 八年级数学（I） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，中分式的个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断． 【详解】解：分式有，，共2个， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 2. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案： 分式的分子分母都乘以﹣1，得. 故选D． 考点：分式的基本性质． 3. 要使的结果中不含项，则常数的值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含x2项进而可得出a的值． 【详解】解：（x2+ax+2）（2x-1） =2x3-x2+2ax2-ax+4x-2 =2x3+（2a-1）x2+（4-a）x-2， ∵（x2+ax+2）（2x-1）的结果中不含x2项， ∴2a-1=0，∴a=． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 4. 已知，，则的值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据完全平方公式将变形，然后代入计算即可． 【详解】∵，， ∴ = =4-（-9） =13， 故选：C． 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式及灵活变形求值是解题的关键． 5. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】把原分式中的和都扩大2倍得到，再根据分式的基本性质化简得到，即可得到答案． 【详解】解：分式中的和都扩大2倍， 原分式变形为：， 把分式中的和都扩大2倍，分式的值扩大2倍， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 6. 关于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 的值一定是0 B. 的值一定是1 C. 当时，的值是1 D. 当时，的值是1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 7. 下列从左至右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义以及因式分解所遵循的原则逐项判断即可． 【详解】解：A．∵分解因式不彻底，∴不是因式分解，故不符合题意； B．∵等式两边不相等，∴不是因式分解，故不符合题意； C．∵，∴根据因式分解的定义，可知是因式分解，故符合题意； D．∵等式右边不是整式积的形式，∴不是因式分解，故不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 8. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 9. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 10. 如图，在等边中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于． ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ∵ ， 的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 12. 若是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式是解题的关键．根据完全平方公式的特征直接进行求解即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故答案为：． 13. 已知时，多项式的值为-1，则时，则多项式的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】把代入代数式，根据非负数的性质，得出m=﹣1，n=0，由此即可解决问题． 【详解】解：∵时，多项式的值为-1， ∴，即， ∴m=﹣1，n=0， ∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为． 故答案为3． 【点睛】本题考查了代数式求值，非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14. 如图，在等边的外侧作直线点C关于直线的对称点为点D，连接，．依题意补全图形，若，则______°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了图形的对称以及外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，根据题目要求作图，根据对称，得，利用外角可得结果． 【详解】解：作图如图示： ∵是等边三角形，点C与点D关于直线对称， ∴， ∵，点C与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ∴, 故答案为：30． 15. 如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据折叠的性质和平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折，使点A落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，，，，，根据此变形规律计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查探索规律，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先将所求式子变形为，再按照已知的变形规律计算括号内，进一步即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）若，，求代数式的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． 【答案】（1）（2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，解题关键是熟记运算法则． （1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则将原式变形进行求解； （2）利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进行求解． （3）将两边平方即可求解． 【详解】解：（1），， ； （2）， ， ； （3）∵， ∴， ， ． 18. 计算： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代入求值，因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1） 先利用多项式乘法法则展开，合并同类项，最后利用平方差公式因式分解； （2）通过观察发现公因式 ，提取公因式后再利用完全平方公式和平方差公式分解； （3）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，然后合并同类项，再根据整式除法法则化简，最后代入数值计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 当 ，时： 原式 ． 19. 数学课上，老师用图中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图所示的大正方形观察图形并解答下列问题： （1）写出由图可以得到的等式；（用含、的等式表示） （2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要，，三种纸片各多少张？ （3）如图，，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）需要三种纸片各6张、2张、7张 （3）8 【解析】 【分析】（1）通过运用整体求解和部分求和的方法表示图的面积进行求解； （2）通过计算的结果为可求解此题； （3）根据，，运用完全平方公式可求得，即可求得此题结果． 【小问1详解】 解：根据题意得：图是一个边长为的大正方形，面积为；还是由1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，1个长为b，宽为a的长方形组成，面积为， 由图可以得到等式； 【小问2详解】 解：， 需要，，三种纸片各张、张、张； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， 即， 解得， 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式数形结合问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识和方法进行求解． 20. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①______；； ②若，，，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______； （2）若，求t的值． 【答案】（1）①3；；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义运算，求解即可； ②根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解； （2）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，； 故答案为：；； ②，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：设，，， 则，，， 由可得， ∴． 【点睛】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． 21. 观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第五个等式：______________________________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1） （2） 解：第个等式为：， 证明：． ． 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，探索规律，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据前三个找出规律，写出第五个等式； （2）用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【小问1详解】 解：根据前面算式的规律，可得第五个等式为：． 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P， 求证：BP=2PQ． 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°， ∵在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴∠1=∠2， ∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°， ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°， ∴BP=2PQ． 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可． 【详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题意证明△ABE≌△CAD，是解题的关键． 23. 教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求代数式的最小值； （3）当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3） 等腰三角形；理由如下： ， ， ， ∵，，， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的定义，平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （2）将原式配方得，即可解答； （3）原式可化为，进而得到的值，即可判断的形状． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴的最小值是3． 【小问3详解】 略 24. 综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 【答案】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于，在上截取，连接． 平分， ， 在和中， ， ， ， 是△的外角， ， ； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， ， ， 是△的外角， ， ； 选择王皓的思路： 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2）A （3） （4）在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大 【解析】 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而可得结论； （3）根据大边对大角求解即可； （4）将一个命题的题设和结论互换即得到原命题的逆命题，据此解答即可. 【详解】解：（1）略 （2）在一个三角形中，大边对大角， 如果最大边所对的角是锐角，那么其他边所对的角都比这个最大边所对的角小， 三个角都是锐角， 故此三角形就是锐角三角形． 故选：A； （3）在△中，， ； 故答案为：； （4）这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 故答案为：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，逆定理，三角形外角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年学科素养竞赛试题 八年级数学（I） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，中分式的个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 要使的结果中不含项，则常数的值为（　　） A. 0 B. C. 1 D. -2 4. 已知，，则的值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 6. 关于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 的值一定是0 B. 的值一定是1 C. 当时，的值是1 D. 当时，的值是1 7. 下列从左至右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在等边中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为零，则______． 12. 若是一个完全平方式，则的值是______． 13. 已知时，多项式的值为-1，则时，则多项式的值为______． 14. 如图，在等边的外侧作直线点C关于直线的对称点为点D，连接，．依题意补全图形，若，则______°． 15. 如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为________． 16. 已知，，，，，根据此变形规律计算：_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）若，，求代数式的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． 18. 计算： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）先化简，再求值：，其中， 19. 数学课上，老师用图中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图所示的大正方形观察图形并解答下列问题： （1）写出由图可以得到的等式；（用含、的等式表示） （2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要，，三种纸片各多少张？ （3）如图，，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 20. 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①______；； ②若，，，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______； （2）若，求t的值． 21. 观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第五个等式：______________________________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 22. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P， 求证：BP=2PQ． 23. 教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求代数式的最小值； （3）当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 24. 综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $