精品解析：广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷

广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A. 直线l的斜率为1 B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l的方向向量为 D. 直线l的法向量为 【答案】B 【解析】 【分析】由两点求得斜率，进而逐项判断即可. 【详解】由斜率公式得， 所以倾斜角为，方向向量为， 法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确. 故选：B 2. 若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆是轴对称图形，所给的三点中有两个点关于轴对称，进而可得点在椭圆上，因此可得椭圆的短轴长. 【详解】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点， 所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为. 故选：B. 3. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可求解. 【详解】由，得， ， 故选：A 7. 已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差，结合等差数列求和公式计算可得，再用与表示出后，结合二次函数性质即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 化简得，即， 则 ， 由，则当时，取最大值. 故选：B. 8. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可. 【详解】由题意知，所以， 所以离心率． 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 【详解】解：因为，， 所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量减法的坐标运算判断A，利用模长公式判断B，利用数量积的坐标运算判断C，利用平行向量的定义判断D即可. 【详解】由题意得， 对于A，由空间向量减法的坐标运算法则得，故A正确， 对于B，由空间向量的模长公式得，故B正确， 对于C，由空间向量的数量积的坐标运算法则得，故C正确， 对于D，设，可得，所以，此时方程组无解， 得到向量与向量不平行，故D错误. 故选：ABC 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线与直线之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果. 【详解】因为， 所以平行线间的距离为， 故答案为：. 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14. 圆与x轴相切于点A，点B在圆C上运动，点为线段的中点，点N是直线上一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先搞清楚点的轨迹，把问题转化成圆外一点与圆上的点的距离问题求解. 【详解】如图： 已知，， 因为为弦的中点，所以，所以点轨迹是以为直径的圆. 设圆心为，半径为1. 作点，则，关于直线对称. 所以. 所以当四点共线且在之间时， 取得最小值，为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理并结合题设求出即可求解； （2）由结合角B的范围即可分析求解. 【小问1详解】 由余弦定理及得， 显然，， ； 【小问2详解】 ， ， ， 的取值范围是. 16. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）记，求． 【答案】（1）， （2） （3）当为偶数时，；当为奇数时， 【解析】 【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式； （2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和； （3）求出，分为偶数，为奇数，求. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，整理得 又∵，∴，, ∴数列是首项为3、公比为3的等比数列， ， 设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列 ∴. ，即，即 ， 解得，∴. 【小问2详解】 由（1）可知 则 【小问3详解】 由题意可知，， 当为偶数时， 当为奇数时， 18. 如图，正四棱台中，为的中点，． （1）当时， （i）求证：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】(1)（i）连接交于，则平面．证得平面，从而得，再证得，则平面，进而得证； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的法向量，即可求直线与平面所成角的正弦值； (2) 设球为正四棱台的内切球，根据轴截面图形可求出正四棱台的高为，从而利用台体体积公式求出答案． 【小问1详解】 （i）证明：连接交于，连接，交于点，连接， 则平面． ∵平面，∴． 在正方形中，，且平面， ∴平面． ∵平面，∴． ∵，∴． 连接，∵且，∴四边形为平行四边形． ∴． 连接，∵为的中点，∴． ∵平面，∴平面． ∵平面，∴平面平面． （ii）由题意，两两互相垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，则，∴， ∴． ∴， ． 设平面的法向量为，则， 取，则，∴． 设直线与平面所成的角为， ∴． ∴直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 取的中点， 连接，则． 由题意，设球为正四棱台的内切球， 则为的中点，且球与平面的切点在上，如图， 可证，， ∴．∴． 过作，垂足为，则， ∴，∴， ∴， ∴正四棱台的体积为． 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明； （ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）， ，由（i）可知：， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市部分学校2024-2025学年高二上学期期末联考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A. 直线l的斜率为1 B. 直线l的倾斜角为 C. 直线l的方向向量为 D. 直线l的法向量为 2. 若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. -1 D. 1 4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 8. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线与直线之间的距离为__________. 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 14. 圆与x轴相切于点A，点B在圆C上运动，点为线段的中点，点N是直线上一点，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的大小； （2）若，且，求的取值范围． 16. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）记，求． 18. 如图，正四棱台中，为的中点，． （1）当时， （i）求证：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积． 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $