第3章勾股定理复习学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025年秋八年级数学上册导学案(3-6) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第3章勾股定理复习 学习目标： 1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形。 2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”的思想。 学习重点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用。 学习难点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用。 一、知识网络： 二、知识要点： 直角三角形三边之间有特殊的数量关系，通过对图形面积的探究，发现并证明了勾股定理及其逆定理，从“正”和“逆”两个方向对直角三角形二边之间的关系进行了刻画。勾股定理及其逆定理在数与形之间建立了联系。 1、 勾股定理： （1）内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即如图，直角三角)的两条直角边a，b与斜边c之间满足： 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”， 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。 就提出了“勾三股四弦五”，勾股定理的证明从古至今已有数百种方法， （2） 证明：通过拼图，数形结合思想，把整个拼图的面积有两种 不同的表示方法，建立等式，再经过化简，得出结论， 从而验证了勾股定理。 .两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷， 公元3世纪初，赵爽通过“弦图”证明了勾股定理。 2、 勾股定理的逆定理： （1）内容：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 （2）证明方法：先作一个直角三角形，使它的两条直角边与已知三角形的两条较短的边分别相等， 由勾股定理计算出所作直角三角形的三边关系，结合已知条件，得到最长边（斜边）相等， 最后根据“SSS”，得到两个三角形全等，从而得到已知三角形的一个角为直角， 说明个三角形是直角三角形。 （3）作用：由数到形，它也是证明直角三角形的一种方法。 3、 勾股数： （1）概念：如果三个正整数a，b，c满足关系a2+b2=c2，则称a，b，c为勾股数。 （2）常见的勾股数：3,4,5,；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9，40,41，…。 （3）口诀：奇数平方写连续，偶数半方加减一。 4、 勾股定理的应用： （1） 实际生活中的应用：实际问题----（转化）--数学问题----（转化）--直角三角形。 （2） 数学领域中的应用：数学几何图形---直角三角形（建模）---计算直角三角形的边或角的特征。 三、问题研讨： 例1、老师准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？ 例2、 如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把△BCD沿BD折叠后C， 刚好落在AB边上E处，求CD的长. 例3、例如图，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只沿树爬下，走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶D处后直跃后向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？（设树垂直） 例4、 （1）如图1,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边 AD,点D落在 BC边的点F处, 已知 AB=8cm BC=10cm 求EC 的长。. （2）如图2，矩形纸片 ABCD的长 AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合， 那么折叠后长是多少？ 例5、 如图1，P为矩形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PD=3，求PC的长； 如图2，P为矩形ABCD边AD上一点，PA=4，PB=7，PD=9，求PC的长为 ； 如图3，P为矩形ABCD外一点，PA=4，PB=6，PD=2，求PC的长； 4、 拓展提高： 1、 如图，∆ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，求∠BAC的度数和∆ABC的面积。 2、 如图，一长方体砖宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B 距地面的高BD＝8cm， 地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 3、如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间? 5、 强化训练： 1、在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（　　） A、24　　　　 B、24π　　　 　C、　　　 　D、π 2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图（a）是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图（b）是由图（a）放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为 （　　） A、90　　　　　B、100　　　　　C、110　　　 　D、121 3、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。 若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 （ ） A. 13 B.26 C.47 D.94 4、如图,长方体的长为15,宽为10,高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 （ ） A. B.25 C. D.35 5、在直线1上摆放着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3。 正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4= 。 6、如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎， B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为 m2. 7、 如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部分 △BFD的面积。 8、在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12， AC=13，求△ABC的周长和面积。 9、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.E是AD上任一点，求证：AB2-AC2=EB2-EC2. 10、如图，△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E,F分别是AC,BC上的点，且∠EDF=90°。 求证：AE2+BF2=EF2。 学科网（北京）股份有限公司 $$