专题03 勾股定理（期末复习专项训练，10大题型）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 勾股定理 题型1 勾股数与构成三角形的条件（常考点） 题型6 勾股定理中的最值问题（难点） 题型2 勾股定理求边长与面积（常考点） 题型7 勾股定理的应用（重点） 题型3 勾股定理与无理数（常考点） 题型8 勾股定理逆定理的应用（重点） 题型4 勾股定理与网格问题（常考点） 题型9 勾股定理中的线段平方关系（难点） 题型5 赵爽弦图（重点） 题型10 勾股定理中的新定义（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 勾股数与构成三角形的条件（常考点） 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4 2．若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 3．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 题型二 勾股定理求边长与面积（常考点） 1．一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 3．如图，为等边内的一点，且．若，的面积为3，则的长为 ． 题型三 勾股定理与无理数（常考点） 1．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 2．如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（   ） A． B． C．2.3 D． 3．小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为 ． 题型四 勾股定理与网格问题（常考点） 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 题型五 赵爽弦图（重点） 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 2．数学实践课上，小朋同学用四块全等的直角三角形纸板拼出如图所示的图形，已知点在同一直线上，若，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 题型六 勾股定理中的最值问题（难点） 1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 2．如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为 ． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 题型七 勾股定理的应用（重点） 1．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 2．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 3．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 题型八 勾股定理逆定理的应用（重点） 1．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 2．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 3．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 题型九 勾股定理中的线段平方关系（难点） 1．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 2．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 3．【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 题型十 勾股定理中的新定义（难点） 1．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 2．定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 3．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． $专题03 勾股定理 题型1 勾股数与构成三角形的条件（常考点） 题型6 勾股定理中的最值问题（难点） 题型2 勾股定理求边长与面积（常考点） 题型7 勾股定理的应用（重点） 题型3 勾股定理与无理数（常考点） 题型8 勾股定理逆定理的应用（重点） 题型4 勾股定理与网格问题（常考点） 题型9 勾股定理中的线段平方关系（难点） 题型5 赵爽弦图（重点） 题型10 勾股定理中的新定义（难点） 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 勾股数与构成三角形的条件（常考点） 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故7，8，9不是勾股数，不符合题意； B、，故1，1，2不是勾股数，不符合题意； C、，故9，12，15是勾股数，符合题意； D、，故2，3，4不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，此项符合题意； 故选：D． 3．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 题型二 勾股定理求边长与面积（常考点） 1．一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理直接计算斜边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是3和4， ∴它的斜边长为 故选：B 2．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 3．如图，为等边内的一点，且．若，的面积为3，则的长为 ． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质和线段垂直平分线的判定得出，，由勾股定理得出，求出，再证明 ，由全等三角形的性质即可得出，进而求出，根据面积求出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴点O在的垂直平分线上，同时等边三角形的三线合一，的垂直平分线也经过点C，即C、O、的中点共线， 设的中点为D，连接， 则，． 在中，由勾股定理得∶ ， ， ∵，，， ∴， 则， ∴ 又， 解得， 则． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理以及全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 题型三 勾股定理与无理数（常考点） 1．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，运用勾股定理求出点处所表示的数到的距离，再观察点在的左边，即可作答． 【详解】解：由图可得，点处所表示的数到的距离为， 图中标注在点处所表示的数为． 故选：A． 2．如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（   ） A． B． C．2.3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，实数与无理数．利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理，得：， ， ∵点表示的数为， ∴点P表示的数为， 故选：A． 3．小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 题型四 勾股定理与网格问题（常考点） 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 2．如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故选 C． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理计算各条边长，即可计算得出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 应用勾股定理可知， ，长度为有理数， 同理可得， ，长度为无理数， ，长度为无理数． 故答案为：． 题型五 赵爽弦图（重点） 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 2．数学实践课上，小朋同学用四块全等的直角三角形纸板拼出如图所示的图形，已知点在同一直线上，若，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，通过图形分析边长的和差关系是解题的关键．根据四块全等直角三角形的拼接特点，得到直角边的和为、差为，再结合完全平方公式与勾股定理，推导出正方形（斜边构成）的面积． 【详解】解：设，， 则，， 则， 解得：，， ． 故选：． 3．青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 题型六 勾股定理中的最值问题（难点） 1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴此时有，即， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 2．如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连结、，交于点，根据题意可知是等边三角形，再利用勾股定理求出的长度，然后可利用边角边证明，得到，根据同位角相等，两直线平行，得出，进一步可得到，最后根据直角三角形斜边大于直角边即可求解． 【详解】解：如下图所示：取的中点，连结、，交于点， 在中，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，构造正确的辅助线是解题的关键． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②5； (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可； ②过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时， 连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可； （3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 点P即为所求作； ②解：过点作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． （2）解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接， 则取得最小值，此时， 连接， 根据轴对称性质，得，， 故， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 故的最小值为， 故答案为：． 题型七 勾股定理的应用（重点） 1．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 2．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 3．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 题型八 勾股定理逆定理的应用（重点） 1．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 2．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 3．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 题型九 勾股定理中的线段平方关系（难点） 1．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 2．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点D为的中点，进行等量代换求得，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴ ； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴根据实际意义，即骑行小道的长为． 题型十 勾股定理中的新定义（难点） 1．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，含有直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （）由题得，则，进而可证是等边三角形，所以，即为等腰三角形，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即，即可得证； （）由题可知为直角三角形，进而分类讨论，利用含有的直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是机灵三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴为直角三角形， ∴是机灵三角形， ∴是的机灵线； （3）解：∵是机灵三角形，且为机灵线， ∴为直角三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 综上，的长为或． 2．定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 【答案】(1)③ (2)的长为 (3)的长为或 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠-垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，理解“高倍底”三角形，掌握等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，数形结合分析思想是解题的关键． （1）根据“高倍底”三角形的定义，根据等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用等知识分别验证各选项是否符合即可； （2）如图所示，过点作延长线于点，则，可证是等腰直角三角形，解得，，由是“高倍底”三角形，是“基底”，得到，即可求解； （3）根据题意作图，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；运用勾股定理，等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形； 故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，即， 解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”， ∴， ∴． 答：的长为 （3）如图所示， ∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点， ∴垂直平分， ∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴， ∴， 第一种情况，当时， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当时，则， ∴， 在中，， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 3．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. $