精品解析：湖南省邵阳市新邵广益世才学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

湖南省邵阳市新邵广益世才学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 考试范围：1－2章；考试时间：120分钟；卷面满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 5，12，13 3. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，AB=4cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 12cm D. 20cm 4. 从五边形的其中一个顶点出发，一共可以引出的对角线条数有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 5条 D. 6条 5. 若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（ ）． A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 以上说法均不正确 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 7. 一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 8. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（　　） A. 10 B. 20 C. 24 D. 48 10. 如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在中，，则的度数为______． 12. 已知一个正n边形的一个外角为，则________． 13. 学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有______的性质． 14. 在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，若AB＝1，则AC＝__________． 15. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则______． 16. 如图，在中，，为的中点．若，则______． 17. 如图，在ABC中，∠CAB的平分线AD交BC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，若∠C＝90°，则∠B＝_____°． 18. 如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______． 三、解答题（第19－20题，每小题6分，第21－22题，每小题8分，第23－24题，每小题9分，第25－26题，每小题10分，共66分） 19. 一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、在小正方形的顶点上． （1） (是、不是)直角三角形． （2）在图中画出与关于直线成轴对称的． （3） 的面积为 ． 21. 已知：如图，，，．求证：． 22. 一棵大树在离地面高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的处，求大树断裂之前的高度． 23. 如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 24. 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形； 25. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，求： （1）此时轮船与小岛的距离是多少海里？ （2）小岛方圆7.5海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 26. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省邵阳市新邵广益世才学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 考试范围：1－2章；考试时间：120分钟；卷面满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的辨认，掌握好轴对称图形与中心对称图形的定义是关键． 轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不满足题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不满足题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故满足题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不满足题意． 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和勾股数的定义对各项进行检验即可． 【详解】解：A.∵，∴不是勾股数； B.∵，但不是正整数，∴不是勾股数； C.∵，∴不是勾股数； D.∵，∴是勾股数， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，AB=4cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 12cm D. 20cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可求出周长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=6cm，CD=AB=4cm， ∴平行四边形ABCD的周长为（6+4）×2=20（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． 4. 从五边形的其中一个顶点出发，一共可以引出的对角线条数有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 5条 D. 6条 【答案】A 【解析】 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线可直接得到答案． 【详解】从五边形的一个顶点可引出的对角线的条数有5−3＝2条． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算方法． 5. 若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（ ）． A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 以上说法均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法是关键． 根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再结合垂直可得菱形，最后对角线相等可得正方形． 【详解】解：∵ 四边形的对角线互相平分， ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 平行四边形的对角线互相垂直， ∴ 该平行四边形是菱形， ∵ 菱形的对角线相等， ∴ 该菱形是正方形． 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 7. 一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多边形内角和公式，设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和为列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则 解得 即这个多边形是四边形， 故选：B 8. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，由角平分线的性质可得点D到AB的距离DE=CD，根据已知求得CD即可． 【详解】解：作DE⊥AB于E． ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD， ∵BC=10，BD=6， ∴CD=BC-BD=10-6=4， ∴点D到AB的距离DE=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 9. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（　　） A. 10 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8 ∴这个菱形的面积是：×6×8=24 故选C． 【点睛】考点：菱形的性质． 10. 如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】连接PC，证明四边形PECF是矩形；根据正方形是轴对称图形，矩形的性质可判断AP= PC=EF； 延长AP，交EF于点N，证明∠EPN=∠BAP =∠PCE=∠PFE，可判断③正确；再证明∠PNF=90°, 可判断②正确；当AP在正方形的对角线AC上时，AP取得最小值，利用，可知④正确；由△PDF是等腰直角三角形，△BPE是等腰直角三角形，结合勾股定理可判断⑤正确；从而可得答案． 【详解】解：根据题意不能证明， 故①不正确； 连接PC， ∵ 正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD， ∴ 四边形PECF是矩形； ∴PC=EF， ∠EPF=∠PFC=∠PEC=90°， 根据正方形是轴对称图形可得：AP=PC， ∴AP=EF； 延长AP，交EF于点N， 由题意可得：AB∥PE， 则∠EPN=∠BAP， 由正方形的对称性可得：∠BAP=∠BCP， 由矩形的对称性可得：∠PCE=∠EFP， ∴ ∠EPN=∠BAP =∠PCE=∠PFE，故③正确； ∵∠EPN+∠NPF=90°， ∴∠PFN+∠FPN=90°， ∴∠PNF=90°， ∴ AP⊥EF；故②正确； 当AP在正方形的对角线AC上时，AP取得最小值， ∵正方形边长为2， ∴AP的最小值为， ∵， ∴EF的最小值为，故④正确； 由题意可得：， ∵BP是对角线， ∴△PDF是等腰直角三角形，同理：△BPE是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 故⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．解题的关键是熟练正方形与矩形的对称性． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在中，，则的度数为______． 【答案】##34度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 12. 已知一个正n边形的一个外角为，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角及外角和等知识点，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键，根据正多边形的性质及多边形的外角和列式计算即可． 【详解】解：∵一个正n边形的一个外角为， ∴， 故答案为：9． 13. 学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有______的性质． 【答案】不稳定性 【解析】 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：学校大门口的伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题主要考查了四边形不稳定性的是实际应用，正确理解三角形稳定形和四边形不稳定性是解题关键． 14. 在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，若AB＝1，则AC＝__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到∠C=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵∠B=90°，∠A=60°， ∴∠C=30°， ∴AC=2AB， ∵AB=1， ∴AC=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据矩形性质可知AC=BD，可得． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD=6， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质：对角线互相平分且相等，掌握这一性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，为的中点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，为的中点， ∴是斜边上的中线，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 17. 如图，在ABC中，∠CAB的平分线AD交BC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，若∠C＝90°，则∠B＝_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义得出∠CAD=∠DAB,再由DE垂直平分AB得出AD=BD,故∠DAB=∠B,再根据DE=DC可知∠C=90°,再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵∠CAB的平分线AD交BC于D， ∴∠CAD＝∠DAB． ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠B， ∴∠CDA＝∠DAB＝∠B． ∵∠C＝90°， ∴∠CDA+∠DAB+∠B＝90°，即3∠B＝90°，解得∠B＝30°． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】要求BP+EP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，BP的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中线， ∴AD垂直平分BC， ∴点D与点C关于AD对称， ， ∵E是AB上的一点， ∴过点C作AB的垂线，垂足就是点E，CE与AD的交点即为点P，（点到直线之间，垂距离最短）， 如图，此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长， ∵D为BC的中点，BC=12， ∴CD=×12＝6， ∴AD==8， ∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC=10， ∵， ∴CE=， ∴BP+EP的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，利用等面积法建立等量关系是解题的关键． 三、解答题（第19－20题，每小题6分，第21－22题，每小题8分，第23－24题，每小题9分，第25－26题，每小题10分，共66分） 19. 一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ 【答案】该多边形的边数为9 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和的性质；设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理、外角和的性质以及题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． 答：该多边形的边数为9． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、在小正方形的顶点上． （1） (是、不是)直角三角形． （2）在图中画出与关于直线成轴对称的． （3） 的面积为 ． 【答案】（1）不是 （2） 如图，即为所求； （3）4 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出，，，由于，则不是直角三角形； （2）本题主要考查了作轴对称图形，分别作出的对应点，然后再顺次连接即可； （3）本题主要考查了利用网格求三角形的面积，根据长方形减去三个三角形的面积进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，，，， ∵， ∴不是直角三角形， 故答案为：不是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积为， 故答案为：4． 21. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质．运用定理证明直角三角形全等即可． 【详解】略． 22. 一棵大树在离地面高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的处，求大树断裂之前的高度． 【答案】16米 【解析】 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得， 在直角三角形中，米． 所以大树断裂之前的高度是米． 【点睛】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决． 23. 如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点， ∴ 是的中位线， ∴，， ∵， ， ，共线， ∴，． ∴四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】根据点 ， 分别是边 ， 的中点，可得 是的中位线，根据中位线的性质可得，，因为，所以，，由此即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握中位线的性质，平行四边形的判定方法是解题的关键． 24. 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形； 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据，得到，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的判定．熟练掌握平行四边形的对边平行，有一个角是的平行四边形是矩形，是解题的关键． 25. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，求： （1）此时轮船与小岛的距离是多少海里？ （2）小岛方圆7.5海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）16 （2） 解：没有触礁的危险．理由如下： 由（1）知，海里， ， ， 该船继续向东航行，没有触礁的危险． 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）过点P作于点，由题意易得，然后问题可求解； （2）由（1）知，海里，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解 【小问1详解】 解：过点P作于点， ， 且， ， ， （海里）． 【小问2详解】 略 26. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）根据所对的直角边是斜边的一半，得到，即可得到； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形为菱形，列式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：能； ∵，，， ∴，， ∴点移动的时间为：，点移动的时间为：， ∴运动的总时间为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握含度角的直角三角形中，度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $