精品解析：河南省漯河市舞阳县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025—2026学年上学期期中考试试卷(Y) 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．闭卷考试，请将答案直接写在试卷或答题卡上． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；使用答题卡时，请认真阅读答题须知，并按要求去做． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 一元二次方程的一次项是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将写成一般式为，再根据一元二次方程的一般式的定义即可解答． 【详解】解：将原方程写成一般式为， ∴该方程的一次项系数为． 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判定即可．本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是二元二次方程，不符合题意； B、当时，是一元二次方程，不符合题意； C、方程整理得：，是三元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 3. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义可得的值，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即． ∴． 故选A． 4. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答． 主要考查的是函数图象的平移，解题的关键是用平移规律直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为， 故选D． 5. 数学活动课上，“梦想飞扬”学习小组设计如下四个图案，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握定义是解决本题的关键． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 再根据中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，由此判断即可． 【详解】解：第一个图案：不是中心对称图形，是轴对称图形． 第二个图案：是中心对称图形，是轴对称图形． 第三个图案：是中心对称图形，不是轴对称图形． 第四个图案：是中心对称图形，是轴对称图形． 由上述分析可知，第二个图案和第四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形，一共有个． 故选：B． 6. 中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝2450 B. x（x﹣1）＝2450 C. 2x（x﹣1）＝2450 D. x（x﹣1）＝2450 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，有x个人，然后根据全班共发送了2450条祝福列方程即可． 【详解】根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，全班有x名学生， 所以（x﹣1）x＝2450． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，设未知数，根据等量关系列方程是解题关键． 7. 若抛物线的顶点为，且经过点A关于原点O的对称点，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得抛物线的解析式为，再求得点A关于原点O的对称点的坐标，代入求解即可 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∵点A关于原点O的对称点， ∴， 把代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 故选：D 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关于原点对称的点的特征，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解二次函数解析式的方法进行计算是解决本题的关键． 8. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项． 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0 解得a≥-2； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是-2≤a≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解． 【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP， ∴BC＝BP＝BA， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP， ∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA， ∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°， ∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠PAH的度数是定值， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　） A. b2＞4ac B. abc＞0 C. a﹣c＜0 D. am2+bm≥a﹣b（m为任意实数） 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1， ∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意， ∴abc＞0，故B选项不合题意， 当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， 当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， ∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a,b,c的符号和它们之间的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 12. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_________. 【答案】y=（x﹣4）2﹣25 【解析】 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】解：y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故答案为y=（x-4）2-25． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 14. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，已知A点坐标为，且对称轴为直线，则B点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点关于对称轴对称，据此即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，已知A点坐标为，且对称轴为直线， ∴， 则B坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线对称的点的坐标是本题的解题关键． 15. 如图，，，将绕点B逆时针旋转，得到，设与交于点F，连接，当为等腰三角形时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得：， ③时，， 解得：， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 18. 已知抛物线y＝ax2+3经过点A（﹣2，﹣13）． （1）求a的值． （2）若点P（m，﹣22）在此抛物线上，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）把点A代入已知的抛物线可得关于a的方程，解方程即可求出结果； （2）把点P代入（1）题求出的抛物线上可得关于m的方程，解方程即可求出m，进而可得结果． 【详解】解：（1）把点A（﹣2，﹣13）代入抛物线y＝ax2+3， 得：，解得：； （2）抛物线的解析式为y＝﹣4x2+3， 把点P（m，﹣22）代入y＝﹣4x2+3，得﹣22＝﹣4m2+3， 解得：， ∴点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点和一元二次方程的解法，属于基本题目，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 19. 学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【答案】长为14米，宽为13米． 【解析】 【分析】设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40-2x）米，由长方形的面积计算公式结合活动场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解方程得x的值，再结合40-2x≤25确定x的值即可． 【详解】设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米，依题意，得： x（40﹣2x）＝182， 整理，得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7，x2＝13． 当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去； 当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形； （2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形，并标出、两点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 如图所示，，； （3） 如图所示，，． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用B点坐标画出直角坐标系，从而得到A点和C点坐标； （3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21. 配方 （1）若，则________，________； （2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【答案】（1）， （2）当时，的面积最大，最大为． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，解题的关键是能正确配方； （1）利用配方法即可求解； （2）依题意可知：再由三角形面积公式可得，代入数值根据二次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意可知：，，，， ， ∴当时，的面积最大，最大为． 22. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题； （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式即可 （2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为， 由题意得， 解得． 所求函数关系式为：； 【小问2详解】 解：依题意，设利润为元，得 整理得 当时，取得最大值，最大值为225 每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 23. 实践与探究 在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D,E，F. (1)如图(1)，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； (2)如图(2)，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H. ①求证：ΔADB≌ΔAOB； ②求点H的坐标. 【答案】(1)D(1，3)； (2)①由旋转可知： OA=DA，∠AOB=∠ADE=90°， ∴∠AOB=∠ADB=90°， 在Rt△AOB与Rt△ADB中 ， ∴△ADB≌△AOB(HL)； ②H(，3). 【解析】 【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出CD，即可解决问题； （2）①根据旋转可知，OA=DA，则根据HL证明全等即可； ②先证明△BDH≌△ACH，得DH=CH，设CH=x，则AH =5-x，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出x即可解决问题； 【详解】解：(1)∵A(5,0)，B(0,3)， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴OB=AC=3，OA=BC=5 ∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的， ∴AD=OA=5 . 在RtΔACD中 CD= ， ∴BD=1， ∴D(1，3) . (2)①略 ②∵△ADB≌△AOB(HL)， ∴BD=BO=AC ， 在△BDH与△ACH中 ， ∴△BDH≌△ACH(AAS)， ∴DH=CH， ∵DH+AH=AD=5， ∴CH+AH=5， 设CH=，则AH=， 在Rt△ACH中 ， 解得：， ∴BH=， ∴H(,3). 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期期中考试试卷(Y) 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．闭卷考试，请将答案直接写在试卷或答题卡上． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；使用答题卡时，请认真阅读答题须知，并按要求去做． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 一元二次方程的一次项是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2024 4. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 数学活动课上，“梦想飞扬”学习小组设计如下四个图案，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝2450 B. x（x﹣1）＝2450 C. 2x（x﹣1）＝2450 D. x（x﹣1）＝2450 7. 若抛物线的顶点为，且经过点A关于原点O的对称点，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　） A. b2＞4ac B. abc＞0 C. a﹣c＜0 D. am2+bm≥a﹣b（m为任意实数） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 13. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_________. 14. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，已知A点坐标为，且对称轴为直线，则B点坐标为__________． 15. 如图，，，将绕点B逆时针旋转，得到，设与交于点F，连接，当为等腰三角形时，________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） ； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 18. 已知抛物线y＝ax2+3经过点A（﹣2，﹣13）． （1）求a的值． （2）若点P（m，﹣22）在此抛物线上，求点P的坐标． 19. 学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 20. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形； （2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形，并标出、两点的坐标． 21. 配方 （1）若，则________，________； （2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 22. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 23. 实践与探究 在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D,E，F. (1)如图(1)，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； (2)如图(2)，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H. ①求证：ΔADB≌ΔAOB； ②求点H的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $